Vierstreckensatz: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Zoll''' ist eine '''Längeneinheit''', die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern. <br>
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Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden. <br>
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Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:<br>
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*die algebraische Berechnung<br>
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*oder die geometrische.<br>
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Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15-Zoll-Laptop.<br>
 
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*Finde heraus wie du die Aufgabe '''algebraisch''' lösen kannst:  
 
*Finde heraus wie du die Aufgabe '''algebraisch''' lösen kannst:  
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::'''Gegeben''': Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
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::'''Gesucht''': Umrechnung von 15 Zoll in cm.
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:'''Gegeben''': Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
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::'''Lösung''': Berechne in deinem Heft und trage hier deine berechnete Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
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15 Zoll entsprechen '''38,1 cm (Tipp:  Berechne mit Hilfe des Dreisatzes)'''.
 
15 Zoll entsprechen '''38,1 cm (Tipp:  Berechne mit Hilfe des Dreisatzes)'''.
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*Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe '''geometrisch''' lösen kannst.  
 
*Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe '''geometrisch''' lösen kannst.  
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::Klicke die Schritte nacheinander an:
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::1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden  
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'''Klicke die Schritte nacheinander an:'''<br>
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:::die Längen 1 cm und 15 cm ab. Benenne die Endpunkte der Strecken mit A und B.
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1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden <br>
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::2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B.
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:die Längen 1 cm und 15 cm ab! Benenne die Endpunkte der Strecken mit A und B! <br>
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::3. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit <span style="text-decoration: overline;">ZA'</span> = 2,54 cm ab.
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2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B!<br>
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::4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch A' zu [AB].
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3. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit <span style="text-decoration: overline;">ZA'</span> = 2,54 cm ab! <br>
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::5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'.
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4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch A' zu [AB]!<br>
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::6. Schritt: Miss <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> ab.  
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5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'! <br>
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6. Schritt: Miss <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> ab!  
 
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<ggb_applet height="300" width="950" showResetIcon="true" filename="Porzelt_geometrisch.ggb" />
 
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::Wenn AB || A'B' ist, gilt: <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}</math>.
 
 
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'''Die Rechnung, die dahinter steckt:'''<br>
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::'''Begründung:'''
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Vorausgesetzt wird, dass die Gerade '''A'B' zu AB parallel''' ist. Das '''Dreieck A'ZB'''' kann somit als das '''Bild''' des '''Dreiecks AZB (Urbild)'''<br>
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::Vorrausgesetzt wird dass die Gerade '''A'B' zu AB parallel''' ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB
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mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt '''A''' wurde also '''auf''' den Punkt '''A'''' und Punkt '''B''' wurde '''auf''' Punkt '''B' abgebildet'''. <br>
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::mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.
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Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das '''Längenverhältnis von Strecken''' bei einer zentrischen Streckung, wegen der <br>Eigenschaft der '''Längenverhältnistreue''', '''gleich''' ist. <br>
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::Das Verhältnis von Strecken ist wegen der Eigenschaft der '''Verhältnistreue'''
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'''Was bedeutet dies?''' Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:
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::gleich, so auch <math>{\overline{ZA}\over\overline{AA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{BB'}}</math>, oder <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}</math>.
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::Dies bedeutet, dass sich '''die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen
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::Halbgeraden (erster Vierstreckensatz)'''.
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<math>\overline{ZA'}</math> = '''<math>\mid k\mid  \cdot \overline{ZA}</math>''' <math>\mathit{und}\ </math> <math>\overline{ZB'} =</math> '''<math>\mid k \mid \cdot \overline{ZB}</math>'''<br>
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::Weiterhin gilt aufgrund der Eigenschaft der Verhältnistreue:
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Aufgelöst nach |k|:<br>
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::<math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{AB}\over\overline{A'B'}}</math>
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<math>\mid k \mid =</math> '''<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math>''' <math>\mathit{und}\ </math> '''<math>\mid k \mid</math>''' <math>= {\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
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::Dass heißt, dass sich '''die Längen der Abschnitte auf den Parallelen wie die vom Schnittpunkt aus gemessenen Längen der ::Abschnitte auf einer Geraden verhalten (zweiter Vierstreckensatz)'''.
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Gleichsetzen:
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<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}} =</math> <math>{\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
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Einsetzen der Werte ergibt: <br>
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<math>{{2,54\ cm}\over{1\ Zoll}} =</math> '''<math>{x}\over{15\ Zoll}</math>''' <math>\Rightarrow x = 38,1\ cm</math>
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[[Bild:Porzelt_lobenderPanto8.jpg]]
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==2. Station: Zusammenfassung==
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:Hier siehst du alles noch einmal zusammengefasst. Trage den Kasten bitte in dein Heft ein!
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[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|left]]
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Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten wie die Abschnitte auf der anderen <br>
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Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den '''ersten Vierstreckensatz'''. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet, <br>
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deshalb wird es auch die '''Schenkellösung''' genannt.<br>
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<div align="left">[[Lernpfade/Zentrische Streckung/Vierstreckensatz/2.Station|<math>\Rightarrow</math> Weiter zur 2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung]]</div>

Aktuelle Version vom 19. Dezember 2009, 16:55 Uhr


Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Vierstreckensatz


Porzelt Vierstreckensatz.jpg





In diesem Lernpfad durchläufst du 5 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:
1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung
2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung
3. Station: Zweiter Vierstreckensatz
4. Station: Zusammenfassung
5. Station: Übung












1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung

Porzelt Laptop.jpg
Zoll ist eine Längeneinheit, die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.
Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.
Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:

  • die algebraische Berechnung
  • oder die geometrische.

Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15-Zoll-Laptop.

  • Finde heraus wie du die Aufgabe algebraisch lösen kannst:
Gegeben: Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
Gesucht: Umrechnung von 15 Zoll in cm.
Lösung: Berechne in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
(Bitte mach ein Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit.)

15 Zoll entsprechen 38,1 cm (Tipp: Berechne mit Hilfe des Dreisatzes).

 




  • Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe geometrisch lösen kannst.


Klicke die Schritte nacheinander an:
1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden

die Längen 1 cm und 15 cm ab! Benenne die Endpunkte der Strecken mit A und B!

2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B!
3. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit ZA' = 2,54 cm ab!
4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch A' zu [AB]!
5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'!
6. Schritt: Miss ZB' ab!


Die Rechnung, die dahinter steckt:
Vorausgesetzt wird, dass die Gerade A'B' zu AB parallel ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB (Urbild)
mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.
Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das Längenverhältnis von Strecken bei einer zentrischen Streckung, wegen der
Eigenschaft der Längenverhältnistreue, gleich ist.
Was bedeutet dies? Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:


\overline{ZA'} = \mid k\mid \cdot \overline{ZA} \mathit{und}\ \overline{ZB'} = \mid k \mid \cdot \overline{ZB}
Aufgelöst nach |k|:
\mid k \mid = {\overline{ZA'}\over\overline{ZA}} \mathit{und}\ \mid k \mid = {\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}
Gleichsetzen: {\overline{ZA'}\over\overline{ZA}} = {\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}
Einsetzen der Werte ergibt:
{{2,54\ cm}\over{1\ Zoll}} = {x}\over{15\ Zoll} \Rightarrow x = 38,1\ cm

 


Porzelt lobenderPanto8.jpg

Porzelt Panto-2.jpg

Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten wie die Abschnitte auf der anderen
Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den ersten Vierstreckensatz. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet,
deshalb wird es auch die Schenkellösung genannt.


\Rightarrow Weiter zur 2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung
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