Abbildung durch zentrische Streckung

Lernpfad {{{1}}}

1. Station: Ähnlichkeitsabbildung

Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann leuchtet

sie direkt auf einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.

Verschiebe Panto näher an den Strohhalm heran, oder weiter von dem Strohhalm weg.

Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:

1. Wie ändert sich der Schatten durch das Verschieben?

	Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto größer ist der Schatten.
	Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto kleiner ist der Schatten.
	Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto kleiner ist der Schatten.
	Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto größer ist der Schatten.

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Der Trinkstrohhalm wird als Urbild und der Schatten als Bild bezeichnet.

Wie man sieht haben der Trinkstrohhalm und der Schatten verschiedene Größen, doch sie sind sich ähnlich.

Deshalb spricht man von einer Ähnlichkeitsabbildung. Ein weiteres bekanntes Beispiel ist der Diaprojektor.

Damit kann ein Bild durch Projektion an die Wand vergrößert werden.

Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von

einer zentrischen Streckung. Das Streckungszentrum wird mit Z bezeichnet.

Urbild, Bild und Streckungszentrum liegen auf den Lichtstrahlen, die von der Taschenlampe ausgehen. Diese

Lichtstrahlen sind Halbgeraden.

2. Station: Streckungsfaktor

In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.

Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.

Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen: Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild? (auf derselben Seite) (!auf verschiedenen Seiten) Was liegt bei k>1 vor? (eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) Was liegt bei 0<k<1 vor? (!eine Vergrößerung) (eine Verkleinerung) (!die Identität) Was liegt bei k=1 vor? (!eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (die Identität) Was passiert wenn k=0 ist? (es erfolgt keine zentrische Streckung) (!es erfolgt eine zentrische Streckung)

Was sind die Unterschiede, wenn ihr dieses Dreieck zentrisch streckt?

Orientiere dich dabei an diesen Fragen:

1. Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?
2. Welche Zahlen werden für k eingesetzt? Positive oder Negative?

Hier findet ihr die Beobachtungen von Dia:

1. Urbild und Bild liegen auf verschiedenen Seiten von Z.
2. Es werden negative Zahlen verwendet.

Um herauszufinden was das k bedeutet, müsst ihr euch jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie

sich die Streckenlängen verändern, wenn ihr k verändert. Dazu müsst ihr euch die Streckenlängen anzeigen lassen.

Zur Hilfe orientiert euch an dieser Frage:

Was ist der Unterschied zwischen der Länge der Bildstrecke zur Urbildstrecke?

Hier könnt ihr eure Vermutung mit der von Dia vergleichen:

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Bildstrecken sind jeweils |k|-mal so lang wie die Urbildstrecken.

k bezeichnet man als den Streckungsfaktor. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.

3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors

Wie ihr in der 2. Station schon herausgefunden habt ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke.

Geometrisch bedeutet dies: ZB' = |k| ∙ ZB