Doppelte Invertierung eines Gruppenelements/Shoes and Socks: Unterschied zwischen den Versionen

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:Somit ist <math> (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e </math>, d.h.  <math> (a \cdot b) </math> ist ein linksinverses Element von  <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> und <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> ist ein rechtsinverses Element von <math> (a \cdot b) </math>.
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:Somit ist <math> (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e </math>, d.h.  <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> ist ein rechtsinverses Element von <math> (a \cdot b) </math>.
:Wir wissen (siehe [[Abschwächung der Gruppendefinition|Abschwächung der Gruppendefinition]]), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. Sobald das eine gegeben ist, dann ist auch das andere gegeben.
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:Wir wissen (siehe [[Abschwächung der Gruppendefinition|Abschwächung der Gruppendefinition]]), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h. <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> muss auch linksinverses Element von  <math> (a \cdot b) </math> sein.
:Genauso wissen wir mit der Aussage über die [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe]], dass das Gruppenelement <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> das einzige zu <math> (a \cdot b </math>) inverse Element ist.
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:Genauso wissen wir mit der Aussage über die [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe]], dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> das einzige zu <math> (a \cdot b </math>) inverse Element.
  
 
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:Wir können die Aussage so lesen: <math> x </math> ist linksinvers zu <math> x^{-1} </math>. Genauso können wir die Aussage auch so lesen: <math> x^{-1} </math> ist rechtsinvers zu <math> x </math>.
 
:Wir können die Aussage so lesen: <math> x </math> ist linksinvers zu <math> x^{-1} </math>. Genauso können wir die Aussage auch so lesen: <math> x^{-1} </math> ist rechtsinvers zu <math> x </math>.
:Also ist <math> x </math> ist  
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:Also ist <math> x </math> das inverse Element von <math> x^{-1} </math>, denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben.
  
*Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man <math> a </math> für "Socken anziehen" und <math> b </math> für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen". Erst "Schuhe ausziehen" <math> b^{-1} </math> und dann "Socken ausziehen" <math> a^{-1} </math>.
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*Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man <math> a </math> für "Socken anziehen" und <math> b </math> für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen" <math> b^{-1} </math> und dann kann man die "Socken ausziehen" <math> a^{-1} </math>.
  
  
  
 
[[Kategorie:Beweis Gruppe|Beweis]]
 
[[Kategorie:Beweis Gruppe|Beweis]]

Version vom 26. November 2018, 20:03 Uhr

Aussage

Sei (G,\cdot) eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle  x, a, b \in G :

Shoes and Socks 1.jpg

Beweis

1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements

Shoes and Socks 2.jpg


2. Shoes and Socks

Shoes and Socks 3.jpg


Aspekte

  • Wir können die Aussage (2) auch nachrechnen:
Shoes and Socks 4.jpg
Somit ist  (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e , d.h.  (b^{-1} \cdot a^{-1}) ist ein rechtsinverses Element von  (a \cdot b) .
Wir wissen (siehe Abschwächung der Gruppendefinition), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h.  (b^{-1} \cdot a^{-1}) muss auch linksinverses Element von  (a \cdot b) sein.
Genauso wissen wir mit der Aussage über die Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe, dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist  (b^{-1} \cdot a^{-1}) das einzige zu  (a \cdot b ) inverse Element.
  • Genauso gilt:
Shoes and Socks 5.jpg
Wir können die Aussage so lesen:  x ist linksinvers zu  x^{-1} . Genauso können wir die Aussage auch so lesen:  x^{-1} ist rechtsinvers zu  x .
Also ist  x das inverse Element von  x^{-1} , denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben.
  • Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man  a für "Socken anziehen" und  b für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen"  b^{-1} und dann kann man die "Socken ausziehen"  a^{-1} .