Flächeninhalt ebener Figuren: Unterschied zwischen den Versionen

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#Zeichne vom Punkt C aus eine senkrechte Gerade zur Seite a des Dreiecks.  
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#Zeichne vom Punkt C aus eine senkrechte Gerade zur gegenüberliegenden Seite c des Dreiecks.  
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#'''Schneide''' wieder diese Gerade mit der Seite a.
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#'''Schneide''' wieder diese Gerade mit der Seite c.
 
# Blende die Gerade aus!
 
# Blende die Gerade aus!
 
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# Konstruiere eine Strecke zwischen dem erhaltenen Schnittpunkt und der Ecke C.<br>
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Bewegt man den Eckpunkt C so weit, dass ein '''Basiswinkel''' (nicht der Winkel am Eckpunkt C) größer als 90° wird, so liegt die '''Höhe außerhalb des Dreiecks!'''
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:'''So löst man das Problem:'''
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# Konstruiere eine '''Gerade durch A und B'''
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# Zeichne eine '''Senkrechte vom Punkt C zu dieser Geraden'''!
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# '''Schneide''' diese Senkrechte Gerade mit der Geraden durch AB. Blende die Senkrechte Gerade  wieder aus.
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# '''Verbinde''' den erhaltenen Schnittpunkt mit C
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:'''Was Du nun konstruiert hast, ist wieder eine Höhe vom Eckpunkt C aus. Doch diese kann auch außerhalb  liegen!! Teste dies durch Bewegen von C!!'''
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Version vom 30. Juni 2009, 11:12 Uhr

Entdecke auf dieser Seite, wie man die Flächeninhalte ebener Figuren berechnet!!


1.Wiederholung: Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten


Das solltest Du also wissen



Den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet man durch die folgende Formel:
F_{Rechteck}= g \cdot b
mit g als der Länge der Grundseite und b als Breite des Rechteckes.

Analog berechent sich der Flächeninhalt von Quadraten durch:
F_{Quadrat} = a\cdot a = a^2
mit a als Seitenlänge des Quadrates.




2.Das ist ja die Höhe!!: Höhen ebener Figuren


2.1 Höhen im Parallelogramm

Jetzt darfst Du konstruieren!
Wenn Du die Geogebra Datei durch Klick auf den Button geöffnet hast, wirst Du ein Parallelogramm sehen
Bearbeite dazu die folgenden Aufgabenstellungen:
Hinweis: In Geogebra werden Punkte in Großbuchstaben z.b. A,B,C ; Strecken und Geraden in Kleinbuchstaben a,b,c usw. angegeben.
In der Menüleiste findest du wichtige Befehle, mit denen Du konstruieren kannst.
Mach dich zunächst mit dem Programm vertaut!

Aufgabe:

  1. Zeichne von Punkt C aus eine senkrechte Gerade zur Parallelogrammseite a. Die Gerade wird automatisch benannt
  2. Schneide diese Gerade mit der Strecke a. Dabei erscheint ein grauer Punkt E
  3. Blende die Gerade aus. (Rechtsklick auf die Gerade und Befehl "Objekt anzeigen" deaktivieren)
  4. Erstelle nun eine Strecke zwischen Punkt C und E


2.2 Höhen im Dreieck


Auch hier darfst Du wieder konstruieren.


Öffne wieder die Geogebra Datei durch Klick auf den Button. Konstruiere eine Höhe im dem vorgegebenen Dreieck, nach folgender Aufgabenstellung:
  1. Zeichne vom Punkt C aus eine senkrechte Gerade zur gegenüberliegenden Seite c des Dreiecks.
  2. Schneide wieder diese Gerade mit der Seite c.
  3. Blende die Gerade aus!
  4. Konstruiere eine Strecke zwischen dem erhaltenen Schnittpunkt und der Ecke C.


Sehr schön! Was Du konstruiert hast ist eine Höhe des Dreiecks vom Eckpunkt C aus, auf die gegenüberliegende Seite.

5. Bewege den Eckpunkt C nach Links und Rechts. Was passiert mit der Höhe?


Bewegt man den Eckpunkt C so weit, dass ein Basiswinkel (nicht der Winkel am Eckpunkt C) größer als 90° wird, so liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks!


So löst man das Problem:
  1. Konstruiere eine Gerade durch A und B
  2. Zeichne eine Senkrechte vom Punkt C zu dieser Geraden!
  3. Schneide diese Senkrechte Gerade mit der Geraden durch AB. Blende die Senkrechte Gerade wieder aus.
  4. Verbinde den erhaltenen Schnittpunkt mit C


Was Du nun konstruiert hast, ist wieder eine Höhe vom Eckpunkt C aus. Doch diese kann auch außerhalb liegen!! Teste dies durch Bewegen von C!!



Aufgabensammlung

3. Klassenzimmer streichen

Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen.
Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.
Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist 4 Meter hoch und 6 Meter breit.
Ebert AufgabeSchulwandstreichen.jpg


Wieviele Vorschläge hast Du? Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auf die Aufgabenstellung!

Du findest hier ein paar Lösungsvorschläge:

Ebert LösungsvorschlägeWand.jpg


Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!
Aufgabenstellung: Zeige, warum im Lösungsvorschlag 1, 3, 7 und 8 jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast.

......




4.Flächeninhalt Parallelogramm

4.1 Einstieg

 Verschiebe das Rechteck und beobachte was passiert! Bearbeite dazu die folgenden Fragen:

1. Welche Art von Dreieck wird abgeschnitten?

es wird ein gleichseitiges Dreieck abgeschnitten
es wird ein rechtwinkliges Dreieck abgeschnitten
es wird ein gleichschenkligesDreieck abgeschnitten

Punkte: 0 / 0


2. Begründe, warum ein Rechteck ensteht
Tipp: Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.

3. Welche Breite besitzt das Rechteck?

1. Markiere die richtige Antwort

Die Breite des Rechtecks entspicht der Länge der Grundseite des Parallelogramms
Die Breite des Rechtecks entspricht der Höhe des Parallelogramms.
Man kann keine Aussage über die Breite des Rechtecks treffen.
Das Rechteck besitzt dieselbe Höhe, wie das Parallelogramm.

Punkte: 0 / 0



4.2 Sicherung

Übertrage folgenden Abschnitt in Dein Heft.Fülle zunächst die Lücken aus:
Merke:

Länge(Rechteck) = Grundseite (Parallelogramm)
Breite (Rechteck) =Höhe h (Parallelogramm)

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist definiert als:
FParallelogramm = g \cdot h mit g als Grundseite
und h als dazugehörigen Höhe



4.3 Vertiefen und Erweitern

Bitte bearbeite die folgenden Aufgaben.

Erkläre, warum die abgebildeten Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt, wie das rote Rechteck haben.

Du kannst die Parallelogramme an den farbigen Eckpunkten L, I und N ziehen. Überlege dir zunächst, warum die Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt haben könnten.
Tipp: Du kannst auch die Höhe anzeigen lassen.




Will man die Höhe im nächsten Parallelogramm einzeichnen, so liegt diese außerhalb des Parallelogrammes.
Wie könnte man für dieses spezielle Parallelogramm die Formel für den Flächeninhalt von Parallelogrammen trotzdem beweisen?


Aufgabenstellung:
  1. Lass zunächst die Mittelparallele anzeigen. Warum genügt es nicht, nur eine Mittelparallele für dieses Parallelogramm anzuzeigen?
  2. Zeige nun restlichen Parallelen an. Ermittle für dieses Beispiel die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms!!



:Eine weitere Lösungsidee ist in der nächsten Darstellung verborgen:

Aufgabenstellung:
  1. Verschiebe das dunkel-grüne Dreieck ,so dass ein Rechteck ensteht (Das Dreieck kannst du wieder verbergen)
  2. Erkläre, welche Idee hinter dieser Zerlegung des Parallelogramms steckt. Tipp: Zeige dafür wieder die Höhe an.


Lösung zur Parallelogrammzerlegung



Merke: Zur Berechnung der Flächeninhaltsformel kann
jede Seite des Parallelogrammes als Grundseite und die zugehörige Höhe genommen werden.





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