Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 22. Januar 2010, 11:03 Uhr

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Station 3

Aufgabe 1

Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst. Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!


( I )   y + 3x = 4     und     ( II )   3y = 6x + 3              Motivation Hatos 12.PNG


Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst.
Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.


( I )     y + 3x = 4 | - 3x

y = -3x + 4

( II )    3y = 6x + 3 |  : 3

y = 2x + 1


Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen.


-3x + 4 = 2x + 1


Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst


-3x + 4 = 2x + 1 / - 2x
     
-5x + 4 = 1 / - 4
     
     
x = 3/5  
     
x = 0,6  


Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des Linearen Gleichungssystems noch der y - Wert.
Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen.
Wir nehmen hier Gleichung ( I )
Motivation Hatos 13.PNG


y = -3x + 4
     
y = -3 * 0,6 + 4
     
y = - 1,8 + 4
     
y = 2,2


Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 0,6 | 2,2 ) auch die Lösung des Linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Zuerst Gleichung ( I ):

y + 3x = 4
     
2,2 + 3 * 0,6 = 4
     
2,2 + 1,8 = 4
     
4 = 4



Wir nehmen nun noch die Gleichung ( II )

3y = 6x + 3
     
3 * 2,2 = 6 * 0,6 + 3
     
6,6 = 3,6 + 3
     
6,6 = 6,6


Somit lautet die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems L = { ( 0,6 | 2,2 ) }


 



Motivation Hatos 14.PNG


Aufgabe 2

Bei den folgenden Linearen Gleichungssystemen wurde das Gleichsetzungsverfahren angewandt. Ordne die jeweiligen Linearen Gleichungssysteme und die dazugehörigen Gleichungen nach Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens zusammen.

y = 3x    und    y = 2x + 1 3x = 2x + 1
2x = 3y + 5    und    2x = y + 1 3y + 5 = y + 1
a = 2b + 3    und    a = 5b - 1 2b + 3 = 5b - 1
3y = x - 4    und    3y = 2x - 7 x - 4 = 2x - 7

 



Hatos Merke.PNG
Das Gleichsetzungsverfahren!

Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.

1.Schritt: Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen.

2.Schritt: Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen.

3.Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

4.Schritt: Mache die Probe und gib dann die Lösungsmenge an.


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