Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x - xs)² + ys - Die Scheitelpunktsform
 Lernpfad
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Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion "f(x) = x2" kennen gelernt.
In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.
Bevor wir beginnen, wollen wir noch einen neuen Begriff einführen, welcher später häufiger verwendet wird.
 Merke
Die quadratische Funktion "f(x) |
Zunächst betrachten wir den Parameter ys, welcher zur quadratischen Funktion "f(x) = x2" dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
f(x) = x2 + ys
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften vom Parameter ys!
Quadratische Funktion f(x) x2+ ys |
Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
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Hinweise: Der Parameter ys verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. |
| Merke
Für die quadratische Funktion "f(x)
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Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst hier 5 verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x2 + ys". Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung.
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| y x2 + 2,5 |
y x2 + 1,5 |
y x2 |
y x2 - 3,5 |
y x2 - 0,5
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2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte: Ordne die richtigen Funktionsgleichungen zu!
| Scheitelpunkt | Funktionsgleichung | |
| 1. | S  |
y x2 + 4,7 |
| 2. | S  |
y x2 - 23 |
| 3. | S  |
y x2 - 2,5 |
| 4. | S  |
y x2 |
| 5. | S  |
y x2 + 13
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3. Aufgabe:
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S.
| Funktionsgleichung | Scheitelpunkt | |
| 1. | y x2 + 5,2 |
S [0; 5,2] |
| 2. | y x2 - 3 |
S [0; -3] |
| 3. | y x2 |
S [0; 0] |
| 4. | y 3 + x2 |
S [0; 3] |
4. Aufgabe: Zuordnung
| Aufgabe | Quadratische Funktion f(x)x2+ ys
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| Gegeben sind 5 verschobene Parabeln. Finde die zugehörigen Punkte, die auf der Parabel liegen. Achtung, es liegt nur dann ein Punkt auf der Parabel, wenn durch Einsetzen eines x-Wertes der zugehörige y-Wert herauskommt. Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel gehören könnte.
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Nachdem du jetzt den Parameter ys kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter xs beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:
f(x) = (x - xs)2
Um die Eigenschaften vom Parameter xs zu erlernen, bediene den Schieberegler d in der Grafik, er verändert den Wert von xx und löse im Anschluss den Lückentext.
Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Parabel ist die Normalparabel.
Ziehe anschließend die richtigen Textbausteine mit gehaltender linker Maustaste in die Lücken!
Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:
Der Parameter xs der quadratischen Funktion f(x) = (x - xs)² bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebumg beim Parameter ys, ist die verschoebene Parabel kongruent zur Normalparabel.
Mit Hilfe des Schiebereglers d stellt man fest, dass für positive xs-Werte eine Verschiebung um x-Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von d negativ, so wird der Graph um x-Einheiten nach links verschoben.
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung f(x) = [x - xs]. Man macht leicht den Fehler und denkt positiv müsste doch [x + xs]2 heißen. Da jedoch die Ausgangsfunktionsgleichung f(x) = (x - d)2 lautet, entsteht für positive d-Werte eine Differenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative xs-Werte, dort lautet die Funktionsgleichung f(x) = [x + xs]2.
Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten S [0; xs], denn der x-Wert bleibt immer Null.
Als Symmetrieachse ergibt sich daher die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.
Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!
| Merke
Für die quadratische Funktion f(x)
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Achtung!
- Für xs > 0 mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – xs)2 vor.
Beispiel: f(x) = (x - 5)2 → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt
- Für xs < 0 mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + xs)2 vor.
Beispiel: f(x) = (x + 5)2 → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - xs)2 = (x - (-5))2 = (x + 5)2
Ebenso wie beim Parameter ys, folgen wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters xs zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
Beispiel: Die erste Grafik hat die Funktionsgleichung f(x) (x + 4,5)2
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| y [x - 4,5]2 |
y [x + 2,5]2 |
y [x + 0]2 |
y [x - 2]2 |
y [x - 5]2
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2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte: Ordne die richtigen Funktionsgleichungen zu!
| Scheitelpunkt | Funktionsgleichung | |
| 1. | S  |
y [x - 2,5]2 |
| 2. | S  |
y [x + 3]2 |
| 3. | S  |
y [x - 120]2 |
| 4. | S |
y x2 |
| 5. | S  |
y [x + 7]2
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3. Aufgabe:
Du siehst im folgendenden Koordinatensystem 3 Parabeln. Man kann diese 3 Parabeln durch bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen annehmen.
f(x) = (x - 2)2
f(x) = (x - 5)2
f(x) = (x + 3)2
Überprüfe dann durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du alles richtig gemacht.
Bevor wir nun die beiden Parameter ys und xs zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!
| Vorgabe | Passendes Puzzleteil | |
| 1. | y [x - 2]² |
S [2, 0]; S [xs, 0] |
| 2. | Verschiebung nach unten auf der y-Achse | y x² - ys
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| 3. | y x² - 4 |
S [0, -4]; S [0, -ys] |
| 4. | Verschiebung nach links auf der x-Achse | y [x + xs]²
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| 5. | y x² + 2 |
S [0, 2]; S [0, ys] |
| 6. | Verschiebung nach rechts auf der x-Achse | y [x - xs]²
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| 7. | Verschiebung nach oben auf der y-Achse | y x² + ys
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| 8. | y [x + 4]² |
S [-4, 0]; S [-xs, 0] |
Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.
Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter ys und xs einzeln kennen gelernt.
Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x - xs)2 + ys, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen.
Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter ys für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter xs für den x-Wert.
Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt deshalb die quadratische Funktion f(x) = (x - xs)2 + ys die Scheitelpunktsform.
Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der beiden Parameter, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen.
| Quadratische Funktion f(x)(x - xs)2 + ys |
Hinweise und Quiz: | ||||||||||||||||||
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Hinweise: Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.
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| Merke
Für die quadratische Funktion f(x)
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1. Aufgabe: Multiple Choice
Kreuze alle richtigen Aussagen an!
f(x) (x - 5)2 - 3 (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)
f(x) 5 + (x + 12)2 (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)
f(x) x2 + 3 (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)
f(x) -5 + (x - 6)2 (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)
2. Aufgabe:
Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:
| Scheitelpunkt | Funktionsgleichung | |
| 1. | S  |
y [x - 2]2 - 5 |
| 2. | S  |
y [x + 3]2 + 3 |
| 3. | S  |
y [x - 4]2 - 8 |
| 4. | S  |
y [x - 5]2 - 2 |
3. Aufgabe-Zuordnung:
Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!
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| y [x + 3]2 + 4 |
y [x - 3]2 + 2 |
y [x - 1]2 - 5 |
y [x + 5]2 - 1
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4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken.
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)2 + 1,5 und die Punkte W, X, T und P.
Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen?
a) Wb) X
c) T
d) P
Überprüfe rechnerisch, welcher der Punkte auf der Parabel liegt.
Hilfe:
Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren. Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte" an, erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.
Prima!
Damit kennst du nun die Parameter xs und ys, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.
In der nächsten Lerneinheit lernst du dann Normalform kennen.
