Flächeninhalt Parallelogramm: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 24. Juli 2009, 19:05 Uhr

Flächeninhalt Parallelogramm

Einstieg

Lass uns hier gemeinsam die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms erarbeiten. Du wirst sehen, es ist gar nicht so schwer!

Ziehe am roten und grünen Eckpunkt des Vierecks.
Erzeuge möglichst viele verschiedene Vierecke'

2. Aufgabe :
a. Erzeuge ein Rechteck mit Umfang 18cm. Eine Seitenlänge soll 4cm sein. Wie lang ist die andere Seite?

Die andere Seite ist 5(Zahl eintragen)cm lang.

b. Erzeuge ein Quadrat mit Umfang 12 cm. Welchen Flächeninhalt hat es?

Es hat einen Flächeninhalt von 9(Zahl eintragen)cm².

c. Erzeuge ein Parallelogramm mit 2 rechten Winkeln und dem Flächeninhalt 8cm². Eine Seite beträgt 2cm. Wie groß ist die andere Seite?

Die andere Seite ist 4(Zahl eintragen) cm lang.

Dem Flächeninhalt auf der Spur

Ziehe am Schieberegler und beobachte was passiert!

2. Begründe, warum ein Rechteck ensteht
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Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.

Bearbeite dazu den folgenden Lückentext:

gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß.
Nebenwinkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°
Nebenwinkel: $\alpha + \beta =$ 180°
Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm: $\alpha = \alpha_1$

$\beta = \gamma +$ 90° bzw. $\beta = \gamma + \epsilon$

Innenwinkelsumme im Dreieck: $\alpha + \beta + \epsilon =$ 180°

$\Rightarrow$ $\epsilon =$ 90° und $\alpha_1 + \gamma =$ 90°

3. Verändert sich Größe Gesamtfläche?

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 12 (Zahl eintragen)cm²

Welchen Flächeninhalt hat also das urspüngliche Parallelogramm?
Das Parallelogramm hat eine Fläche von 12 (Zahl eintragen)cm²

Wie war das doch?
Maja hat sich nicht alles gemerkt.

Nils hat ihr die Herleitungsidee nochmals zusammengefasst:

Wir haben das Parallelogramm in ein Trapez und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegt.

Anschließend wurd das Trapez durch Verschiebung des Dreiecks zum Rechteck ergänzt. Diese Verschiebung stellt eine Kongruenzabbildung dar.

Das Rechteck und das ursprüngliche Parallelogramm sind damit zerlegungsgleich und besitzen somit den gleichen Flächeninhalt.

Da diese Verwandlung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.

Maja: "Ah, ich habe es jetzt verstanden! Ich zerlege das Parallelogramm und ergänze zum Rechteck. Von Rechtecken kann ich den Flächeninhalt einfach über Länge mal Breite berechnen.
Die Länge des Rechtecks entspricht dabei der Grundseite des Parallelogramms. Doch wie war das mit der Breite im Parallelogramm??"
Nils: "Die Breite im Parallelogramm nennt man eigentlich Höhe, doch das zeige ich Dir auf der folgenden Seite"

Hier geht es weiter zum nächsten Abschnitt:
→Höhen im Parallelogramm

Hier geht es zurück zur Seite Flächeninhalt ebener Figuren

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 '''2. Aufgabe :'''<br>
-'''a. Erzeuge ein Rechteck  mit Umfang 16cm.'''<br>
+'''a. Erzeuge ein Rechteck  mit Umfang 18cm.
+Eine Seitenlänge soll 4cm sein. Wie lang ist die andere Seite?'''
+<div class="lueckentext-quiz">
+Die andere Seite ist '''5(Zahl eintragen)'''cm lang. <br>
+</div>
 '''b. Erzeuge ein Quadrat mit Umfang 12 cm. Welchen Flächeninhalt hat es?''' <br>
 <div class="lueckentext-quiz">
-Es hat einen Flächeninhalt von '''3(cm²)'''
+Es hat einen Flächeninhalt von '''9(Zahl eintragen)'''cm².
 </div>
-'''c. Erzeuge ein Parallelogramm mit Flächeninhalt 12cm²'''<br>
+'''c. Erzeuge ein Parallelogramm mit 2 rechten Winkeln und dem Flächeninhalt 8cm². Eine Seite beträgt 2cm.
-'''''Findest Du mehrere Möglichkeiten? Zeichne sie in dein Heft.
+Wie groß ist die andere Seite?'''
+<div class="lueckentext-quiz">
+Die andere Seite ist '''4(Zahl eintragen)''' cm lang.
+</div>
+<br>
+'''''
 '''''
 |}
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 ''''' Ziehe am Schieberegler und beobachte was passiert!'''''
-  | <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="Ebert_parallelogrammverschieben2neu.ggb" />||
+  | <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="Ebert_Verschiebung.ggb" />||
 <quiz display="simple">
 { Welche Art von Dreieck wird vom Parallelogramm  abgeschnitten?}
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 * '''Berechne den ''Flächeninhalt des Rechtecks''. '''<br>
 <div class="lueckentext-quiz">
-Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt  '''12  (cm²)'''<br>
+Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt  '''12  (Zahl eintragen)'''cm²<br>
 <br>
 Welchen Flächeninhalt hat also  das urspüngliche Parallelogramm? <br>
-Das Parallelogramm hat eine Fläche von '''12  (cm²)'''
+Das Parallelogramm hat eine Fläche von '''12  (Zahl eintragen)'''cm²
 </div>
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