Flächeninhalt ebener Figuren

Entdecke auf dieser Seite, wie man die Flächeninhalte ebener Figuren berechnet!!

1.Wiederholung: Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten

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Bearbeite die folgende Aufgaben und Fülle die fehlenden Felder aus.

30cm $\cdot$ 20cm = 600cm² 1m $\cdot$ 134m = 134m ² 8dm $\cdot$ 8dm = 64dm ²
8cm $\cdot$ 13cm = 104cm² sqrt{2}$\cdot$ sqrt{2} = 2cm²
7cm $\cdot$ x = 7x $\cdot$ cm 1mm $\cdot$ 1mm= 1mm² 4dm $\cdot$ 5m = 2m² a $\cdot$ b = ab a $\cdot$ a = a²

Das solltest Du wissen

Den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet man durch die folgende Formel:
$F_{Rechteck}= g \cdot b$
mit g als der Länge der Grundseite und b als Breite des Rechteckes.

Analog berechent sich der Flächeninhalt von Quadraten durch:
$F_{Quadrat} = a\cdot a = a^2$
mit a als Seitenlänge des Quadrates.

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2.Das ist ja die Höhe!!: Höhen ebener Figuren

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2.1 Höhen im Parallelogramm

Jetzt darfst Du konstruieren!

Wenn Du die Geogebra Datei durch Klick auf den Button geöffnet hast, wirst Du ein Parallelogramm sehen

Bearbeite dazu die folgenden Aufgabenstellungen:

Hinweis: In Geogebra werden Punkte in Großbuchstaben z.b. A,B,C ; Strecken und Geraden in Kleinbuchstaben a,b,c usw. angegeben.

In der Menüleiste findest du wichtige Befehle, mit denen Du konstruieren kannst.

Mach dich zunächst mit dem Programm vertaut!

Aufgabe:

1. Zeichne von Punkt D aus eine senkrechte Gerade zur Parallelogrammseite a. Die Gerade wird automatisch benannt
2. Schneide diese Gerade mit der Strecke a. Dabei erscheint ein grauer Punkt E
3. Blende die Gerade aus. (Rechtsklick auf die Gerade und Befehl "Objekt anzeigen" deaktivieren)
4. Erstelle nun eine Strecke zwischen Punkt C und E

Sehr schön, Du hast eine Höhe im Parallelogramm vom Eckpunkt D zur parallelen Seite a erstellt! Natürlich kann man von jedem anderen Punkt, der auf der Seite DC liegt, eine Höhe zur Seite AB konstruieren.

Eine Höhe im Parallelogramm ist die senkrechte Strecke zwischen einem Punkt auf einer Parallelogrammseite und einem andere Punkt auf der dazughehörigen parallelen Seite. Sie ist damit der Abstand zweier paralleler Seitenpaare. Man nennt diese Parallelenseiten Gundlinie. zur Höhe Im Bild ist z.B.: Grundlinie: [AB] bzw. [DC] Höhe  : [FH] Länge der Höhe: $\overline{FH} = h_1$

2.2 Höhen im Dreieck

Auch hier darfst Du wieder konstruieren.

Öffne wieder die Geogebra Datei durch Klick auf den Button. Konstruiere eine Höhe im dem vorgegebenen Dreieck, nach folgender Aufgabenstellung:

1. Zeichne vom Punkt C aus eine senkrechte Gerade zur gegenüberliegenden Seite c des Dreiecks.
2. Schneide wieder diese Gerade mit der Seite c.
3. Blende die Gerade aus!
4. Konstruiere eine Strecke zwischen dem erhaltenen Schnittpunkt und der Ecke C.
   

Sehr schön! Was Du konstruiert hast ist eine Höhe des Dreiecks vom Eckpunkt C aus, auf die gegenüberliegende Seite.

5. Bewege den Eckpunkt C nach Links und Rechts. Was passiert mit der Höhe?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Bewegt man den Eckpunkt C so weit, dass ein Basiswinkel (nicht der Winkel am Eckpunkt C) größer als 90° wird, so liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks! Dies ist in stumpfwinkligen Dreiecken der Fall!

So löst man das Problem:

1. Konstruiere eine Gerade durch A und B
2. Zeichne eine Senkrechte vom Punkt C zu dieser Geraden!
3. Schneide diese Senkrechte Gerade mit der Geraden durch AB. Blende die Senkrechte Gerade wieder aus.
4. Verbinde den erhaltenen Schnittpunkt mit C

Was Du nun konstruiert hast, ist wieder eine Höhe vom Eckpunkt C aus. Doch diese kann auch außerhalb liegen!! Teste dies durch Bewegen von C!!

Die Höhe im Dreieck ist der Abstand von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenübeliegenden Seite. Die Punkte D,E,F nennt man Höhenfußpunkte Grundlinien Länge der Grundlinien Höhen zu den Grundlinien Länge der Höhen [AB] c [CE] hc [BC] a [AD] ha [AC] b [BF] hb Im stumpfwinkligen Dreieck liegen zwei Höhen außerhalb des Dreiecks. Die Höhe ist hier der Abstand vom Eckpunkt zur Geraden durch die beiden anderen Eckpunkte des Dreiecks.

3. Klassenzimmer streichen

Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen.

Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.

Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist 4 Meter hoch und 6 Meter breit.

Wieviele Vorschläge hast Du? Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auf die Aufgabenstellung!

Du findest hier ein paar Lösungsvorschläge:

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!
Aufgabenstellung: Zeige, warum im Lösungsvorschlag 1, 3, 7 und 8 jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Rechteck 1 wurde in 2 kongruente Teilrechtecke zerlegt, die jeweils grün bzw. gelb gefärbt sind. Da zueinander kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen ist genau die Hälfte des Rechtechs grün bzw. gelb.
  
• Rechteck 3 wurde entlang der Diagonalen halbiert. Es entstehen dabei 2 kongruente Teildreiecke. Argumentation weiter wie für Rechteck 1.
  
• Das Rechteck 7 wurde in 4 kongruente Dreiecke zerlegt. Je 2 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da ${2\over 4}= {1\over2}$ wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.
  
• Dieses 8. Rechteck wurde in 8 kongruente Teildreiecke zerlegt. Je 4 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Agrumentation analog wie für Rechteck 7

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4.Flächeninhalt Parallelogramm

4.1 Einstieg

Verschiebe das Rechteck und beobachte was passiert! Bearbeite dazu die folgenden Fragen: 1. Welche Art von Dreieck wird abgeschnitten? es wird ein gleichseitiges Dreieck abgeschnitten es wird ein rechtwinkliges Dreieck abgeschnitten es wird ein gleichschenkligesDreieck abgeschnitten Punkte: 0 / 0 2. Begründe, warum ein Rechteck ensteht Tipp: Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen. gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß. Nebenwinkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180° Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180° Nebenwinkel: $\alpha + \beta =$ 180° Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm: $\alpha = \alpha_1$ $\beta = \gamma +$ 90° bzw. $\beta = \gamma + \epsilon$ Innenwinkelsumme im Dreieck: $\alpha + \beta + \epsilon =$ 180° $\Rightarrow$ $\epsilon =$ 90° $\alpha_1 + \gamma =$ 90° 3. Welche Breite besitzt das Rechteck? 1. Markiere die richtige Antwort Die Breite des Rechtecks entspicht der Länge der Grundseite des Parallelogramms Die Breite des Rechtecks entspricht der Höhe des Parallelogramms. Man kann keine Aussage über die Breite des Rechtecks treffen. Das Rechteck besitzt dieselbe Höhe, wie das Parallelogramm. Punkte: 0 / 0

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4.2 Sicherung

Übertrage folgenden Abschnitt in Dein Heft.Fülle zunächst die Lücken aus:

Merke: Länge(Rechteck) = Grundseite (Parallelogramm) Breite (Rechteck) =Höhe h (Parallelogramm) Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist definiert als: FParallelogramm = g $\cdot$ h mit g als Grundseite und h als dazugehörigen Höhe

4.3 Vertiefen und Erweitern

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Bitte bearbeite die folgenden Aufgaben.

Erkläre, warum die abgebildeten Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt, wie das rote Rechteck haben. Du kannst die Parallelogramme mit dem Schieberegler ziehen. Tipp: Du kannst auch die Höhe anzeigen lassen. Die Parallelogramme haben den gleichen Flächeninhalt wie das rote Rechteck, da sie dieselbe Grundseite besitzen. Auch die Höhe ist in allen Parallelogrammen (wie auch im Rechteck) gleich, das die verschiebbaren Seiten auf der gleichen Parallele zur Grundseite liegen und somit den gleichen Abstand zur Grundseite besitzen.

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Will man die Höhe im nächsten Parallelogramm einzeichnen, so liegt diese außerhalb des Parallelogrammes.

Wie könnte man für dieses spezielle Parallelogramm die Formel für den Flächeninhalt von Parallelogrammen trotzdem beweisen?

Aufgabenstellung: Lass zunächst die Mittelparallele anzeigen. Warum genügt es nicht, nur eine Mittelparallele für dieses Parallelogramm anzuzeigen? Zeige nun restlichen Parallelen an. Ermittle für dieses Beispiel die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms!!

:Eine weitere Lösungsidee ist in der nächsten Darstellung verborgen:

Aufgabenstellung: Verschiebe das dunkel-grüne Dreieck ,so dass ein Rechteck ensteht (Das Dreieck kannst du wieder verbergen) Erkläre, welche Idee hinter dieser Zerlegung des Parallelogramms steckt. Tipp: Zeige dafür wieder die Höhe an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] In diesem Fall werden nicht die Parallelogrammseiten betrachtet, die auf den Parallelen Geraden liegen, sondern das andere Seitenpaar. Entsprechend wird die dazugehörige Höhe zur Flächenberechnung gewählt!

Merke: Zur Berechnung der Flächeninhaltsformel kann

jede Seite des Parallelogrammes als Grundseite und die zugehörige Höhe genommen werden.

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