Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 8. Juli 2009, 10:03 Uhr
Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.
Bearbeite die Aufgaben sorgfältig!
Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast!
Denn nur so lernst du am Besten!
1. Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren
1.1 Wiederholung des Kongruenzbegriffes
- Weißt Du noch was man unter Kongruenz von Figuren versteht??
- Eine Wiederholung kann nicht schaden.
1.2 Los geht´s: Teste Dein Wissen!
- Ein anderes Wort für Kongruenz ist Deckungsgleichheit
- Hinweis: Kongruente Figuren kann man zur Deckung bringen
Aufgabe: Wie erzeugt man kongruente Figuren?
Aufgabe: Kongruente Dreiecke
- Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?
Gib die Buchstaben an und begründe anschließend warum.
- War Deine Lösung richtig?
Kleines Quiz
Achtung!! Mehrere Antworten sind möglich!
1.3 Das sollest du also wissen
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Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch Verschiebung,Drehung oder Spiegelung ineinander überführt werden können. Diese drei Abbildungen nennt man daher auch Kongruenz-abbildungen. |
1.4 Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?
- Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der man die Kongruenz von Figuren nutzen kann.
Dazu gehört zum Beispiel die Konstruktion von Dreiecken, wofür man die Kongruenzsätze benötigt. Kennst Du noch alle davon? Ordne die richtige Abkürzung der Beschreibung zu!
- Im nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel kennen
2. Zerlegungsgleichheit von Figuren
2.1 Eine Einführung
Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?
- Aufgabenstellung:
: Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Klicke :die jeweiligen Kästchen an, um die Teilfiguren auf die Inseln zu legen.
- Lege die Teilfiguren per Mausklick von Links nach Rechts auf die Insel
- Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.
- Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?
- Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?? Begründe Deine Antwort!
Die größte Insel ist Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)
Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind. denn das kleine blaue und das graue Dreieck sind auch zueinander kongruent.
Figur B kann mit einer Teilfigur mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.
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Figur A und C nennt man daher auch zerlegungsgleich, |
2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit
- Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt.
- Diese Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren.
- Aus den Eigenschaften der Kongruenz ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den gleichen Flächeninhalt besitzen.
- Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F1 bis F5 zusammen.
Ergänze die fehlenden Felder
FQuadrat = F1 + F2 + F3 + F4 + F5
ebenso gilt aber auch:
F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = FSechseck
- Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!
<br
 Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren.
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Das ist ja klasse! Wir können feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen, obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können! |
Hierzu ein kleines Beispiel:
- Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?
Hier findest du den Hinweis
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Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt. |
Zusammenfassung
- Übertrage folgende Definition in Dein Heft:
Ergänzungsgleichheit von Figuren
- Das Trapez und das Rechteck sind zerlegungsgleich, denn sie können z.B. in jeweils vier zueinander kongruente Dreiecke zerlegt werden.
- Man nennt dieses Rechteck und das Trapez aber auch ergänzungsgleich. Betrachte Dir dazu das nachfolgende Bild:
- Was bedeutet Ergänzungsgleichheit? Fülle dazu die Lücken aus:
Das Trapez und das Rechteck sind ergänzungsgleich, das sie durch Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren, in diesem Fall mit je zwei blauen Dreiecken in zueinander kongruente Figuren A und B überführt werden können.
- Merke Dir folgende Definition zur Ergänzungsgleichheit:
Vertiefen und Übung
Klassenzimmer streichen
- Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen.
- Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.
- Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist 4 Meter hoch und 6 Meter breit.
Wieviele Vorschläge hast Du? Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auch auf die Aufgabenstellung!
- Du findest hier ein paar Lösungsvorschläge:
Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!
Aufgabenstellung:
Zeige, warum im Lösungsvorschlag 1, 3, 7 und 8 jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast.
- Rechteck 1 wurde in 2 kongruente Teilrechtecke zerlegt, die jeweils grün bzw. gelb gefärbt sind. Da zueinander kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen ist genau die Hälfte des Rechtechs grün bzw. gelb.
- Rechteck 3 wurde entlang der Diagonalen halbiert. Es entstehen dabei 2 kongruente Teildreiecke. Argumentation weiter wie für Rechteck 1.
- Das Rechteck 7 wurde in 4 kongruente Dreiecke zerlegt. Je 2 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da
wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.
- Dieses 8. Rechteck wurde in 8 kongruente Teildreiecke zerlegt. Je 4 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Agrumentation analog wie für Rechteck 7
