7. Klasse:Algebra:Gleichungen 2: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Die Seite wurde neu angelegt: <span style="background:#CD96CD ">'''Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.'''</span> ''Wenn du dir siche...)
 
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<div style="border: 3px solid #551A8B ; background-color:#CD96CD ; padding:7px;"><big><span style="color:#551A8B ">'''Gleichungen</span>'''</big></div>
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'''Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch <span style="color:#551A8B ">Äquivalenzumformungen</span>, mit denen du beide Seiten der Gleichung einheitlich umstellst, ohne dass sich der Wert der Gleichung ändert.'''
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<span style="background:#CD96CD ">'''Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.'''</span>
 
<span style="background:#CD96CD ">'''Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.'''</span>
  
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''Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.''
 
''Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.''
  
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* <span style="color: #551A8B">'''Beispiel :'''</span>
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:<math> \ 9x - 12 = 60</math>
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>
  
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:<math> \ 9x - 12 = 60 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 12 </math>
  
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* 3x + 10 = 19 <!-- leer -->| <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 10 </u>  
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:<math>\Leftrightarrow 9x = 72 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math>
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>  
+
 
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:<math>\Leftrightarrow x = 8 </math>
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:<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}8\mathcal{g}</math>  
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* 3x + 10 = 19
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div>
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:3x + 10 = 19 &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 10 </u>  
  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">3x = 9</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 3</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">3x = 9</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 3</u>
  
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 3</u>
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 3</u>
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{{Lösung versteckt|1=
 
{{Lösung versteckt|1=
  
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::<math> \ 3x + 10 = 19 | - 10 </math>  
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::<math>\Leftrightarrow x = 3 </math>  
 
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−
* 9x - 18 = 27 | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 18 </u>
+
* 9x - 18 = 27  
 
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+
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::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math>  
 
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>  
 
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 12 - 1 = 2x + 1</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 1</u>  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 12 - 1 = 2x + 1</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 1</u>  
  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u>
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u>
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::<math> \ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2 </math>
  
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+
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::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}</math>     
 
::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}</math>     
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−
* <math>2^3 + 3^2 = 5x + 17</math>
+
* 2<sup>3</sup> + 3<sup>2</sup> = 5x + 17
 
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div>  
 
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div>  
  
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 8 + 9 = 5x + 17 </u>  
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 8 + 9 = 5x + 17 </u>  
  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">17 = 5x + 17</u> |<u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> - 17 </u>
+
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">17 = 5x + 17</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;|&nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> - 17 </u>
  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">0 = 5x</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 5 </u>
+
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">0 = 5x</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 5 </u>
  
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 0 ... wirklich? </u>
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 0 ... wirklich? </u>
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:: <math>\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17 </math>   
 
:: <math>\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17 </math>   
  
−
::<math>\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 | - 17 </math>  
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::<math>\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 17 </math>  
  
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::<math>\Leftrightarrow 0 = 5x | : 5 </math>  
+
::<math>\Leftrightarrow 0 = 5x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 5 </math>  
  
 
:: <math> Da  \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing</math>
 
:: <math> Da  \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing</math>
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>   
 
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>   
  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 9x + 5 = -13</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 5</u>  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 9x + 5 = -13</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;|&nbsp; <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 5</u>  
  
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+
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = -18</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u>
  
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -2</u>
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -2</u>
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::<math> \ 3x + 8 + 6x - 3 = -13 </math>
 
::<math> \ 3x + 8 + 6x - 3 = -13 </math>
  
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:: <math>\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 | - 5 </math>   
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:: <math>\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 5 </math>   
  
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::<math>\Leftrightarrow 9x = -18| : 9 </math>  
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::<math>\Leftrightarrow 9x = -18\;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math>  
  
 
::<math>\Leftrightarrow x = -2 </math>  
 
::<math>\Leftrightarrow x = -2 </math>  
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* <math>-3 \cdot (3 - 2x) + 2x = -21</math>
+
* -3 <math>\cdot</math>(3 - 2x) + 2x = -21
 
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>  
 
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>  
  
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 6x + 2x = -21</u>
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 6x + 2x = -21</u>
 
   
 
   
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 8x = -21</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 9</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 8x = -21</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 9</u>
  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">8x = -12</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 8</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">8x = -12</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 8</u>
  
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -1,5</u>
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -1,5</u>
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:: <math>\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21</math>   
 
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::<math>\Leftrightarrow -9 + 8x = -21| + 9 </math>  
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::<math>\Leftrightarrow -9 + 8x = -21 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 9 </math>  
  
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::<math>\Leftrightarrow 8x = -12| : 8 </math>  
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::<math>\Leftrightarrow 8x = -12 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 8 </math>  
  
 
::<math>\Leftrightarrow x = -1,5 </math>  
 
::<math>\Leftrightarrow x = -1,5 </math>  
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::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}</math>     
 
::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}</math>     
 
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<div align="left">[[Aufgabentypen/9. Klasse:Geometrie:Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck_3|<math>\Rightarrow</math> Weiter zur nächsten Aufgabe]]</div>
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<div align="left">[[Aufgabentypen/9.Klasse:Geometrie:Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck|<math>\Leftarrow</math> Zurück zur vorherigen Aufgabe]]</div>

Aktuelle Version vom 17. Juli 2009, 14:17 Uhr

Gleichungen


Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch Äquivalenzumformungen, mit denen du beide Seiten der Gleichung einheitlich umstellst, ohne dass sich der Wert der Gleichung ändert.

Haas Balkenwaage.jpg


Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.

Wenn du dir sicher bist, welche Äquivalenzumformung als nächstes kommt, darfst du durch Markieren des grauen Feldes den jeweils nächsten Schritt sichtbar machen!

Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.

  • Beispiel :
\ 9x - 12 = 60
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
\ 9x - 12 = 60 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 12
\Leftrightarrow 9x = 72 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9
\Leftrightarrow x = 8
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}8\mathcal{g}


  • 3x + 10 = 19
\mathbb{G}=\mathbb{N}
3x + 10 = 19    |  - 10
\Leftrightarrow3x = 9    |  : 3
\Leftrightarrowx = 3


\ 3x + 10 = 19 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 10
\Leftrightarrow 3x = 9 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 3
\Leftrightarrow x = 3
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}3\mathcal{g}


  • 9x - 18 = 27
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
9x - 18 = 27    |   + 18
\Leftrightarrow9x = 45    |   : 9
\Leftrightarrowx = 5


\ 9x - 18 = 27 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 18
\Leftrightarrow 9x = \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9
\Leftrightarrow x = 5
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}


  • 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1    |  - 1
\Leftrightarrow10 = 2x    |  : 2
\Leftrightarrowx = 5


\ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2
\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 1
\Leftrightarrow 10 = 2x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 2
\Leftrightarrow x = 5
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}


  • 23 + 32 = 5x + 17
\mathbb{G}=\mathbb{N}
\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17
\Leftrightarrow17 = 5x + 17    |  - 17
\Leftrightarrow0 = 5x    |  : 5
\Leftrightarrowx = 0 ... wirklich?


\ 2^3 + 3^2 = 5x + 17
\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17
\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 17
\Leftrightarrow 0 = 5x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 5
Da \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f} \mathcal{g}


  • 3x + 8 + 6x - 3 = -13
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
\Leftrightarrow 9x + 5 = -13    |  - 5
\Leftrightarrow9x = -18    |  : 9
\Leftrightarrowx = -2


\ 3x + 8 + 6x - 3 = -13
\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 5
\Leftrightarrow 9x = -18\;\;\;\;\;\;\;\;| : 9
\Leftrightarrow x = -2
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-2\mathcal{g}


  • -3 \cdot(3 - 2x) + 2x = -21
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21
\Leftrightarrow -9 + 8x = -21    |   + 9
\Leftrightarrow8x = -12    |  : 8
\Leftrightarrowx = -1,5


-3 \cdot (3 - 2x) + 2x = -21
\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21
\Leftrightarrow -9 + 8x = -21 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 9
\Leftrightarrow 8x = -12 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 8
\Leftrightarrow x = -1,5
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}




\Rightarrow Weiter zur nächsten Aufgabe


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