Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x-d)² + e - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Versionen

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(Station 3 fertig gestellt .. Station 4 begonnen - Aufgaben Parameter d)
(Station 5 begonnen - Zusammenführung der Parameder d und e)
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Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e!  
 
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      c) f(x) <math>=</math> (x - 120<sup>2</sup> 
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      d) f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> 
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Zeichne ohne Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionen. Gib zunächst die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunkts an.
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Die Koordinaten kann man direkt an der Funktionsgleichung ablesen!
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Um die Graphen zu zeichnen, musst du die Normalparabel bei Punkt S erstellen
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Bevor wir nun die beiden Parameter e und d zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
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| Für e > 0: Verschiebung nach oben auf der y-Achse || f(x) = x² + e
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| Für e < 0: Verschiebung nach unten auf der y-Achse || f(x) = x² - e
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| Für d > 0: Verschiebung nach rechts auf der x-Achse || f(x) = (x - d)²
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| Für d < 0: Verschiebung nach links auf der x-Achse || f(x) = (x+d)²
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| f(x) = x² + 2 || S (0, 2)
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| f(x) = x² - 4 || S (0, -4)
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S (0, -e)
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| f(x) = (x - 2)² || S (2, 0)
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S (e, 0)
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| f(x) = (x+4)² || S (-4, 0)
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Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter e und d einzeln kennen gelernt.
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Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x-d)² + e, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen.
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Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter e für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter d für den x-Wert.
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Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt deshalb die quadratische Funktion f(x) = (x - d)² + e die Scheitelpunktsform.
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Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der Parameter e und d, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen.
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! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>(x-d)<sup>2</sup>+ e !! Aufgabe und Quiz:
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| <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParameterdunde.ggb" /> ||
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'''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von e abhängige quadratische Funktion blau <br>* Bediene den schwarzen Schieberegler e mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von e  <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.
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'''Quiz:''' <br>
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Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen.
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| Scheitelpunkt || Wie nennt man den Punkt S(d, e) der Parabel?
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| Scheitelpunktsform ||  Wie nennt man die Funktionsgleichung der FORM f(x) = (x - d)² + e? 
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| Symmetrieachse || Welche Achse stellt der Punkt x = d dar?
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| Normalparabel || Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent?
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| Unten || In welche Richtung wird die Parabel f(x) = (x - 3)² - 4 verschoben?
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| x-Achse || Auf welcher Achse bewirkt der Parameter d eine Verschiebung?
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| Ebene || Die Parameter d und e bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der...
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| y-Achse || Auf welcher Achse bewirkt der Parameter e eine Verschiebung?
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| Zwei || Um wie viel Einheiten wir die Funktion f(x) = (x-5)² + 2 nach oben verschoben?
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Version vom 16. Juli 2009, 16:35 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Die Quadratische Funktion der Form f(x)=(x-d)²+ e - Die Scheitelpunktsform


In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad

  • Der Parameter e stellt sich vor
  • Übungen zum Parameter e
  • Der Parameter d stellt sich vor
  • Übungen zum Parameter d
  • Zusammenführung von Parameter e und d zur Scheitelpunktsform
  • Aufgaben zur Scheitelpunktsform


Bis jetzt haben wir die Normalparabel f(x) = x² kennen gelernt. Dazu kam dann ein Parameter a als Vorfaktor, welcher die Parabel in Richtung der y-Achse gestreckt oder gestaucht hat und sie zusätzlich bei negativen Werten an der x-Achse spiegelt.

Nun wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.



STATION 1: Der Parameter e stellt sich vor


Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel addiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus: 

                                    f(x) = x² + e

Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften des Parameters e!

Quadratische Funktion f(x)=x2+ e Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise:
* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von e abhängige quadratische Funktion blau
* Bediene den schwarzen Schieberegler e mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von e
* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.


Aufgabe:
Bediene den Schieberegler p. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor e?


Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter e verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.
Ist der Parameter e positiv, so wird die Normalparabel um e Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben.
Ist der Parameter e hingegen negativ, so wird die Normalparabel um e Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben.
Der Scheitelpunkt befindet sich immer auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt Punktfüre.jpg. Bei dieser Parabel ist die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.


Nuvola apps kig.png   Merke

Für die quadratische Funktion f(x)=x² + e gilt:

  • Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch eine Verschiebung um e Einheiten auf der y-Achse → Der Graph ist kongruent zur Normalparabel
  • Für e > 0 gilt: Verschiebung nach oben, um e Einheiten in Richtung der y-Achse
  • Für e < 0 gilt: Verschiebung nach unten, um e Einheiten in Richtung der y-Achse
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S (0\!\,|\!\,e)
  • Die y-Achse ist die Symmetrieachse


Nun folgen einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.



STATION 2: Übungen zum Parameter e



1. Aufgabe: Zuordnung

Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsgleichung:


Parabele1.jpg Parabele2.jpg Parabele3.jpg Parabele4.jpg Parabele5.jpg
x2+2,5 x2+1,5 x2 x2-3,5 x2-0,5




2. Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte: 

  a) S (0\!\,|\!\,4,7) 

  b) S (0\!\,|\!\,-23) 

  c) S (0\!\,|\!\,-2,5) 

  d) S (0\!\,|\!\,0) 

  e) S (0\!\,|\!\,13)

Lösung:


Das war bestimmt kein Problem! Man musste ja lediglich den y-Wert ablesen, da er den Wert von e angibt! 

  a)	f(x)=x² + 4,7

  b)	f(x)=x² - 23

  c)	f(x)=x² - 2,5

  d)	f(x)=x² 

  e)	f(x)=x² + 13



3. Aufgabe:

Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S. 

  a)	f(x)=x² + 5,2 
  
  b)	f(x)=x² - 3
  
  c)	f(x)=x² 
  
  d)	f(x)=3 + x²

Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen, aber überlege erst selbst, es ist nicht schwer!

a) S (0\!\,|\!\,5,2)

Lösung:

Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e! 

  a)	S (0\!\,|\!\,5,2) 

  b)	S (0\!\,|\!\,-3) 

  c)	S (0\!\,|\!\,0) 

  d)	S (0\!\,|\!\,3)



4. Aufgabe: Zuordnung

Die Punkte A, B, C, D, E und F liegen auf der Parabel f(x) = 2,5 + x². Ordne die fehlenden Koordinaten zu!!

A(?\!\,|\!\,6,5) B(?\!\,|\!\,2,75) C(?\!\,|\!\,11,5) D(1\!\,|\!\,?) E(3\!\,|\!\,?) F(-2\!\,|\!\,?)
2 0,5 3 3,5 11,5 6,5









STATION 3: Der Parameter d stellt sich vor


Nachdem du jetzt Parameter e kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter d beschäftigen, der wie folgt in die quadratische Funktion integriert wird: 

                                       f(x) = (x - d)²


Um die Eigenschaften des Parameters d zu erlernen, bediene in der Grafik den Schieberegler d und löse im Anschluss den Lückentext. Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Linie stellt die Normalparabel dar. Um deine Ergebnisse zu überprüfen musst du mit gehaltener linker Maustaste über das graue Feld ziehst, damit wird das Ergebnis sichtbar!! Aber nicht mogeln!





 !!!Bewege den Schieberegler d. Was verändert sich an der Lage der Parabel im Vergleich zur Normalparabel?


  • Der Parameter d der quadratischen Funktion f(x) = (x - d)² bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebung beim Parameter e, ist die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.


  • Mit Hilfe des Schiebereglers d stellt man fest, dass für positive d-Werte eine Verschiebung um d Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von d negativ, so wird der Graph um d Einheiten nach links verschoben.


  • Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive d-Werte lautet die Funktionsgleichung f(x) = (x - d)². Man macht leicht den Fehler und denkt positiv müsste doch (x + d)². Da jedoch die Ausgangsfunktionsgleichung f(x) = (x - d)² lautet, entsteht für positive d-Werte eine VDifferenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative d-Werte, dort lautet die Funktionsgleichung f(x) = (x + d)².


  • Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten S (d, 0), denn der x-Wert bleibt immer Null.


  • Als Symmetrieachse ergibt sich daher die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.


Nuvola apps kig.png   Merke

Für die quadratische Funktion f(x)=(x - d)² gilt:

  • Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch eine Verschiebung um d Einheiten auf der x-Achse → Der Graph ist kongruent zur Normalparabel
  • Für d > 0 gilt: Verschiebung nach rechts, um d Einheiten in Richtung der x-Achse
  • Für d < 0 gilt: Verschiebung nach links, um d Einheiten in Richtung der x-Achse
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S (d\!\,|\!\,0)
  • Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse

Achtung!

  • Für d > 0 mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – d)² vor.

Beispiel: f(x) = (x - 5)² → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt

  • Für d < 0 mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + d)² vor.

Beispiel: f(x) = (x + 5)² → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - d)² = (x - (-5))² = (x + 5)


Ebenso wie beim Parameter e, folgen nun wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters d zu vertiefen.


STATION 4: Übungen zum Parameter d


1. Aufgabe: Zuordnung

Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:


Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!

Beispiel: Die erste Grafik hat die Funktionsgleichung f(x) = (x + 4,5)²


Parabeld-4,5.jpg Parabeld-2,5.jpg Parabeld0.jpg Parabeld2.jpg Parabeld5.jpg
[x-4,5]2 [x + 2,5]2 [x + 0]2 [x - 2]2 [x - 5]2








2. Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte: 

     a)	S (2,5\!\,|\!\,0)
     b)	S (-3\!\,|\!\,0)
     c)	S (120\!\,|\!\,0)
     d)	S (0\!\,|\!\,0) 
     e)	S (-7\!\,|\!\,0)


Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!

a) f(x) = (x - 2,5)2


Lösung: 

     a)	f(x) = (x - 2,5)2  
     b)	f(x) = (x + 3)2  
     c)	f(x) = (x - 1202  
     d)	f(x) = x2  
     e)	f(x) = (x + 7)2




3. Aufgabe:

Zeichne ohne Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionen. Gib zunächst die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunkts an. 

     a)	f(x) = (x - 6)2   
     b)	f(x) = (x - 2)2  
     c)	f(x) = (x + 3,3)2   
     d)	f(x) = (x + 5)2


Lösung:

Die Koordinaten kann man direkt an der Funktionsgleichung ablesen! 

     a)	S (6\!\,|\!\,0)
     b)	S (2\!\,|\!\,0)
     c)	S (-3,3\!\,|\!\,0)
     d)	S (-5\!\,|\!\,0)

Um die Graphen zu zeichnen, musst du die Normalparabel bei Punkt S erstellen

Parabelnd.jpg



STATION 5: Zusammenführung von Parameter e und d zur Scheitelpunktsform


Bevor wir nun die beiden Parameter e und d zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht, das Quiz ist nicht ganz einfach!

Memory-Puzzle:

Für e > 0: Verschiebung nach oben auf der y-Achse f(x) = x² + e
Für e < 0: Verschiebung nach unten auf der y-Achse f(x) = x² - e
Für d > 0: Verschiebung nach rechts auf der x-Achse f(x) = (x - d)²
Für d < 0: Verschiebung nach links auf der x-Achse f(x) = (x+d)²
f(x) = x² + 2 S (0, 2)

S (0, e)

f(x) = x² - 4 S (0, -4)

S (0, -e)

f(x) = (x - 2)² S (2, 0)

S (e, 0)

f(x) = (x+4)² S (-4, 0)

S (-e, 0)


























Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.

Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter e und d einzeln kennen gelernt.

Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x-d)² + e, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen.

Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter e für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter d für den x-Wert.

Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt deshalb die quadratische Funktion f(x) = (x - d)² + e die Scheitelpunktsform.

Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der Parameter e und d, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen.


Quadratische Funktion f(x)=(x-d)2+ e Aufgabe und Quiz:

Hinweise:
* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von e abhängige quadratische Funktion blau
* Bediene den schwarzen Schieberegler e mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von e
* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.

Quiz:

Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen.

Scheitelpunkt Wie nennt man den Punkt S(d, e) der Parabel?
Scheitelpunktsform Wie nennt man die Funktionsgleichung der FORM f(x) = (x - d)² + e?
Symmetrieachse Welche Achse stellt der Punkt x = d dar?
Normalparabel Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent?
Unten In welche Richtung wird die Parabel f(x) = (x - 3)² - 4 verschoben?
x-Achse Auf welcher Achse bewirkt der Parameter d eine Verschiebung?
Ebene Die Parameter d und e bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der...
y-Achse Auf welcher Achse bewirkt der Parameter e eine Verschiebung?
Zwei Um wie viel Einheiten wir die Funktion f(x) = (x-5)² + 2 nach oben verschoben?
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