Praktische Grenzen der Berechenbarkeit

Zuordnungsquiz

Ordne den Funktionsnamen die zugehörigen Graphen und Terme zu!

	Exponentialfunktion	$a \cdot e^x$
	$a \cdot x$	Lineare Funktion
	Potenzfunktion	$a \cdot x^b$

Lineare Suche

Der unten stehende Algorithmus durchsucht ein gegebenes Array a nach einem Objekt x.

Algorithmus lineare_suche
Eingabe: Ein Array a der Länge n und ein zu suchendes Objekt x
Ausgabe true, wenn es ein j, 1 <= j <= n gibt mit a[j] = x
j := 1
found := (a[j] = x)
while (not found and j<n){
       j:=j+1
       found:=(a[j] = x)
       return found
}

Der Algorithmus geht die Elemente des Arrays der Reihe nach durch. Dabei vergleicht er jedes Element mit dem Objekt x. Das Programm endet, sobald x gefunden oder das Ende des Arrays erreicht worden ist.

Zur Analyse der Laufzeit des Algorithmus zählt man die elementaren Rechenoperationen. Hierzu zählen:

• Vergleiche wie "<", ">", "=", "and", "not",...
• Wertzuweisungen wie ":="
• Rechenoperationen wie "+", "-", "*", "/",...

Die Zahl der benötigten Rechenoperationen hängt offensichtlich von der Größe des Array und ob bzw. an welcher Stelle im Array das Objekt x vorkommt. Im besten Fall (englisch "best case") benötigt man also sechs elementare Rechenoperationen. Dies ist der Fall wenn das gesuchte Objekt im ersten Arrayfeld ist. Hier wird die while-Schleife nicht durchlaufen.

Im schlechtesten Fall wird die while-Schleife (n-1)-mal durchlaufen. Dies ist der Fall, wenn das gesuchte Objekt x überhaupt nicht im Array vorhanden ist. Dann benötigt man $3+(n-1)\cdot 7 = 7\cdot n - 4$ elementare Rechenoperationen.

Interessant ist auch der durchschnittliche Fall (englisch "average case"). Hier wird die durchschnittliche Laufzeit über alle Möglichkeiten unter Berücksichtung der Wahrscheinlichkeit für die Eingabe a gemittelt. Man benötigt im Durchschnitt $3+4\cdot(n-1)= 4\cdot n - 1$ Rechenschritte.

Mit $T(n)$ wird die Anzahl der elementaren Rechenoperationen in Abhängigkeit von der Länge des Arrays bezeichnet.

Zusammenfassend erhalten wir:

• $T_{best}(n)= 6$
• $T_{average}(n)=4\cdot n - 1$
• $T_{worst}(n)= 7\cdot n - 4$

Türme von Hanoi

Das Spiel Türme von Hanoi besteht aus drei Stäben A,B und C, auf die verschieden große, gelochte Scheiben gesteckt werden können. Ziel des Spieles ist es, denn Stapel von Stab A auf Stab C zu verschieben. Dabei darf immer nur eine Scheibe auf eine anderen Stab gesteckt werden, wobei auf dem Zielstab keine kleinere Scheibe sein darf. Die Scheiben sind auf jedem Stab also der Größe nach geordnet.

1. Spielt man dieses Spiel mit nur einer Scheibe, so ist die Anzahl der nötigen Züge trivialerweise Eins, da die eine vorhandene Scheibe lediglich vom linken auf den rechten Stab gesteckt werden muss.
Im Falle von zwei Scheiben ist fast ebenso einfach: Man steckt die kleine Scheibe auf den mittleren Stab, bewegt die große Scheibe auf den rechten Stab und setzt die kleine Scheibe obendrauf. Man benötigt also zwei Züge.

In dieser Animation siehst du die Lösung für den Fall, dass man mit 3 Scheiben spielt.

Wie viele Schritte werden benötigt, um den Turm mit 3 Scheiben von der linken auf die rechte Seite zu bringen?

	6
	7
	8

2. Wie viele Schritte werden benötigt, um den Turm mit 4 Scheiben von der linken auf die rechte Seite zu bringen?

	15
	16
	17

3. Angenommen $n$ ist die Anzahl der Scheiben, mit denen gespielt wird. Wie verhält sich die Anzahl der benötigten Züge in Abhängigkeit von $n$?

	linear
	quadratisch
	exponentiell

Punkte: 0 / 0

Die Originalversion der Türme von Hanoi wurde von buddhistischen Mönchen ausgedacht. Dabei gab es ebenfalls 3 Stäbe, aber 64 Scheiben. Die Mönche prophezeiten das Ende der Welt, falls diese Aufgabe gelöst werde. Für die Lösung benötigt man mehr als $1,8\cdot 10^{19}$ Scheibenbewegungen. Würde ein Mensch für eine Scheibenbewegung 1 Sekunde benötigen, würde das Lösen der Aufgabe 584942417355 Jahre dauern, ohne auch nur geschlafen zu haben.,

Wachstum von Funktionen

Gegeben sind die Funktionen $f(x)=2^x,\, g(x)=x^2,\, h(x) = x \cdot log_2 (x)$ und $i(x) = 2\cdot x$. Ab welchem ganzzahligen $x$ ist das exponentielle Wachstum von $f(x)$ schlechter als das polynomielle der Funktionen $g,\,h,\,i$? (Hinweis: Stelle zur Bestimmung eine Wertetabelle auf oder löse die Aufgabe graphisch!)

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\begin{matrix} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ f(x) & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512\\ g(x) & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 & 81\\ h(x) & 0 & 2 & 4,75 & 8 & 11,61 & 15,51 & 19,65 & 24 & 28,53\\ i(x) & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 \end{matrix}$

Also ist $f(x)$ schlechter als $g(x)$ für $x>4$, $f(x)$ schlechter als $h(x)$ für $x>2$, $f(x)$ schlechter als $i(x)$ für $x>2$.

Spielstellungen beim Schach

Wie viele Knoten hat ein Schachspielbaum, bei dem jeder Halbzug (d.h. schwarz oder weiß ist am Zug) 5 Zugmöglichkeiten hat und ein Spiel im Durchschnitt nach 60 Halbzügen beendet ist? Kann man diesen Spielbaum auf einer handelsüblichen Festplatte speichern, wenn pro Knoten des Spielbaums 1 Byte Speicherplatz benötigt wird?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Für die Speicherung eines solchen Spielbaumes würde man ungefähr $8\cdot 10^{35}$ GB benötigen. Eine Studie von IDC hat für 2007 prognostiziert, dass der weltweit verfügbare Speicherplatz $2,8\cdot 10^{11}$ GB beträgt. Es ist also nicht möglich einen solchen Spielbaum zu speichern.