Wiederholung

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Lernpfad

Florianheimerl Dimi 1wdh.pngIn diesem Kapitel werden einige wichtige Grundlagen wiederholt

Bevor du dich mit dem Satz des Pythagoras beschäftigen kannst, musst du noch ein paar Grundlagen wiederholen.


Inhaltsverzeichnis

Wiederholungen zum Dreieck

Allgemeines zum Dreieck

Florianheimerl Dreieck leer.png
Das ist ein Dreieck.
Ich hoffe du kannst dich noch daran erinnern.
Es hat drei Seiten und drei Eckpunkte. Blöderweise ist in der Zeichnung noch nichts beschriftet.
Aber zum Glück bist du ein alter Dreieck-Profi und kannst das für mich übernehmen. Schaue dir dazu die 1. Aufgabe an:
Aufgabe 1

  Aufgabe   Stift.gif

Beschrifte die nachfolgende Zeichnung.
Klicke dazu die Punkte und die Seitenbezeichnungen an und ziehe sie an die richtigen Stellen im Dreieck.
Wenn du fertig bist, dann klicke auf das Kästchen!

Hast du es geschafft? Super, jetzt kenne ich mich wieder etwas besser aus.
Hier kannst du dir die Regeln noch einmal ansehen.

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Ecke, die der Seite a gegenüberliegt heißt A,
die Ecke, die der Seite b gegenüberliegt heißt B,
die Ecke, die der Seite c gegenüberliegt heißt C.

Florianheimerl Dimi frage.png
Aufgabe 2

Diese Darstellung ist schon gut. Es fehlt aber noch etwas.
Ein Dreieck hat doch auch noch drei Winkel?
Ein komisches Wort, oder? Aber ihre Bezeichnungen sind noch komischer: α, β und γ.


1. Weißt du aus welcher Sprache die Bezeichnungen α, β und γ stammen?

Deutsch
Griechisch
Spanisch

Punkte: 0 / 0


Ich weiß leider nicht mehr genau wie sie angeordnet sind.
Aber zum Glück kannst du mir dabei ja helfen.

Aufgabe 3

  Aufgabe   Stift.gif

Ordne die Winkel den richtigen Seiten zu und klicke danach auf Prüfen.
Der Winkel an der Ecke A heißt α und wird gebildet von den Seiten b und c.
Der Winkel an der Ecke B heißt β und wird gebildet von den Seiten a und c.
Der Winkel an der Ecke C heißt γ und wird gebildet von den Seiten a und b.


Wunderbar!
Jetzt haben wir ja schon einiges zum Thema Dreieck wiederholt.
Ich habe dir noch einmal alles übersichtlich zusammengefasst:

Nuvola apps kig.png   Merke

Florianheimerl Dreieck fertig.png


Schauen wir doch einmal was du sonst noch so über Dreiecke weißt.

Aufgabe 4

  Aufgabe   Stift.gif

Versuche herauszufinden, welches Dreieck zu welcher Beschreibung passt.
Ordne die Beschreibungen den Dreiecken zu.

Florianheimerl Gleichschenklig.png gleichschenkliges Dreieck zwei Seiten sind gleich lang
Florianheimerl Spitzwinklig.png spitzwinkliges Dreieck alle drei Winkel < 90°
Florianheimerl Stumpfwinklig.png stumpfwinkliges Dreieck ein Winkel > 90°
Florianheimerl Gleichseitig.png gleichseitiges Dreieck alle drei Seiten sind gleich lang alle drei Winkel sind gleich groß (60°)
Florianheimerl Rechtwinklig.png rechtwinkliges Dreieck ein Winkel beträgt genau 90°


Du bist dir noch ein Wenig unsicher? Kein Problem - Ich habe dir die ganzen Regeln noch einmal übersichtlich zusammengefasst.

Nuvola apps kig.png   Merke

gleichschenkliges Dreieck: zwei Seiten(zwei Schenkel) sind gleich lang
spitzwinkliges Dreieck: alle drei Winkel <(kleiner als) 90°
stumpfwinkliges Dreieck: ein Winkel >(größer als) 90°
gleichseitiges Dreieck: alle drei Seitensind gleich lang; alle drei Winkel sind gleich groß (60°)
rechtwinkliges Dreieck: ein Winkel beträgt genau 90°


Da du ja nun wieder ein echter Dreieck-Experte zu sein scheinst, können wir uns nun mit meinem Lieblingsdreieck beschäftigen, dem rechtwinkligen Dreieck.
Wollen wir doch mal sehen was dazu noch weißt.

Das rechtwinklige Dreieck


Aufgabe 5

  Aufgabe   Stift.gif

Verschiebe den Punkt C so, dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht.
Klicke anschließend auf das Kästchen.


Super!
Um genau dieses Dreieck geht es im Satz des Pythagoras.
Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks haben besondere Bezeichnungen.

Nuvola apps kig.png   Merke

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite immer Hypotenuse und die anderen beiden Seiten Katheten.
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des 90°-Winkels.
Die beiden Katheten schließen immer den 90°-Winkel ein.

Du kannst dir das noch nicht richtig vorstellen? Kein Problem!
So sieht das dann aus:

Florianheimerl Dreieck pyth.png
Florianheimerl Dimi achtung.png


Super! - Jetzt haben wir die wichtigsten Sachen zum Dreieck wiederholt.
Jetzt schauen wir uns noch gemeinsam Wurzeln an.

Potenzen und Wurzeln

Die Potenz

Du kannst dich sicherlich noch an die Potenzschreibweise erinnern. Ich habe dir noch einmal ein Beispiel mitgebracht.
c² = 4
In dieser Aufgabe möchte wann herausfinden: Welche Zahl quadriert ergibt 4?
Oder einfacher ausgedrückt: Welche Zahl muss ich „hoch 2“ nehmen, dass ich die Zahl 4 erhalte?

Aufgabe 6

1. Um das herauszufinden müssen wir aber wissen, was c² bedeutet. Kannst du mir dabei helfen?

c² = c + c
c² = c : c
c² = c ˑ c

Punkte: 0 / 0


Genau!
Daraus lernen wir also:

Nuvola apps kig.png   Merke

Wenn ich eine Zahl quadriere („hoch 2“ nehme), dann ist das das Gleiche, wie wenn ich die Zahl mit sich selber multipliziere.



Schaue dir dazu noch ein paar weitere Beispiele an:
a = 4 → a² = a ˑ a = 4 ˑ 4 = 16
x = 7 → x² = x ˑ x = 7 ˑ 7 = 49

Genauso funktioniert das auch, wenn man zusätzliche Maßeinheiten dazu nimmt:
a = 4 cm → a² = a ˑ a = 4 cm ˑ 4 cm = 16 cm²
x = 7 cm → x² = x ˑ x = 7 cm ˑ 7 cm = 49 cm²

Um hier auf die richtige Lösung zu kommen haben wir die Zahlen miteinander multipliziert ( 4 ˑ 4 = 16 oder 7 ˑ 7 = 49 ) und die Maßeinheiten miteinander multipliziert ( cm ˑ cm = cm² ).

Florianheimerl Dimi achtung.png
Achtung:
Du kannst nur Zahlenwerte miteinander multiplizieren, die auch die gleiche Maßeinheit haben.

Das, was wir hier wiederholen möchten ist nun die Umkehrung des Quadrierens.
Wie komme ich also vom Quadrat einer Zahl auf die Ausgangszahl?

Die Wurzel

Beispiel: c² = 4

Wie kann ich berechnen, was c ist?

Dazu erinnern wir uns an das Quadrieren.
c² = 4 → c² = c ˑ c = 4

Das bedeutet: Wir suchen eine Zahl, die, wenn man sie mit sich selbst multipliziert, 4 ergibt.

Das ist leicht zu erraten, oder?
c² = c ˑ c = 2 ˑ 2 = 4
2 ˑ 2 = 4
Die Zahl ist also 2.

Man kann also sagen:
2² ergibt 4! (2² = 4 )

Wenn ich die Zahl 2 quadriere, erhalte ich die Zahl 4.



Die gesuchte Zahl ist jedoch nicht immer so leicht zu erraten.

Mit dem Taschenrechner können wir die gesuchten Zahlen aber sehr einfach berechnen!

Nuvola apps kig.png   Merke

Du hast auf deinem Taschenrechner folgendes Symbol:
Florianheimerl Wurzel.gif Das ist die Wurzeltaste!


Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens.

c² = 4
→ c ist die Wurzel aus 4


Florianheimerl Dimi achtung.png
Aufgabe 7

1. Welcher Rechenweg würde in der nächsten Aufgabe zum Ziel führen?

x² = 25
x² = x ˑ x = 5 ˑ 5 = 25 → x = 5
e² = 16
e² = e ˑ e = 8 + 8 = 16 → e = 8
y² = 7
y² = 7 ˑ 1 = 7 → y = 7

Punkte: 0 / 0


Zusammenfassung

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Ecke, die der Seite a gegenüberliegt heißt A,
die Ecke, die der Seite b gegenüberliegt heißt B,
die Ecke, die der Seite c gegenüberliegt heißt C.

Florianheimerl Dreieck fertig.png
gleichschenkliges Dreieck: zwei Seiten(zwei Schenkel) sind gleich lang
spitzwinkliges Dreieck: alle drei Winkel <(kleiner als) 90°
stumpfwinkliges Dreieck: ein Winkel >(größer als) 90°
gleichseitiges Dreieck: alle drei Seiten sind gleich lang; alle drei Winkel sind gleich groß (60°)
rechtwinkliges Dreieck: ein Winkel beträgt genau 90°

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite immer Hypotenuse und die anderen beiden Seiten Katheten.
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des 90°-Winkels. Die beiden Katheten schließen immer den 90°-Winkel ein.

Wenn ich eine Zahl quadriere („hoch 2“ nehme), dann ist das das Gleiche, wie wenn ich die Zahl mit sich selber multipliziere.
Du hast auf deinem Taschenrechner folgendes Symbol:
Florianheimerl Wurzel.gif Das ist die Wurzeltaste!
Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens.

c² = 4
→ c ist die Wurzel aus 4




Du bist nun soweit - Lass uns mit dem Satz des Pythagoras weitermachen!


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