Flächeninhalt ebener Figuren

Entdecke auf dieser Seite, wie man die Flächeninhalte ebener Figuren berechnet!!

1.Wiederholung: Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten

Du hast bereits gelernt, wie man den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten berechnet.

Erinnerst Du Dich noch daran?

Teste Dich in der nächsten Aufgabe. Berechne die fehlenden Felder und fülle die Lücken mit der passenden Antwort aus.

30cm $\cdot$ 20cm = 600cm² 1m $\cdot$ 134m = 134m ² 8dm $\cdot$ 8dm = 64dm ²
8cm $\cdot$ 13cm = 104cm² 1mm $\cdot$ 1mm= 1mm² 4dm $\cdot$ 5m = 2m² a $\cdot$ b = ab a $\cdot$ a = a²

Du hast alle Aufgabe richtig gelöst? Sehr gut!

Dann kennst Du noch die Flächeninhaltsformel für Rechtecke und Quadrate.

Überprüfe im nächsten Abschnitt, ob du richtig liegst.

Das solltest Du wissen

Merke Dir die Berechnung für die Flächeninhalte des Rechtecks und Quadrates gut! Du wirst sie später wieder gebrauchen.

Den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet man durch die folgende Formel: $F_{Rechteck}= g \cdot b$ mit g als der Länge der Grundseite und b als Breite des Rechteckes. Analog berechnet sich der Flächeninhalt von Quadraten durch: $F_{Quadrat} = a\cdot a = a^2$ mit a als Seitenlänge des Quadrates.

2.Das ist ja die Höhe!! Höhen ebener Figuren

Du lernst in diesem Abschnitt, was die Höhen von Parallelogramm und Dreiecken sind.

Bearbeite auch hier die Aufgaben sorgfältig, denn die Besonderheiten der Höhen wirst Du noch für die Flächeninhaltsberechnung brauchen!

2.1 Höhen im Parallelogramm

Jetzt darfst Du konstruieren!

Wenn Du die Geogebra Datei durch Klick auf den Button geöffnet hast, wirst Du ein Parallelogramm sehen.

Bearbeite dazu die folgenden Aufgabenstellungen.

Hinweis: In Geogebra werden Punkte in Großbuchstaben z.b. A,B,C ; Strecken und Geraden in Kleinbuchstaben a,b,c usw. angegeben.

In der Menüleiste findest du wichtige Befehle, mit denen Du konstruieren kannst.

Mach dich zunächst mit dem Programm vertaut!

Aufgabe:

1. Zeichne von Punkt D aus eine senkrechte Gerade zur Parallelogrammseite a. Die Gerade wird automatisch benannt
2. Schneide diese Gerade mit der Strecke a. Dabei erscheint ein grauer Punkt E
3. Blende die Gerade aus. (Rechtsklick auf die Gerade und Befehl "Objekt anzeigen" deaktivieren)
4. Erstelle nun eine Strecke zwischen Punkt C und E

Sehr schön, Du hast eine Höhe im Parallelogramm vom Eckpunkt D zur parallelen Seite a erstellt!

Natürlich kann man von jedem anderen Punkt, der auf der Seite DC liegt, eine Höhe zur Seite AB konstruieren.

Zusammenfassung

Merke Dir die Definition für die Höhen im Parallelogramm gut. Du wirst sie später noch gebrauchen! Wenn Du willst, dann kannst Du den Merkkasten in Dein Heft übetragen.

Eine Höhe im Parallelogramm ist die senkrechte Strecke zwischen einem Punkt auf einer Parallelogrammseite und einem anderen Punkt auf der dazughehörigen parallelen Seite. Sie ist damit der Abstand zweier paralleler Seitenpaare. Man nennt diese Parallelenseiten jeweils Gundlinie zur Höhe In einem Parallelogramm existieren genau zwei Höhen. Beispiel: Füge in dieser Tabelle die passenden Bezeichnungen für das obige Bild ein. Grundlinien Höhen zu den Grundlinien Länge der Höhen [AB] [FH] h1 [BC] [EG] h2 [CD] [FH] h1 [AD] [EG] h2

2.2 Höhen im Dreieck

Auch hier darfst Du wieder konstruieren.

Öffne wieder die Geogebra Datei durch Klick auf den Button. Konstruiere eine Höhe im dem vorgegebenen Dreieck, nach folgender Aufgabenstellung:

1. Zeichne vom Punkt C aus eine senkrechte Gerade zur gegenüberliegenden Seite c des Dreiecks.
2. Schneide wieder diese Gerade mit der Seite c.
3. Blende die Gerade aus!
4. Konstruiere eine Strecke zwischen dem erhaltenen Schnittpunkt und der Ecke C.
   

Sehr schön! Was Du konstruiert hast ist eine Höhe des Dreiecks vom Eckpunkt C aus, auf die gegenüberliegende Seite.

5. Bewege den Eckpunkt C nach Links und Rechts. Was passiert mit der Höhe?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Bewegt man den Eckpunkt C so weit, dass ein Basiswinkel (nicht der Winkel am Eckpunkt C) größer als 90° wird, so liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks! Dies ist in stumpfwinkligen Dreiecken der Fall!

So löst man das Problem:

1. Konstruiere eine Gerade durch A und B
2. Zeichne eine Senkrechte vom Punkt C zu dieser Geraden!
3. Schneide diese Senkrechte Gerade mit der Geraden durch AB. Blende die Senkrechte Gerade wieder aus.
4. Verbinde den erhaltenen Schnittpunkt mit C

Was Du nun konstruiert hast, ist wieder eine Höhe vom Eckpunkt C aus. Doch diese kann auch außerhalb liegen!! Teste dies durch Bewegen von C!!

Zusammenfassung

Auch die Eigenschaften der Höhen im Dreieck solltest du wissen. Daher wurden sie hier zusammengefasst. Wenn Du möchtest, kannst Du den Merkkasten in Dein Heft übrtragen.

Die Höhe im Dreieck ist der Abstand von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite. Die Punkte D,E,F nennt man Höhenfußpunkte Beispiel: Hier siehst Du eine Tabelle mit den Bezeichnungen für das Dreieck aus dem obigen Bild. Füge die passenden Bezeichnungen in der Tabelle ein Grundlinien Länge der Grundlinien Höhen zu den Grundlinien Länge der Höhen [AB] c [CE] hc [BC] a [AD] ha [AC] b [BF] hb In der Konstruktionsaufgabe hast Du einen Spezialfall Kennen gelernt: Im stumpfwinkligen Dreieck liegen zwei Höhen außerhalb des Dreiecks. Die Höhe ist hier der Abstand vom Eckpunkt zur Geraden durch die beiden anderen Eckpunkte des Dreiecks. Die Höhen im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.

3.Flächeninhalt Parallelogramm

3.1 Einstieg

Lass uns hier gemeinsam die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms erarbeiten. Du wirst sehen, es ist gar nicht so schwer!

Hier siehst Du eine Möglichkeit, wie man die Flächeninhaltsformel von Parallelogrammen herleiten kann

Verschiebe das Rechteck und beobachte was passiert! Bearbeite dazu die folgenden Fragen: 1. Welche Art von Dreieck wird abgeschnitten? es wird ein gleichseitiges Dreieck abgeschnitten es wird ein rechtwinkliges Dreieck abgeschnitten es wird ein gleichschenkligesDreieck abgeschnitten Punkte: 0 / 0 2. Begründe, warum ein Rechteck ensteht Tipp: Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen. gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß. Nebenwinkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180° Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180° Nebenwinkel: $\alpha + \beta =$ 180° Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm: $\alpha = \alpha_1$ $\beta = \gamma +$ 90° bzw. $\beta = \gamma + \epsilon$ Innenwinkelsumme im Dreieck: $\alpha + \beta + \epsilon =$ 180° $\Rightarrow$ $\epsilon =$ 90° $\alpha_1 + \gamma =$ 90° 3. Welche Breite besitzt das Rechteck? 1. Markiere die richtige Antwort Die Breite des Rechtecks entspicht der Länge der Grundseite des Parallelogramms Die Breite des Rechtecks entspricht der Höhe des Parallelogramms. Man kann keine Aussage über die Breite des Rechtecks treffen. Das Rechteck besitzt dieselbe Höhe, wie das Parallelogramm. Punkte: 0 / 0

Wir haben das Parallelogramm in ein Trapez und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegt. Anschließend wurd das Trapez durch Verschiebung des Dreiecks zum Rechteck ergänzt. Diese Verschiebung stellt eine Kongruenzabbildung dar. Das erhaltene Rechteck und das Ausgangsdreieck sind damit zerlegungsgleich und besitzen somit den gleichen Flächeninhalt. Da diese Zerlegung und Eränzung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.

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3.2 Flächeninhaltsformel des Parallelogramms

Auch die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts kannst Du hier erarbeiten.

Fülle zunächst die Lücken aus. und Übertrage anschließend den Merkkasten in Dein Heft!

Länge(Rechteck) = Grundseite (Parallelogramm) Breite (Rechteck) =Höhe h (Parallelogramm) Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist definiert als: FParallelogramm = g $\cdot$ h mit g als Grundseite und h als dazugehörigen Höhe

3.3 Zusammenfassung:

Merk dir sehr gut, wie man den Flächeninhalt von Parallelogrammen berechnet. Du wirst später darüber abgefragt!

Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man durch: FParallelogramm = g $\cdot$ h g ist die Länge der Grundseite und h die Länge der dazugehörigen Höhe.

3.4 Vertiefen und Erweitern

Bitte bearbeite die folgenden Aufgaben.

Variante zur Herleitung

Eine weitere Lösungsidee ist in der nächsten Darstellung verborgen:

Aufgabenstellung: Verschiebe das dunkel-grüne Dreieck ,so dass ein Rechteck ensteht (Das Dreieck kannst du wieder verbergen) Erkläre, welche Idee hinter dieser Zerlegung des Parallelogramms steckt. Tipp: Zeige dafür wieder die Höhe an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] In diesem Fall werden nicht die Parallelogrammseiten betrachtet, die auf den Parallelen Geraden liegen, sondern das andere Seitenpaar. Entsprechend wird die dazugehörige Höhe zur Flächenberechnung gewählt!

Zur Berechnung der Flächeninhaltsformel kann jede Seite des Parallelogrammes als Grundseite und die zugehörige Höhe genommen werden.

Flächeninhaltsgleiche Parallelogramme

Erkläre, warum die abgebildeten Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt, wie das rote Rechteck haben. Du kannst die Parallelogramme mit dem Schieberegler ziehen. Tipp: Du kannst auch die Höhe anzeigen lassen. Die Parallelogramme haben den gleichen Flächeninhalt wie das rote Rechteck, da sie dieselbe Grundseite besitzen. Auch die Höhe ist in allen Parallelogrammen (wie auch im Rechteck) gleich, das die verschiebbaren Seiten auf der gleichen Parallele zur Grundseite liegen und somit den gleichen Abstand zur Grundseite besitzen.

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Das Höhenproblem

Du hast in der Herleitungsvariante erarbeitet, dass man immer jede Parallelogrammseite als Grundseite verwenden kann. Dies ist auch für das nächste Parallelogramm der Fall, auch wenn eine Höhe außerhalb des Parallelogramms liegt, wenn man diese einzeichnet.

Wie könnte man für dieses spezielle Parallelogramm die Formel für den Flächeninhalt von Parallelogrammen trotzdem beweisen? dazu die außerhalb des Parallogramms liegende Höhe!!

Aufgabenstellung: Verfolge die Schritte! 1. Schritt: Zeige zunächst durch Anklicken die Höhe des Parallelogramms an. Diese liegt außerhalb. 2. Schritt: Lass die Mittelparallele anzeigen. Eine Mittelparallele ist eine Parallele, die den gleichen Abstand zu einem Parallelenpaar besitzt. Was passiert mit dem gelben Parallelogramm? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Mittelparallele halbiert das gelbe Parallelogramm. Dabei wird die Höhe halbiert, jedoch die Grundseite bleibt erhalten. 3.Schritt: Zeige die Zerlegung an. 4.Schritt: Mache die Höhen in den Teilparallelogrammen sichtbar. Fgesamt ist der Flächeninhalt des Ausgangsparallelogramms. F1 und F2 sind die Flächeninhalte der Teilparallelogramme, die durch die Zerlegung mit der Mittelparallele entstehen. Es gilt: F1 + F2 = Fgesamt g $\cdot$ h1 + g $\cdot$ h2 = Fgesamt g $\cdot$ (h1 + h2 ) = Fgesamt da h= (h1 + h2 ) gilt: g $\cdot$ h = Fgesamt

3.5 Übung

In der Tabelle sind Werte verschiedener Größen von Parallelogrammen angegeben.

Arbeitsauftrag:

Berechne die fehlende Werte und Fülle die Lücken aus! Runde sinnvoll!

Parallelogramm	g1	h1	Flächeninhalt	g2	h2
A	3 cm	2cm	6 cm²	2,24 cm	2,68cm
B	3 cm	3cm	9 cm²	3,6cm	2,5cm
C	4 cm	4 cm	16 cm²	4,47cm	3,57cm
D	6cm	5 cm	30cm²	5,39 cm	5,57cm
E	6 cm	3,01cm	18,1cm²	3,62cm	5cm

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