Flächeninhalt Parallelogramm: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 3. August 2009, 11:04 Uhr

Flächeninhalt Parallelogramm

Einstieg

Lass uns hier gemeinsam die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms erarbeiten. Du wirst sehen, es ist gar nicht so schwer!

Ziehe am roten und grünen Eckpunkt des Vierecks.
Erzeuge möglichst viele verschiedene Vierecke'

2. Aufgabe :
a. Erzeuge ein Rechteck mit Umfang 18cm. Eine Seitenlänge soll 4cm sein. Wie lang ist die andere Seite?

Die andere Seite ist 5(Zahl eintragen)cm lang.

b. Erzeuge ein Quadrat mit Umfang 12 cm. Welchen Flächeninhalt hat es?

Es hat einen Flächeninhalt von 9(Zahl eintragen)cm².

c. Erzeuge ein Parallelogramm mit 2 rechten Winkeln und dem Flächeninhalt 8cm². Eine Seite beträgt 2cm. Wie groß ist die andere Seite?

Die andere Seite ist 4(Zahl eintragen) cm lang.

Dem Flächeninhalt auf der Spur

Ziehe am Schieberegler und beobachte was passiert!

2. Begründe, warum ein Rechteck ensteht
Tipp: [Anzeigen][Verstecken]

Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.

Bearbeite dazu den folgenden Lückentext:

gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß.
Nebenwinkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°

damit sind Nebenwinkel im Parallelogramm: $\alpha + \beta =$ 180°

Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind :

$\alpha = \alpha_1$
und $\beta = \gamma +$ 90° bzw. $\beta = \gamma + \epsilon$

Innenwinkelsumme im Dreieck: $\alpha + \beta + \epsilon =$ 180°

$\Rightarrow$ $\epsilon =$ 90° und $\alpha_1 + \gamma =$ 90°

3. Verändert sich Größe Gesamtfläche?

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 12 (Zahl eintragen)cm²

Welchen Flächeninhalt hat also das urspüngliche Parallelogramm?
Das Parallelogramm hat eine Fläche von 12 (Zahl eintragen)cm²

Wie war das doch?
Maja hat sich nicht alles gemerkt.

Nils hat ihr die Herleitungsidee nochmals zusammengefasst:

Wir haben das Parallelogramm in ein Trapez und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegt.

Anschließend wurd das Trapez durch Verschiebung des Dreiecks zum Rechteck ergänzt. Diese Verschiebung stellt eine Kongruenzabbildung dar.

Das Rechteck und das ursprüngliche Parallelogramm sind damit zerlegungsgleich und besitzen somit den gleichen Flächeninhalt.

Da diese Verwandlung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.

Maja: "Ah, ich habe es jetzt verstanden! Ich zerlege das Parallelogramm und ergänze zum Rechteck. Von Rechtecken kann ich den Flächeninhalt einfach über Länge mal Breite berechnen.
Die Länge des Rechtecks entspricht dabei der Grundseite des Parallelogramms. Doch wie war das mit der Breite im Parallelogramm??"
Nils: "Die Breite im Parallelogramm nennt man eigentlich Höhe, doch das zeige ich Dir auf der folgenden Seite"

Hier geht es weiter zum nächsten Abschnitt:
→Höhen im Parallelogramm

Hier geht es zurück zur Seite Flächeninhalt ebener Figuren

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 ----
+<div style="border: 2px solid white; background-color:#ffffff; padding:7px;">
-: '''''Hier siehst Du eine Möglichkeit, wie man die Flächeninhaltsformel von Parallelogrammen herleiten kann '''''
+{| <br>
+|<ggb_applet height="400" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_ersteSchritte.ggb" /> ||
+'''''Ziehe am <span style="color: red">roten</span> und <span style="color: green">grünen</span> Eckpunkt des Vierecks.<br>'''''
+'''''Erzeuge möglichst viele verschiedene Vierecke''''''
+<quiz display="simple">
+{'''Aufgabe : Welche Eigenschaften haben alle enstehenden Vierecke?'''}
+-Die '''Seiten''' sind '''gleich lang'''
+-Der '''Umfang''' ist '''stets gleich'''
++ Alle Vierecke sind '''Parallelogramme'''
+-Der '''Flächeninhalt''' immer  ist '''gleich groß'''
++Gegenüberliegende '''Seiten''' sind '''parallel'''
+</quiz>
 <br>
+'''2. Aufgabe :'''<br>
+'''a. Erzeuge ein Rechteck  mit Umfang 18cm.
+Eine Seitenlänge soll 4cm sein. Wie lang ist die andere Seite?'''
+<div class="lueckentext-quiz">
+Die andere Seite ist '''5(Zahl eintragen)'''cm lang. <br>
+</div>
+'''b. Erzeuge ein Quadrat mit Umfang 12 cm. Welchen Flächeninhalt hat es?''' <br>
+<div class="lueckentext-quiz">
+Es hat einen Flächeninhalt von '''9(Zahl eintragen)'''cm².
+</div>
+'''c. Erzeuge ein Parallelogramm mit 2 rechten Winkeln und dem Flächeninhalt 8cm². Eine Seite beträgt 2cm.
+Wie groß ist die andere Seite?'''
+<div class="lueckentext-quiz">
+Die andere Seite ist '''4(Zahl eintragen)''' cm lang.
+</div>
+<br>
+'''''
+'''''
+|}
+</div>
+===Dem Flächeninhalt auf der Spur===
 <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 {| <br>
-'''''Verschiebe das Dreieck und beobachte was passiert!''' '''Bearbeite dazu die nebenstehenden Fragen''':''
+''''' Ziehe am Schieberegler und beobachte was passiert!'''''
-  | <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="Ebert_parallelogrammverschieben2.ggb" />||
+  | <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="Ebert_Verschiebung.ggb" />||
 <quiz display="simple">
-{ Welche Art von Dreieck wird abgeschnitten?}
+{ Welche Art von Dreieck wird vom Parallelogramm  abgeschnitten?}
 - es wird ein '''gleichseitiges''' Dreieck abgeschnitten
 + es wird ein '''rechtwinkliges''' Dreieck abgeschnitten
-- es wird ein '''gleichschenkliges'''Dreieck abgeschnitten
+- es wird ein '''gleichschenkliges''' Dreieck abgeschnitten
 </quiz>
 <br>
-'''2.''' '''Begründe, warum ein ''Rechteck'' ensteht''' <br>
+'''2.''' '''Begründe, <u>warum ein ''Rechteck''</u> ensteht''' <br>
 '''Tipp:''' {{ versteckt| Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.}}<br>
 *Bearbeite dazu den folgenden Lückentext:
@@ Zeile 28: / Zeile 65: @@
 *'''Nebenwinkel''' im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°
 *Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt '''180°'''
-*Nebenwinkel: '''<math>\alpha + \beta = </math> 180°'''
-*Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm:'''<math>\alpha = \alpha_1 </math>'''
+<br>
+*damit sind Nebenwinkel im Parallelogramm: '''<math>\alpha + \beta = </math> 180°'''
+<br>
+*Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind :
+<br>
+'''<math>\alpha = \alpha_1 </math>''' <br> und
 <math>\beta = \gamma + </math> '''90°''' bzw.
 <math>\beta = \gamma + \epsilon</math>
+<br>
+<br>
 *'''Innenwinkelsumme im Dreieck''': <math>\alpha + \beta + \epsilon = </math> 180°
 <br>
@@ Zeile 38: / Zeile 82: @@
 <br>
 |-
-|'''3. Welche ''Breite'' besitzt das Rechteck? '''
+|'''3. Verändert sich  Größe Gesamtfläche?'''
 <quiz display="simple">
 {Markiere die richtige Antwort}
-- Die Breite des Rechtecks entspicht der '''Länge der Grundseite''' des Parallelogramms
+-ja
-+ Die Breite des Rechtecks entspricht der '''Höhe des Parallelogramms'''.
++nein
-- Man kann '''keine Aussage''' über die Breite des Rechtecks treffen.
-+ Das Rechteck besitzt '''dieselbe Höhe''', wie das Parallelogramm.
 </quiz>
-* '''Berechne den ''Flächeninhalt des Rechtecks''. '''<br> Hinweis: {{versteckt|In der Darstellung entspricht ein Kästchen einem Zentimeter.}}
+* '''Berechne den ''Flächeninhalt des Rechtecks''. '''<br>
 <div class="lueckentext-quiz">
-Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt  '''12  (cm²)'''<br>
+Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt  '''12  (Zahl eintragen)'''cm²<br>
-Welchen Flächeninhalt besitzt das Parallelogramm? <br>
-Das Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt von '''12  (cm²)'''
 <br>
+Welchen Flächeninhalt hat also  das urspüngliche Parallelogramm? <br>
+Das Parallelogramm hat eine Fläche von '''12  (Zahl eintragen)'''cm²
 </div>
+<br>
 <br>
 |}
- </div>
+</div>
 [[Bild:Ebert_MotivatorGrün.jpg|100px|right]]
 '''''Wie war das doch?'''''
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 | [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg|200px]] ||
 *Wir haben das '''Parallelogramm''' in ein '''Trapez''' und ein '''rechtwinkliges Dreieck''' zerlegt.
+[[Bild:Ebert_Bild1.jpg|200px]]
 *Anschließend wurd das Trapez durch '''Verschiebung''' des '''Dreiecks zum Rechteck ergänzt'''. Diese Verschiebung stellt eine '''Kongruenzabbildung''' dar. <br>
-*Das erhaltene Rechteck und das Ausgangsdreieck sind damit '''zerlegungsgleich''' und besitzen somit den '''gleichen Flächeninhalt'''.
+[[Bild:Ebert_Bild2.jpg|300px]]
+*Das  Rechteck und das ursprüngliche Parallelogramm sind damit '''zerlegungsgleich''' und besitzen somit den '''gleichen Flächeninhalt'''.
 <br>
 <br>
-'''Da diese Zerlegung und Ergänzung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.'''
+'''Da diese Verwandlung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.'''
 |}
   </div>
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 [[Bild:Ebert_Motivatoren.jpg|150px]]<br>
-'''''Maja:''''' ''' <span style="color: green">"Ah, ich  habe es jetzt verstanden! Ich zerlege das Parallelogramm und ergänze zum Rechteck. Denn von Rechtecken kann ich den Flächeninhalt ganz leicht über die Formel ''Länge mal Breite'' berechnen.<br> Die Länge des Rechtecks entspricht dabei der Grundseite des Parallelogramms. Doch wie war das mit der Breite im Parallelogramm??"</span>'''
+'''''Maja:''''' ''' <span style="color: green">"Ah, ich  habe es jetzt verstanden! Ich zerlege das Parallelogramm und ergänze zum Rechteck. Von Rechtecken kann ich den Flächeninhalt einfach über  ''Länge mal Breite'' berechnen.<br> Die Länge des Rechtecks entspricht dabei der Grundseite des Parallelogramms. Doch wie war das mit der Breite im Parallelogramm??"</span>'''
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-'''''Nils:''''' '''<span style="color: red">"Das zeige ich Dir auf der folgenden Seite"</span>'''<br>
+'''''Nils:''''' '''<span style="color: red">"Die Breite im Parallelogramm nennt man eigentlich Höhe, doch das zeige ich Dir auf der folgenden Seite"</span>'''<br>
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 '''''Hier geht es weiter zum nächsten Abschnitt:'''''<br>
 →[[Höhen im Parallelogramm]]
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