Die Normalform f(x) = x² + bx + c: Unterschied zwischen den Versionen
K (Satzzeichen und kleine Textveränderungen) |
K (Satzbau Satzzeichen Rechtschreibung) |
||
| Zeile 9: | Zeile 9: | ||
| − | Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man zum einen von der Scheitelpunktsform zur Normalform gelangt und zum anderen die Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktsform. | + | Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man zum einen von der Scheitelpunktsform zur Normalform gelangt und zum anderen die Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktsform. |
| Zeile 17: | Zeile 17: | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
| − | Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> und der Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c. | + | Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" und der Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c". |
Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen! | Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen! | ||
| Zeile 25: | Zeile 25: | ||
<big>'''Aufgabe:'''</big> | <big>'''Aufgabe:'''</big> | ||
| − | Du hast die Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5 gegeben. | + | Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5" gegeben. |
Diese Form soll nun durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme <br> | Diese Form soll nun durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme <br> | ||
| − | auf die Form f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c gebracht werden. | + | auf die Form "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" gebracht werden. |
Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge! | Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge! | ||
| Zeile 50: | Zeile 50: | ||
{{Merke| | {{Merke| | ||
| − | Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c entsteht aus der Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme. <br> | + | Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme. <br> |
}} | }} | ||
| Zeile 64: | Zeile 64: | ||
Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen. | Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen. | ||
| − | Bei der Normalform | + | Bei der Normalform "f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen |
deshalb lernen, wie man die Normalform in die Scheitelpunktsform überführt. | deshalb lernen, wie man die Normalform in die Scheitelpunktsform überführt. | ||
| Zeile 94: | Zeile 94: | ||
{{Merke| | {{Merke| | ||
| − | Man gelangt mittels '''quadratischer Ergänzung''' von der Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c zur Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>.<br> | + | Man gelangt mittels '''quadratischer Ergänzung''' von der Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>".<br> |
}} | }} | ||
Version vom 24. August 2009, 10:08 Uhr
 Lernpfad
|
Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform "f(x) = (x - xs)2 + ys" kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die Normalform f(x) 
x2 + bx + c. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man zum einen von der Scheitelpunktsform zur Normalform gelangt und zum anderen die Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktsform.
Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys" und der Normalform "f(x) x2 + bx + c".
Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!
Aufgabe:
Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) (x - 4)2 + 5" gegeben.
Diese Form soll nun durch ausmultiplizieren und zusammenfassen der Terme
auf die Form "f(x) x2 + bx + c" gebracht werden.
Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!
| Von der Scheitelpunktsform zur Normalform | ||
| 1. | y |
[x - xs]2 + ys |
| 2. | y |
[x - 4]2 + 5 |
| 3. | y |
[x2 - 8x + 16] + 5 |
| 4. | y |
x2 - 8x + 21 |
| 5. | y |
x2 + bx + c |
 Merke
Die Normalform "f(x) |
Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie von früher!
In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat. Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.
Bei der Normalform "f(x) = x2 + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen deshalb lernen, wie man die Normalform in die Scheitelpunktsform überführt.
Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich quadratische Ergänzung und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.
Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.
„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:
| Vorgehensweise | Beispiel | ||
| 1. | Normalform der Parabel p: | y x2 + 6x + 11
| |
| 2. | Vergleich mit a2 + 2ab + b2: | y x2 + 2 x 3 + 11
| |
| 3. | Quadratische Ergänzung: | y x2 + 6x + 32 - 32 + 11
| |
| 4. | Scheitelform: | y [x + 3]2 + 2 |
|
| 5. | Scheitelkoordinaten: | S[-3; 2] |
| Merke
Man gelangt mittels quadratischer Ergänzung von der Normalform "f(x) |
Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!
Aufgabe: Zuordnung - Gruppe
Du hast hier 3 verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu.
| f(x) = x2 - 2x - 2 | f(x) = x2 - 2x - 12 + 12 - 2 | f(x) = (x - 1)2 - 12 - 2 | f(x) = (x - 1)2 - 3 |  |
|
| f(x) = x2 + 10x + 15 | f(x) = x2 + 10x + 52 - 52 + 15 | f(x) = (x + 5)2 - 52 + 15 | f(x) = (x + 5)2 - 10 |  |
|
| f(x) = x2 + 6x | f(x) = x2 + 6x + 32 - 32 | f(x) = (x + 3)2 - 32 | f(x) = (x + 3)2 - 9 |  |
Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen für die quadratische Funktion.
Es ist zum einen die Scheitelpunktsform und zum anderen die Normalform.
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen.
Aber siehe selbst!!
