Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren
Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.
Bearbeite die Aufgaben sorgfältig!
Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast!
Denn nur so lernst du am Besten!
1. Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren
1.1 Wiederholung des Kongruenzbegriffes
- Weißt Du noch was man unter Kongruenz von Figuren versteht??
- Eine Wiederholung kann nicht schaden.
1.2 Los geht´s: Teste Dein Wissen!
- Ein anderes Wort für Kongruenz ist Deckungsgleichheit
- Hinweis: Kongruente Figuren kann man zur Deckung bringen
Aufgabe: Wie erzeugt man kongruente Figuren?
Aufgabe: Kongruente Dreiecke
- Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?
Gib die Buchstaben an und begründe anschließend warum.
- War Deine Lösung richtig?
Kleines Quiz
Achtung!! Mehrere Antworten sind möglich!
1.3 Das sollest du also wissen
| Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch Verschiebung,Drehung oder Spiegelung ineinander überführt werden können. Diese drei Abbildungen nennt man daher auch Kongruenz-abbildungen. |
1.4 Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?
- Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der
- Kongruenz von Figuren nutzen kann.
- Im nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel kennen
2. Zerlegungsgleichheit von Figuren
2.1 Eine Einführung
- Kennst Du den Namen des Legespiels?
Aufgabe: Teilfiguren finden
- Hier siehts Du drei Figuren: Eine Schiffskatze, ein Papagei und ein Matrose.
Sie alle lassen sich in Teilfiguren zerlegen.
- Aufgabenstellung:
Finde die Teilfiguren, indem Du die Linien einzeichnest.
- Prima!!! Du hast nun alle Teilfiguren entdeckt.
- Was fällt Dir beim Vergleich der Figuren auf?
- Tipp: Achte auf Anzahl und Eigenschaften der Teilfiguren (wird noch formatiert)
Lösung: Die Figuren bestehen aus der gleichen Anzahl an Teilfiguren, welche jeweils paarweise kongruent zueinander sind.
Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?
- Aufgabenstellung Ziehe mit der linken Maustaste die unten stehenden Figuren auf die Insel- Umrisse, so dass diese bedeckt werden. Wenn du eine Insel vollständig zusammengesetzt hast, dann drücke auf den Reset- Befehl rechts oben im Applet.
Jetzt kannst du die Teilfiguren auf eine neue Insel ziehen.
ACHTUNG: Wenn die Figuren übereinander liegen, musst du erst wählen, welche Figuren du ziehen willst. Wähle dafür immer die grüne Figur aus.
- Was fällt Dir auf? Welche ist dir größte Insel?? Begründe Deine Antwort!
- Begründung:
Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.
Figur B kann mit einer Teilfigur mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.
| Figur A und C nennt man daher auch zerlegungsgleich, |
2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit
- Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt.
- Diese Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren.
- Aus den Eigenschaften der Kongruenz ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den gleichen Flächeninhalt besitzen.
- Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F1 bis F5 zusammen.
Ergänze die fehlenden Felder
FQuadrat = F1 + F2 + F3 + F4 + F5
ebenso gilt aber auch:
F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = FSechseck
- Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!
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| Das ist ja klasse!! Wir können feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen, obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können! |
Hierzu ein kleines Beispiel:
- Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?
Hier findest du den Hinweis
| Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt. |
Vertiefen und Übung
Klassenzimmer streichen
- Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen.
- Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.
- Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist 4 Meter hoch und 6 Meter breit.
Wieviele Vorschläge hast Du? Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auch auf die Aufgabenstellung!
- Du findest hier ein paar Lösungsvorschläge:
Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!
Aufgabenstellung:
Zeige, warum im Lösungsvorschlag 1, 3, 7 und 8 jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast.
- Rechteck 1 wurde in 2 kongruente Teilrechtecke zerlegt, die jeweils grün bzw. gelb gefärbt sind. Da zueinander kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen ist genau die Hälfte des Rechtechs grün bzw. gelb.
- Rechteck 3 wurde entlang der Diagonalen halbiert. Es entstehen dabei 2 kongruente Teildreiecke. Argumentation weiter wie für Rechteck 1.
- Das Rechteck 7 wurde in 4 kongruente Dreiecke zerlegt. Je 2 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da
wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.
- Dieses 8. Rechteck wurde in 8 kongruente Teildreiecke zerlegt. Je 4 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Agrumentation analog wie für Rechteck 7
Zusammenfassung
- Übertrage folgende Definition in Dein Heft:
| Zwei Figuren sind zerlegungsgleich, wenn sie in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegt werden können. Beispiel:
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