Flächeninhalt ebener Figuren: Unterschied zwischen den Versionen

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==Flächeninhalt Parallelogramm==
 
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=== Einstieg===
 
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<br>
 
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[[Bild:Ebert_MotivatorParallelogramm.jpg|center]]
 
−
<br>
 
−
:Lass uns hier gemeinsam die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms erarbeiten. Du wirst sehen, es ist gar nicht so schwer!
 
−
: '''Hier siehst Du eine Möglichkeit, wie man die Flächeninhaltsformel von Parallelogrammen herleiten kann '''
 
−
<br>
 
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{| <br>
 
−
'''Verschiebe das Dreieck und beobachte was passiert!''' '''Bearbeite dazu die nebenstehenden Fragen''':
 
−
| <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="Ebert_parallelogrammverschieben2.ggb" />||
 
−
<quiz display="simple">
 
−
{ Welche Art von Dreieck wird abgeschnitten?}
 
−
- es wird ein '''gleichseitiges''' Dreieck abgeschnitten
 
−
+ es wird ein '''rechtwinkliges''' Dreieck abgeschnitten
 
−
- es wird ein '''gleichschenkliges'''Dreieck abgeschnitten
 
−
</quiz>
 
−
<br>
 
−
'''2.''' '''Begründe, warum ein Rechteck ensteht''' <br>
 
−
'''''Tipp:'' Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.<br> <br>
 
−
'''
 
−
*Bearbeite dazu den folgenden Lückentext:
 
−
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
* '''gegenüberliegende''' Winkel im Parallelogramm sind gleich groß.
 
−
*'''Nebenwinkel''' im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°
 
−
*Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt '''180°'''
 
−
<br>
 
−
*Nebenwinkel: <br>
 
−
'''<math>\alpha + \beta = </math> 180°'''
 
−
<br>
 
−
*Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm:<br>
 
−
'''<math>\alpha = \alpha_1 </math>'''
 
−
<br>
 
−
<math>\beta = \gamma + </math> '''90°''' bzw. 
 
−
<math>\beta = \gamma + \epsilon</math>
 
−
<br>
 
−
*'''Innenwinkelsumme im Dreieck''': <br>
 
−
<math>\alpha + \beta + \epsilon = </math> 180°
 
−
<br>
 
−
<math>\Rightarrow </math> <br>
 
−
<math>\epsilon = </math> 90° <br>
 
−
'''<math>\alpha_1 + \gamma = </math> 90°'''
 
−
</div>
 
−
<br>
 
−
'''3.''' Welche Breite besitzt das Rechteck?
 
−
<quiz display="simple">
 
−
{Markiere die richtige Antwort}
 
−
- Die Breite des Rechtecks entspicht der '''Länge der Grundseite''' des Parallelogramms
 
−
+ Die Breite des Rechtecks entspricht der '''Höhe des Parallelogramms'''.
 
−
- Man kann '''keine Aussage''' über die Breite des Rechtecks treffen.
 
−
+ Das Rechteck besitzt '''dieselbe Höhe''', wie das Parallelogramm.
 
−
</quiz>
 
−
 
−
* Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks. In der Darstellung entspricht ein Kästchen einem Zentimeter.
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt  '''12  (cm²)'''
 
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<br>
 
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</div>
 
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<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
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{|
 
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| [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]] || Wir haben das Parallelogramm in ein '''Trapez''' und ein '''rechtwinkliges Dreieck''' zerlegt. Anschließend wurd das Trapez durch '''Verschiebung''' des '''Dreiecks zum Rechteck ergänzt'''. Diese Verschiebung stellt eine '''Kongruenzabbildung''' dar. <br>
 
−
Das erhaltene Rechteck und das Ausgangsdreieck sind damit '''zerlegungsgleich''' und besitzen somit den '''gleichen Flächeninhalt'''.
 
−
<br>
 
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<br>
 
−
Da diese Zerlegung und Ergänzung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.
 
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|}
 
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</div>
 
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+
'''Hier geht es weiter zum nächsten Abschnitt:'''
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===  Höhen im Parallelogramm===
+
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+
−
<br>[[Bild:Ebert_MotivationHöhen.jpg|center]]
+
 
<br>
 
<br>
−
* '''Zur Berechnung des Flächeninhaltes von Rechtecken haben wir die Länge der Seiten benötigt. Eine Seite war die Grundseite, die andere die Breite.'''
+
[[Flächeninhalt Parallelogramm]]
−
* '''Zur Berechnung des Flächeninhaltes von Parallelogrammen müssen wir wissen, wie die Höhen im Parallelogramm definiert sind.'''
+
−
* '''Du lernst in diesem Abschnitt, was die Höhen von Parallelogramm sind.'''<br>
+
−
 
+
−
 
+
−
* <span style="color: blue">Wenn Du bereits weißt, wie Höhen im Parallelogramm definiert sind, dann ist die Aufgabe eine gute Wiederholung!</span>
+
−
* '''Bearbeite auch hier die Aufgaben sorgfältig.'''
+
−
<br>
+
−
 
+
−
<br>
+
−
====Zusammenfassung: Höhen im Parallelogramm====
+
−
<br>
+
−
:'''Merke Dir die Definition für die Höhen im Parallelogramm gut. Du wirst sie später noch gebrauchen! Wenn Du willst, dann kannst Du den Merkkasten in Dein Heft übetragen.'''
+
−
<br>
+
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<div style= "border:2px solid red; backgroundcolor: #ffffff; padding:7px;">
+
−
{|
+
−
|[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||
+
−
*Eine <span style="color: red">'''Höhe im Parallelogramm'''</span> ist die <span style="color: red">'''senkrechte Strecke'''</span> zwischen einem Punkt auf einer Parallelogrammseite und einem anderen Punkt auf der dazughehörigen parallelen Seite.
+
−
*Sie ist damit der <span style="color: red">'''Abstand zweier paralleler Seitenpaare.'''</span> <br>
+
−
*Man nennt diese Parallelenseiten jeweils <span style="color: red">'''Gundlinie'''</span> zur Höhe<br>
+
−
*In einem Parallelogramm existieren genau <span style="color: red">'''zwei Höhen.'''</span> <br>
+
−
: '''Beispiel:'''
+
−
[[Bild:Ebert_ParallelogrammHöhe.jpg|center]]
+
−
<br>
+
−
'''Füge in dieser Tabelle die passenden Bezeichnungen für das obige Bild ein. '''
+
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
−
{| {{Prettytable}}
+
−
|- style="background-color:#FFFFFF"
+
−
! Grundlinien  !! Höhen zu den Grundlinien !! Länge der Höhen
+
−
|-
+
−
| [AB] ||  [FH]  || h<sub>1</sub>
+
−
|-
+
−
| [BC] || '''[EG]'''  || h<sub>2</sub>
+
−
|-
+
−
| [CD] || '''[FH]'''  || '''h<sub>1</sub>'''
+
−
|-
+
−
| '''[AD]''' ||  [EG]  || '''h<sub>2</sub>'''
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
<span style="color: red">'''Höhen können auch außerhalb der Parallelogrammfläche liegen!! Sie sind dann die senkrechte Strecke von einer Seite zur gegenüberliegenden Geraden!'''</span>
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
 
+
−
===Flächeninhaltsformel des Parallelogramms===
+
−
<br>
+
−
: Jetzt besitzt Du alle Grundlagen, um die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts zu erarbeiten.
+
−
:'''Fülle zunächst die Lücken aus.''' und Übertrage anschließend den Merkkasten in Dein Heft!<br>
+
−
<div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
{|<br>
+
−
|[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]] || [[Bild:Ebert_MerkbildParallelogramm.jpg|center]]
+
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
−
*Länge('''Rechteck''') = '''Grundseite '''(Parallelogramm)<br>
+
−
'''Breite''' (Rechteck)    ='''Höhe h '''(Parallelogramm)<br>
+
−
*Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist definiert als: <br>
+
−
'''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = '''g''' <math>\cdot </math> h  mit
+
−
g als '''Grundseite''' <br> und h als  '''dazugehörigen Höhe'''<br>
+
−
</div>
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
 
+
−
===Zusammenfassung:Flächeninhaltsformel Parallelogramm===
+
−
<br>
+
−
:'''Merke Dir sehr gut, wie man den Flächeninhalt von Parallelogrammen berechnet. Du wirst später darüber abgefragt!'''
+
−
<br>
+
−
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
{|<br>
+
−
| [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]] || Den <span style="color: red">'''Flächeninhalt eines Parallelogramms''' </span> berechnet man durch: <br>
+
−
'''F<sub>Parallelogramm</sub> = g <math>\cdot </math> h''' <br> <br>
+
−
<span style="color: red">'''g'''</span> ist die <span style="color: red">'''Länge der Grundseite'''</span> und <span style="color: red">'''h'''</span> die <span style="color: red">'''Länge der dazugehörigen Höhe.
+
−
'''</span>
+
−
[[Bild:Ebert_MerkbildParallelogramm.jpg|center]]
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
===Übung===
+
−
===Übung 1: Berechne den Flächeninhalt===
+
−
Berechne den Flächeninhalt der dargestellten Parallelogramme WIEN, BERN und KIEW:
+
−
 
+
−
[[Bild:Ebert_ParallelogrammBerechnung1.jpg]]
+
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
−
Der Flächeninhalt des Parallelogramms WIEN beträgt:  '''10 (cm²)'''
+
−
Der Flächeninhalt des Parallelogramms BERN beträgt:  '''6 (cm²)'''
+
−
Der Flächeninhalt des Parallelogramms KIEW beträgt: '''1,25 (cm²)
+
−
'''
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
===Übung 2: Berechne die fehlenden Maße===
+
−
 
+
−
:In der Tabelle sind Werte verschiedener Größen von Parallelogrammen angegeben.<br>
+
−
:Arbeitsauftrag: <br>
+
−
:Berechne die fehlende Werte und Fülle die Lücken aus! Runde sinnvoll!
+
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
−
{| {{Prettytable}}
+
−
|- style="background-color:#8DB6CD"
+
−
! Parallelogramm !! g1 !! h1 !! Flächeninhalt  !!  g2 !! h2
+
−
|-
+
−
| A              ||3 cm  || 2cm  || '''6  cm²'''          ||  '''2,24 cm'''  || 2,68cm
+
−
|-
+
−
| B              ||3 cm  || '''3cm'''  || 9  cm²          ||  3,6cm      || '''2,5cm'''
+
−
|-
+
−
|  C            ||6 cm ||  3,01cm || '''18,1cm²''' || '''3,62cm''' ||5cm
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
===Übung 3 Wie ändert sich der Flächeninhalt?===
+
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
{|
+
−
'''Wie ändert sich der Flächeninhalt des Parallelogramms ändert, wenn eine oder mehrere Maße im Parallelogramm verändert werden ?'''
+
−
|<ggb_applet height="300" width="600"  filename="Ebert_ParallelogrammVariationsaufgabe.ggb" /> ||
+
−
'''Wie verändert sich der Flächeninhalt, im Parallelogramm, wenn...'''
+
−
<quiz display="simple">
+
−
{...die Länge der Grundseite verdoppelt wird und man die Höhe halbiert?}
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''halbiert'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''vervierfacht'''
+
−
+ Der Flächeninhalt '''gedrittelt'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''bleibt gleich'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''verdoppelt'''
+
−
 
+
−
{...eine Höhe verdoppelt wird?}
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''6 mal so groß'''
+
−
+ Der Flächeninhalt wird '''verdoppelt'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''4 mal so groß'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''geviertelt'''
+
−
 
+
−
{...eine Länge der Grundseite verfünffacht und die Höhe vervierfacht wird?}
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''5 mal so groß'''
+
−
+ Der Flächeninhalt wird '''20 mal so groß'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''10 mal so groß'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''30 mal so groß'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''4 mal so groß'''
+
−
 
+
−
{...wenn alle Parallelogrammseiten verdoppelt werden?}
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''verdoppelt'''
+
−
+ Der Flächeninhalt wird '''vervierfacht'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''halbiert'''
+
−
- Der Flächeninhalt wird '''verdreifacht'''
+
−
</quiz>
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
|}
+
−
</div>
+
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<br>
+
−
<br>
+
−
 
+
−
===Vertiefen und Erweitern===
+
−
'''Du hast alle Aufgaben gelöst? Sehr gut! Für die ganz Schnellen gibt es hier ein paar weitere Herleitungsideen.'''
+
−
 
+
−
=== Variante zur Herleitung===
+
−
'''Eine weitere Lösungsidee ist in der nächsten Darstellung verborgen:'''
+
−
<br>
+
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
{|
+
−
|<ggb_applet height="450" width="800" showResetIcon="true" filename="Ebert_Parallelogrammergänzung2.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
+
−
# Verschiebe das dunkel-grüne Dreieck ,so dass ein Rechteck ensteht (Das Dreieck kannst du wieder verbergen)
+
−
# Erkläre, welche '''Idee''' hinter dieser Zerlegung des Parallelogramms steckt. Tipp: Zeige dafür wieder die Höhe an.
+
−
<br>
+
−
{{Lösung versteckt|
+
−
In diesem Fall werden nicht die Parallelogrammseiten betrachtet, die auf den Parallelen Geraden liegen, sondern '''das andere Seitenpaar'''. Entsprechend wird die '''dazugehörige Höhe''' zur Flächenberechnung gewählt!
+
−
}}
+
−
|}
+
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</div>
+
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−
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<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
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{|
+
−
|[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]|| Zur Berechnung der Flächeninhaltsformel kann <br>
+
−
'''jede Seite''' des Parallelogrammes als Grundseite und die '''zugehörige Höhe''' genommen werden.<br>
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
===Flächeninhaltsgleiche Parallelogramme===
+
−
'''Erinnerst Du Dich noch?? <br>
+
−
Du hast bereits im ersten Lernpfad mit dem Prinzip der Ergänzungsgleichheit nachgewiesen, dass das Parallelogramm und das Quadrat den gleichen Flächeninhalt besitzen. Wie kann man das ohne Ergänzungsgleichheit zeigen??? '''
+
−
 
+
−
 
+
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
{| <br>
+
−
|'''Erkläre, warum das blaue Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt wie das rote Rechteck besitzt.''' '''Berechne zunächst den Flächeninhalt des Rechtecks.''' '''''Tipp:''''' '''Du kannst auch die Höhe anzeigen lassen.'''
+
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
−
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt: '''12 (cm²)'''
+
−
</div>
+
−
|-
+
−
|<ggb_applet height="450" width="700" showResetIcon="true" filename="Ebert_parallelogrammScherungneu2.ggb" /> || 
+
−
'''Du kannst das Parallelogramm mit dem Schieberegler ziehen:'''
+
−
<quiz display="simple">
+
−
{ Wie ändert sich die Höhe des Parallelogramms?}
+
−
- Die Höhe verändert sich, wenn man das Parallelogramm mit dem Schieberegler zieht.
+
−
+ Die Höhe bleibt gleich
+
−
 
+
−
{ Wie ändert sich die Länge der Grundseite?}
+
−
- Die  Grundseite wird größer
+
−
+ Die Grundseite bleib gleich
+
−
- Die Grundseite wird kleiner
+
−
</quiz>
+
−
|-
+
−
|'''Fülle den nachfolgenden Lückentext aus:'''
+
−
<br>
+
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
−
Das Parallelogramm hat den '''gleichen Flächeninhalt''' wie das rote Rechteck, da beide dieselbe '''Grundseite''' besitzen. Auch die '''Höhe''' ist bei beiden gleich, das die verschiebbaren Seite auf der '''gleichen Parallele''' zur Grundseite liegt und somit den '''gleichen Abstand''' zur Grundseite besitzt.
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
 
+
−
===Übung zum Vertiefen===
+
−
Ermittle den Flächeninhalt der vier Figuren I,II, III und IV.
+
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−
 
+
−
 
+
−
[[Benutzer:Anja Ebert/Flächeninhalt ebener Figuren- Teil 2|Hier gehts weiter zum nächsten Lernpfad]]
+

Version vom 13. Juli 2009, 19:34 Uhr


1.Wiederholung: Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten

Entdecke auf dieser Seite, wie man die Flächeninhalte ebener Figuren berechnet!!
Ebert MotivatorenRechteck.jpg


Du hast bereits gelernt, wie man den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten berechnet.
Erinnerst Du Dich noch daran?



Teste Dich in der nächsten Aufgabe. Berechne die fehlenden Felder und fülle die Lücken mit der passenden Antwort aus.


Ebert RechteckA.jpg 30cm \cdot 20cm = 600cm2 Ebert RechteckB.jpg 1m \cdot 134m = 134m 2 Ebert RechteckC.jpg 8dm \cdot 8dm = 64dm 2
Ebert RechteckD.jpg 8cm \cdot 13cm = 104cm2 Ebert RechteckG.jpg 1mm \cdot 1mm= 1mm2 Ebert RechteckH.jpg 4dm \cdot 5m = 2m2 Ebert RechteckI.jpg a \cdot b = ab Ebert RechteckJ.jpg a \cdot a = a2


Du hast alle Aufgabe richtig gelöst? Sehr gut!
Dann kennst Du noch die Flächeninhaltsformel für Rechtecke und Quadrate.
Überprüfe im nächsten Abschnitt, ob du richtig liegst.


Das solltest Du wissen


Merke Dir die Berechnung für die Flächeninhalte des Rechtecks und Quadrates gut! Du wirst sie später wieder gebrauchen.


Ebert MotivatorMerke.jpg

Den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet man durch die folgende Formel:

F_{Rechteck}= g \cdot b


mit g als der Länge der Grundseite und b als Breite des Rechteckes.

Analog berechnet sich der Flächeninhalt von Quadraten durch:

F_{Quadrat} = a\cdot a = a^2


mit a als Seitenlänge des Quadrates.


Hier geht es weiter zum nächsten Abschnitt:
Flächeninhalt Parallelogramm

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