Flächeninhalt Parallelogramm: Unterschied zwischen den Versionen

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{ Welche Art von Dreieck wird abgeschnitten?}
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{ Welche Art von Dreieck wird vom Parallelogramm  abgeschnitten?}
 
- es wird ein '''gleichseitiges''' Dreieck abgeschnitten
 
- es wird ein '''gleichseitiges''' Dreieck abgeschnitten
 
+ es wird ein '''rechtwinkliges''' Dreieck abgeschnitten  
 
+ es wird ein '''rechtwinkliges''' Dreieck abgeschnitten  
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- es wird ein '''gleichschenkliges'''Dreieck abgeschnitten
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- es wird ein '''gleichschenkliges''' Dreieck abgeschnitten
 
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'''2.''' '''Begründe, warum ein ''Rechteck'' ensteht''' <br>  
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'''2.''' '''Begründe, <u>warum ein ''Rechteck''</u> ensteht''' <br>  
 
'''Tipp:''' {{ versteckt| Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.}}<br>  
 
'''Tipp:''' {{ versteckt| Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.}}<br>  
 
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{Markiere die richtige Antwort}
 
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- Die Breite des Rechtecks entspicht der '''Länge der Grundseite''' des Parallelogramms
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+ Die Breite des Rechtecks entspricht der '''Höhe des Parallelogramms'''.
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- Man kann '''keine Aussage''' über die Breite des Rechtecks treffen.
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+ Das Rechteck besitzt '''dieselbe Höhe''', wie das Parallelogramm.
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* '''Berechne den ''Flächeninhalt des Rechtecks''. '''<br> Hinweis: {{versteckt|In der Darstellung entspricht ein Kästchen einem Zentimeter.}}
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* '''Berechne den ''Flächeninhalt des Rechtecks''. '''<br>  
 
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Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt  '''12  (cm²)'''<br>
 
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt  '''12  (cm²)'''<br>
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Welchen Flächeninhalt besitzt das Parallelogramm? <br>
 
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Das Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt von '''12  (cm²)'''
 
 
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Welchen Flächeninhalt hat also  das urspüngliche Parallelogramm? <br>
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Das Parallelogramm hat eine Fläche von '''12  (cm²)'''
 
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*Wir haben das '''Parallelogramm''' in ein '''Trapez''' und ein '''rechtwinkliges Dreieck''' zerlegt.  
 
*Wir haben das '''Parallelogramm''' in ein '''Trapez''' und ein '''rechtwinkliges Dreieck''' zerlegt.  
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*Anschließend wurd das Trapez durch '''Verschiebung''' des '''Dreiecks zum Rechteck ergänzt'''. Diese Verschiebung stellt eine '''Kongruenzabbildung''' dar. <br>
 
*Anschließend wurd das Trapez durch '''Verschiebung''' des '''Dreiecks zum Rechteck ergänzt'''. Diese Verschiebung stellt eine '''Kongruenzabbildung''' dar. <br>
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*Das erhaltene Rechteck und das Ausgangsdreieck sind damit '''zerlegungsgleich''' und besitzen somit den '''gleichen Flächeninhalt'''.  
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*Das Rechteck und das ursprüngliche Parallelogramm sind damit '''zerlegungsgleich''' und besitzen somit den '''gleichen Flächeninhalt'''.  
 
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'''Da diese Zerlegung und Ergänzung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.'''
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'''Da diese Verwandlung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.'''
 
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'''''Maja:''''' ''' <span style="color: green">"Ah, ich  habe es jetzt verstanden! Ich zerlege das Parallelogramm und ergänze zum Rechteck. Von Rechtecken kann ich den Flächeninhalt einfach über ''Länge mal Breite'' berechnen.<br> Die Länge des Rechtecks entspricht dabei der Grundseite des Parallelogramms. Doch wie war das mit der Breite im Parallelogramm??"</span>'''
 
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'''''Nils:''''' '''<span style="color: red">"Das zeige ich Dir auf der folgenden Seite"</span>'''<br>
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'''''Hier geht es weiter zum nächsten Abschnitt:'''''<br>
 
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→[[Höhen im Parallelogramm]]
 
→[[Höhen im Parallelogramm]]

Version vom 22. Juli 2009, 19:29 Uhr

Flächeninhalt Parallelogramm

Einstieg


Ebert MotivatorParallelogramm.jpg


Lass uns hier gemeinsam die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms erarbeiten. Du wirst sehen, es ist gar nicht so schwer!

Kapitän Check:


Hier siehst Du eine Möglichkeit, wie man die Flächeninhaltsformel von Parallelogrammen herleiten kann


Bewege den roten Punkt und verwandle so das Parallelogramm in ein Rechteck

1. Welche Art von Dreieck wird vom Parallelogramm abgeschnitten?

es wird ein gleichseitiges Dreieck abgeschnitten
es wird ein rechtwinkliges Dreieck abgeschnitten
es wird ein gleichschenkliges Dreieck abgeschnitten

Punkte: 0 / 0


2. Begründe, warum ein Rechteck ensteht
Tipp:

Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.

  • Bearbeite dazu den folgenden Lückentext:
  • gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß.
  • Nebenwinkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°
  • Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°
  • Nebenwinkel: \alpha + \beta = 180°
  • Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm:\alpha = \alpha_1

\beta = \gamma + 90° bzw. \beta = \gamma + \epsilon

  • Innenwinkelsumme im Dreieck: \alpha + \beta + \epsilon = 180°


\Rightarrow \epsilon = 90° und \alpha_1 + \gamma = 90°


3. Verändert sich beim Verschieben die Größe der grünen Gesamtfläche?

1. Markiere die richtige Antwort

ja
nein

Punkte: 0 / 0


  • Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 12 (cm²)

Welchen Flächeninhalt hat also das urspüngliche Parallelogramm?
Das Parallelogramm hat eine Fläche von 12 (cm²)




Ebert MotivatorGrün.jpg

Wie war das doch?
Maja hat sich nicht alles gemerkt.

Nils hat ihr die Herleitungsidee nochmals zusammengefasst:

Ebert MotivatorMerke.jpg
  • Wir haben das Parallelogramm in ein Trapez und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegt.

(Bild)

  • Anschließend wurd das Trapez durch Verschiebung des Dreiecks zum Rechteck ergänzt. Diese Verschiebung stellt eine Kongruenzabbildung dar.

(Bild)

  • Das Rechteck und das ursprüngliche Parallelogramm sind damit zerlegungsgleich und besitzen somit den gleichen Flächeninhalt.



Da diese Verwandlung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.


Ebert Motivatoren.jpg
Maja: "Ah, ich habe es jetzt verstanden! Ich zerlege das Parallelogramm und ergänze zum Rechteck. Von Rechtecken kann ich den Flächeninhalt einfach über Länge mal Breite berechnen.
Die Länge des Rechtecks entspricht dabei der Grundseite des Parallelogramms. Doch wie war das mit der Breite im Parallelogramm??"
Nils: "Die Breite im Parallelogramm nennt man eigentlich Höhe,doch das zeige ich Dir auf der folgenden Seite"

Hier geht es weiter zum nächsten Abschnitt:
→Höhen im Parallelogramm

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