Abschwächung der Gruppendefinition

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Aussage

Sei (G,\cdot) eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G rechtsinverse Elemente x^{-1} und ein rechtsneutrales Element e. Dann sind die rechtsinversen Elemente auch linksinvers und das rechtsneutrale Element auch linksneutral.

Beweis

Die Aussage enthält zwei Teilaussagen, die wir nacheinander beweisen:

1. Die rechtsinversen Elemente sind auch linksinvers.

Reduzierte gruppendefinition 1.jpg



2. Ein rechtsneutrales Element ist auch linksneutral.

Reduzierte gruppendefinition 2.jpg


Aspekte

  • An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also:
Man kann dann induktiv zeigen, dass für ein "Produkt" endlich vieler Faktoren
jede Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen.
  • Wir verwerden in den einzelnen Schritten sowohl, dass es ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Element existieren. Ebenso die Assoziativität. Alle drei Vorraussetzungen werden verwendet.
  • Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind.
  • Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese Eigenschaften zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente.
  • Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben.
  • G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element  x \in G existiert ein Element aus G, welches wir mit  x^{-1} bezeichnen und für dieses gilt:  x \cdot x^{-1} = e .  x^{-1} ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit  (x^{-1})^-1 . Es stellt sich heraus, dass  (x^{-1})^-1 = x Zum Beweis
  •  a \cdot b ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung  \cdot wieder nach G abbildet (innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu  a \cdot b geben. Es stellt sich heraus, dass  (a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1} ist. Zum Beweis