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| | | <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutung2neu.ggb"/>|| | | | <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutung2neu.ggb"/>|| |
| | '''Aufgabenstellung:''' ('''Die Längen sind im Applet in Zentimetern angegeben)''' | | '''Aufgabenstellung:''' ('''Die Längen sind im Applet in Zentimetern angegeben)''' |
| − | 1.Vergrößere die Grundseite, was passiert mit dem Flächeninhalt?
| + | <quiz display="simple"> |
| | + | |
| | + | {Vergrößere die Grundseite, was passiert mit dem Flächeninhalt?} |
| | +Der Flächeninhalt wird größer. | | +Der Flächeninhalt wird größer. |
| | -Der Flächeninhalt wird kleiner. | | -Der Flächeninhalt wird kleiner. |
| | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. | | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. |
| − | 2.. '''Du kannst die Höhe verändern, indem Du am Schieberegler ziehst. Beobachte was mit dem Flächeninhalt passiert.
| + | |
| − | Verkleinere die Höhe, was passiert mit dem Flächeninhalt?''' | + | |
| | + | {Verkleinere die Höhe, was passiert mit dem Flächeninhalt?'''} |
| | -Der Flächeninhalt wird größer. | | -Der Flächeninhalt wird größer. |
| | +Der Flächeninhalt wird kleiner. | | +Der Flächeninhalt wird kleiner. |
| − | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. | + | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. |
| − | 3. '''Stelle die Höhe auf 4cm ein und die Länge der Grundseite auf 2cm.'''
| + | |
| − | * '''Wo liegt die Höhe?'''
| + | |
| − | * '''Wie groß ist der Flächeninhalt?'''
| + | |
| − | 4.''' Wie lang muss die Höhe sein, wenn der Flächeninhalt cm² und die Grundseite cm ist?'''
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | [[Höhen im Dreieck]]
| + | |
| | | | |
| − | ===Höhen im Dreieck===
| + | {Stelle die Höhe auf 4cm ein und die Länge der Grundseite auf 1cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?} |
| − | <br>
| + | -Der Flächeninhalt beträgt 3 cm² |
| − | <br>
| + | -Der Flächeninhalt beträgt 4 cm² |
| − | :'''Auch hier darfst Du wieder konstruieren.'''
| + | +Der Flächeninhalt beträgt 2 cm² |
| − | <br>
| + | |
| − | <ggb_applet height="100" width="200" type="button" filename="Ebert_DreieckHöhe.ggb" />
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :Öffne wieder die Geogebra Datei durch Klick auf den Button. Konstruiere eine Höhe im dem vorgegebenen Dreieck, nach folgender Aufgabenstellung:
| + | |
| − | #Zeichne vom Punkt C aus eine senkrechte Gerade zur gegenüberliegenden Seite c des Dreiecks.
| + | |
| − | #'''Schneide''' wieder diese Gerade mit der Seite c.
| + | |
| − | # Blende die Gerade aus!
| + | |
| − | # Konstruiere eine Strecke zwischen dem erhaltenen Schnittpunkt und der Ecke C.<br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | '''Sehr schön! Was Du konstruiert hast ist eine Höhe des Dreiecks vom Eckpunkt C aus, auf die gegenüberliegende Seite.'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | : 5. Bewege den Eckpunkt C nach Links und Rechts. Was passiert mit der Höhe?
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | {{Lösung versteckt|
| + | |
| − | Bewegt man den Eckpunkt C so weit, dass ein '''Basiswinkel''' (nicht der Winkel am Eckpunkt C) größer als 90° wird, so liegt die '''Höhe außerhalb des Dreiecks!''' Dies ist in stumpfwinkligen Dreiecken der Fall!
| + | |
| − | }}
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''So löst man das Problem:'''
| + | |
| − | # Konstruiere eine '''Gerade durch A und B'''
| + | |
| − | # Zeichne eine '''Senkrechte vom Punkt C zu dieser Geraden'''!
| + | |
| − | # '''Schneide''' diese Senkrechte Gerade mit der Geraden durch AB. Blende die Senkrechte Gerade wieder aus.
| + | |
| − | # '''Verbinde''' den erhaltenen Schnittpunkt mit C
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''Was Du nun konstruiert hast, ist wieder eine Höhe vom Eckpunkt C aus. Doch diese kann auch außerhalb liegen!! Teste dies durch Bewegen von C!!'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | ====Zusammenfassung: Höhen im Dreieck====
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''Auch die Eigenschaften der Höhen im Dreieck solltest du wissen. Daher wurden sie hier zusammengefasst. Wenn Du möchtest, kannst Du den Merkkasten in Dein Heft übrtragen.'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style= "border:2px solid red; backgroundcolor: #ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||
| + | |
| − | *Die Höhe im Dreieck ist der <span style="color: red">'''Abstand von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite.'''</span>
| + | |
| − | * Die Punkte D,E,F nennt man <span style="color: red">'''Höhenfußpunkte'''</span> <br>
| + | |
| − | :'''Beispiel:'''
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_HöheDreieck.jpg|center]]
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | : '''Hier siehst Du eine Tabelle mit den Bezeichnungen für das Dreieck aus dem obigen Bild. '''<br>
| + | |
| − | :'''''Füge die passenden Bezeichnungen in der Tabelle ein'''''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | {| {{Prettytable}}
| + | |
| − | |- style="background-color:#FFFFFF"
| + | |
| − | ! Grundlinien !! Länge der Grundlinien !! Höhen zu den Grundlinien !! Länge der Höhen
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | [AB] || c || [CE] || h<sub>c</sub>
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | [BC] || a || '''[AD]''' || h<sub>a</sub>
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | '''[AC]''' || b || [BF] || '''h<sub>b</sub>'''
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | *'''In der Konstruktionsaufgabe hast Du einen Spezialfall Kennen gelernt:'''
| + | |
| − | *Im <span style="color: red">'''stumpfwinkligen Dreieck'''</span> liegen '''zwei Höhen außerhalb des Dreiecks'''.
| + | |
| − | * '''Die Höhe ist hier der Abstand vom Eckpunkt zur Geraden durch die beiden anderen Eckpunkte des Dreiecks.''' <br>
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_SpezialfallHöhenDreieck.jpg|center]]
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | *'''Die Höhen im Dreieck <span style="color: red">schneiden sich</span> in einem Punkt, dem <span style="color: red">Höhenschnittpunkt</span>.'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | [[Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks]]
| + | |
| | | | |
| − | ===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks===
| + | { Wie lang muss die Höhe sein, wenn der Flächeninhalt 9cm² und die Grundseite 6cm ist?} |
| − | <br>
| + | +Die Länge der Höhe ist 3cm |
| − | :'''Mathematik''' scheint manchmal '''wie Zauberei'''...Warum?? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.
| + | -Die Länge der Höhe ist 4cm |
| − | <br>
| + | -Die Länge der Höhe ist 2cm |
| − | ====Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?====
| + | |
| − | | + | |
| − | : Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.
| + | |
| − | : Doch, wie könnte man das nur machen? <br>
| + | |
| − | :In diesem Applet siehst Du das Dreieck ABC. Bearbeite die nebenstehende Aufgabenstellung.
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | | <ggb_applet height="500" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckErgänzungneu.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:''' | + | |
| − | * Ziehe am Schieberegler und beobachte, was passiert.
| + | |
| − | * Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel für das Dreieck zu finden?
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | * Das Dreieck wird durch ein zweites kongruentes Dreieck zum '''Parallelogramm (Figur eintragen)''' ergänzt.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | * Warum ist dieses zweite Dreieck '''kongruent''' zum ersten?
| + | |
| − | <div class="schuettel-quiz">
| + | |
| − | Das Dreieck geht durch '''Drehung''' um den Mittelpunkt aus dem ersten Dreieck hervor. Dies ist eine '''Kongruenz'''-abbildung.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | *'''Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms'''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt '''12 (cm²)'''
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | * Wie groß ist der Flächeninhalt '''eines Dreiecks'''?
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt ''' 6 (cm²)'''
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Übungsaufgaben===
| + | |
| − | [[Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks===
| + | |
| − | | + | |
| − | <div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | :'''Leite die allgemeine Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!''' <br>
| + | |
| − | :Bedenke nochmals, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''Aufgabenstellung:''' Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :''Gesucht:'' F<sub>Dreieck</sub> = ??<br>
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | '''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = g <math>\cdot</math> h <br>
| + | |
| − | F<sub>Parallelogramm</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub> + F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
| + | |
| − | F<sub>Parallelogramm</sub> = '''2 '''<math>\cdot</math> F<sub>Dreieck</sub><br>
| + | |
| − | '''g <math>\cdot</math> h''' = 2 <math>\cdot</math> F<sub>Dreieck</sub><br>
| + | |
| − | '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g <math>\cdot</math> h ''' = F<sub>Dreieck</sub> <br>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::::::::::'''Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | *'''Begründe mit einem Prinzip, dass Du im ersten Lernpfad kennen gelernt hast, warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann. Gehe hier vom Flächeninhalt des Parallelogramms aus. '''<br>
| + | |
| − | *'''Fülle den folgenden Lückentext aus. '''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | '''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort!
| + | |
| − | Die Flächeninhaltsformel für Dreiecke lässt sich herleiten, indem man ein '''Parallelogramm''' geeignet halbiert. Man halbiert dies entlang seiner '''Diagonalen'''. <br> | + | |
| − | Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''' dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und '''Höhe '''.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | [[Zusammenfassung: Flächeninhalt des Dreiecks]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Zusammenfassung: Flächeninhalt des Dreiecks===
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | '''Übertrage den roten Merkkasten in dein Heft, damit Du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke auch Zuhause nachschauen kannst:'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]|| Den <span style="color:#EE0000 ">Flächeninhalt des Dreiecks</span> berechnet man durch
| + | |
| − | :::::::::::<br> F<sub>Dreieck</sub> = <math>{1 \over 2} \cdot g \cdot h</math> <br>
| + | |
| − | mit <span style="color:#EE0000 ">'''g als Grundseite'''</span> und <span style="color:#EE0000 ">'''h als der dazugehörigen Höhe'''.
| + | |
| − | |</span> <br>
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_MerkbildDreieck.jpg|center]]<br>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | [[Übungsaufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Übungsaufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck===
| + | |
| − | ===Aufgabe 1===
| + | |
| − | Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke TIM, EVA und RON
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Aufgabe 2: Nussecke backen===
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_Nussecke.jpg|center]]
| + | |
| − | :'''Maja hat 30 Nussecken gebacken und möchte deren Oberseite vollständig mit Schokolade überziehen. Das Bild zeigt eine Nussecke, die 6,7 cm hoch und 14,5 cm breit ist. Alle Nussecken sind gleich groß. <br>
| + | |
| − | :'''''Frage:''''' Für welche Fläche braucht Maja Schokolade?'''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | | + | |
| − | Sie benötigt für eine Fläche von '''1457,25 ( nur die Zahl eintragen!)''' cm² Schokolade
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | === Aufgabe 3: Variation Dreieck===
| + | |
| − | : '''Wie sieht die Flächeninhaltsformel für ein... <br>
| + | |
| − | * ...rechtwinkliges Dreieck ABC aus?<br>'''
| + | |
| − | :Der rechte Winkel befindet sich am Eckpunkt C
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_rechtwinkligesDreieck.jpg|center]]
| + | |
| − | <quiz display="simple">
| + | |
| − | {Zu welchem speziellen Parallelogramm kann man das Dreieck ganz einfach ergänzen?}
| + | |
| − | -Man kann das Dreieck zu einem '''Parallelogramm''' mit der Seitenlänge c und der Höhe h ergänzen.
| + | |
| − | +Man kann das Dreieck zu einem '''Rechteck''' mit der Seitenlänge c und der Breite a ergänzen.
| + | |
| − | -Das Dreieck lässt sich zu einem '''Quadrat''' mit der Seitenlänge c ergänzen.
| + | |
| | </quiz> | | </quiz> |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | :Ergänze die fehlenden Felder und ermittle daraus die Flächeninhaltsformel für das rechtwinklige Dreieck:
| |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| |
| − | Bei der Ergänzung gilt z.B.: <br>
| |
| − | '''Seite c''' im Dreieck = Länge c '''im Rechteck'''<br>
| |
| − | Seite '''a''' im Dreieck = '''Breite a''' im Rechteck <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | Das rechtwinklige Dreieck ist '''halb''' so groß wie das entstehende Rechteck, daher gilt:
| |
| − | F<sub>rechtwinklig</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> '''c''' <math>\cdot</math> a
| |
| − | </div>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | :'''Wie sieht die Flächeninhaltsformel für ein...'''
| |
| − | * '''..gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ABC aus?'''
| |
| − | :Der rechte Winkel befindet sich am Eckpunkt C. [[Bild:Ebert_gleichschenkligrwDreieck.jpg|center]]
| |
| − |
| |
| − | <quiz display="simple">
| |
| − |
| |
| − | {Zu welchem speziellen Parallelogramm kann man das Dreieck ganz einfach ergänzen?}
| |
| − | -Man kann das Dreieck zu einem '''Parallelogramm''' mit der Seitenlänge c und der dazugehörigen Höhe h ergänzen.
| |
| − | -Man kann das Dreieck zu einem '''Rechteck''' mit der Länge c und der Breite a ergänzen.
| |
| − | +Das Dreieck lässt sich zu einem '''Quadrat''' mit der Seitenlänge a ergänzen.
| |
| − | </quiz>
| |
| − | :Ergänze die fehlenden Felder und ermittle daraus die Flächeninhaltsformel für das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck:
| |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| |
| − | Bei der Ergänzung gilt z.B.: <br>
| |
| − | '''Seite c''' im Dreieck = Seite c '''im Quadrat'''<br>
| |
| − | Seite '''a''' im Dreieck = '''Seite a''' im Quadrat <br>
| |
| − | Im Quadrat gilt: '''a = c'''<br>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Das rechtwinklige Dreieck ist '''halb''' so groß wie das entstehende Quadrat, daher gilt:<br>
| |
| − | F<sub>gleichschenklig-rechtwinklig</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> '''a''' <math>\cdot</math> a = '''a²'''
| |
| − | </div>
| |
| − | [[Vertiefen und Erweitern zum Flächeninhalt des Dreiecks]]
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| − |
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| − |
| |
| − | ===Für die ganz Schnellen:===
| |
| − | ===Vertiefen und Erweitern===
| |
| − | <br>
| |
| − | :'''Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann.
| |
| − | :Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz. <br>
| |
| − | :'''Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen. '''
| |
| − | :Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.'''
| |
| − | <br>
| |
| − | ====Herleitungsidee 2====
| |
| − | ----
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| − | {| <br>
| |
| − | |<ggb_applet height="500" width="600" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe1neuggb.ggb"/>||
| |
| − | '''Aufgabenstellung:''' <br>
| |
| − | 1.'''Wie''' wurde das Dreieck '''zerlegt'''? {{Lösung versteckt |Man zeichnet die Mittelparallele des Dreiecks zur Grundseite ein und schneidet diese mit der Höhe zu dieser Grundseite. }} <br>
| |
| − | 2.'''Welche Figur''' ensteht? {{Lösung versteckt |Es entsteht ein Rechteck}}<br>
| |
| − | 3.Wie erhält man die Figur? {{Lösung versteckt |Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung}}<br>
| |
| − | 5.Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?{{Lösung versteckt |Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung. }}<br>
| |
| − | 6.'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?{{Lösung versteckt |Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks}}<br>
| |
| − | 7.Welche Länge besitzt ihre Grundseite?{{Lösung versteckt |Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.}}
| |
| − |
| |
| | |} | | |} |
| − | </div>
| + | </div> |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | : '''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | : F<sub>Rechteck</sub> = g <math>\cdot</math> h<sub>2</sub> <br>
| + | |
| − | : Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Rechteck</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
| + | |
| − | : Für die Höhen gilt:
| + | |
| − | :h<sub>2</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> h<sub>1</sub><br>
| + | |
| − | : Einsetzen in Formel für Rechteck: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g <math>\cdot</math> h<sub>1</sub>'''
| + | |
| − | </div> | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ----
| + | |
| − | ====Herleitungsidee 3====
| + | |
| − | ----
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | |<ggb_applet height="300" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_Dreieckneu.ggb"/>||
| + | |
| − | '''Aufgabenstellung:'''
| + | |
| − | 1. Wie wurde das Dreieck zerlegt? {{Lösung versteckt | Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten eingezeichnet. }}
| + | |
| − | 2.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung? {{Lösung versteckt | Es ensteht ein Paralellogramm}}
| + | |
| − | 3.'''Wie''' entsteht diese Figur? {{Lösung versteckt | Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm}}
| + | |
| − | 4. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht? {{Lösung versteckt | Das kleine Teildreieck wird um 180 ° um einen Seitenmittelpunkt gedreht. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt.}}
| + | |
| − | 5. Welche '''Höhe''' besitzt die '''neue Figur''' im Vergleich zum Dreieck {{Lösung versteckt | Die Höhe des Parallelogramms ist halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks. Das Paralellogramm besitzt aber die gleiche Länge der Grundseite}}
| + | |
| − | 6.
| + | |
| − | Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm und c= 4cm
| + | |
| − | Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks Ma, Mb und C. Überlege dir, welche Länge die Strecke MaMb besitzt.
| + | |
| − | Berechne den Flächeninhalt des Paralllelogramms. Was fällt Dir auf?
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | : '''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | : F<sub>Parallelogramm</sub> = '''g <math>\cdot</math> h<sub>2</sub> '''<br>
| + | |
| − | : Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Parallelogrammk</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
| + | |
| − | : Für die Höhen gilt:
| + | |
| − | :'''h<sub>2</sub>''' = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> h <br>
| + | |
| − | : Einsetzen in Formel für Parallelogramm: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g <math>\cdot</math> h'''
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
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| − | [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]] <br>
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| − | '''Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen: <br>
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| − | In der '''ersten Variante''' zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...<br>
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| − | und in der '''zweiten Variante''' zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit '''gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe'''.'''
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| − | ====Herleitungsidee 4====
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| − | : '''Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird. <br>
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| − | : Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:'''
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| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | |<ggb_applet height="450" width="580" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe3neu.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
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| − | 1.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung? {{Lösung versteckt | Es entsteht ein Rechteck }}
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| − | 2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? {{Lösung versteckt |Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung}}
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| − | 3.'''Welche Höhe''' besitzt die erhaltene Figur? {{Lösung versteckt | Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks}}
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| − | 4.'''Zeige''', dass die '''Grundseite g der neuen Figur halb so lang '''ist, wie die Grundseite des Dreiecks!<br>
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| − | Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t <br>
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | '''g<sub>Dreieck</sub>''' = s + s + t + t <br>
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| − | g<sub>Dreieck</sub> = '''2 <math>\cdot</math> s''' + 2<math>\cdot</math> '''t''' = 2 <math>\cdot</math>(s + t)<br>
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| − | g<sub>Rechteck</sub>= '''s + t''' <br>
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| − | => g<sub>Rechteck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g<sub>Dreieck</sub>'''
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| − | </div>
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| − | </div>
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| − | : '''Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?'''
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | F<sub>Rechteck</sub> = '''g<sub>Rechteck</sub>''' <math>\cdot</math> h <br>
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| − | : Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
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| − | :F<sub>Rechteck</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
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| − | : Für die Grundseiten gilt:
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| − | :g<sub>Rechteck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> '''g<sub>Dreieck</sub>'''<br>
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| − | : Einsetzen in Formel für Rechteck: <br>
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| − | :F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g<sub>Dreieck</sub> <math>\cdot</math> h'''
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| − | </div>
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