Abschwächung der Gruppendefinition

Aussage

Sei $(G,\cdot)$ eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G rechtsinverse Elemente $x^{-1}$ und ein rechtsneutrales Element $e$. Dann sind die rechtsinversen Elemente auch linksinvers und das rechtsneutrale Element auch linksneutral.

Beweis

Die Aussage enthält zwei Teilaussagen, die wir nacheinander beweisen:

1. Die rechtsinversen Elemente sind auch linksinvers.

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2. Ein rechtsneutrales Element ist auch linksneutral.

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Aspekte

• An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also:

Man kann dann induktiv zeigen, dass für ein "Produkt" endlich vieler Faktoren

jede Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen.

• Wir verwerden in den einzelnen Schritten sowohl, dass es ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Element existieren. Ebenso die Assoziativität. Alle drei Vorraussetzungen werden verwendet.
  

• Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind.
  

• Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese Eigenschaften zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente.
  

• Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben.
  

• G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element $x \in G$ existiert ein Element aus G, welches wir mit $x^{-1}$ bezeichnen und für dieses gilt: $x \cdot x^{-1} = e$. $x^{-1}$ ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit $(x^{-1})^-1$. Es stellt sich heraus, dass $(x^{-1})^-1 = x$ Zum Beweis
  

• $a \cdot b$ ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung $\cdot$ wieder nach G abbildet (innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu $a \cdot b$ geben. Es stellt sich heraus, dass $(a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1}$ ist. Zum Beweis