Mathematisches Modellieren: Unterschied zwischen den Versionen

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== Modellierungskreislauf ==
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= Modellierungskreislauf =
  
 
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== Beispielaufgabe: Außenputz ==
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= Beispielaufgabe: Außenputz =
  
 
<div style="border: 2px solid grey;"><div style="background:#FFFACD">Das abgebildete Haus soll verputzt werden. Vom Dach bis zum Beginn der Dachschräge wird das Haus allerdings mit Holz verkleidet. Wie groß ist die zu verputzende Fläche? <br>
 
<div style="border: 2px solid grey;"><div style="background:#FFFACD">Das abgebildete Haus soll verputzt werden. Vom Dach bis zum Beginn der Dachschräge wird das Haus allerdings mit Holz verkleidet. Wie groß ist die zu verputzende Fläche? <br>
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=== Modell erstellen ===
 
=== Modell erstellen ===
  
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Um die Flächen berechnen zu können überlege ich welche mathematische Formen, deren Flächeninhalt ich berechene kann, die Wand am besten beschreiben. Für die einzelnen Wandflächen und Fenster sind Rechtecke am naheliegensten. Somit ergibt sich folgende Skizze:
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Um die Flächen berechnen zu können überlege ich welche mathematische Formen, deren Flächeninhalt ich berechnen kann, die Wand am besten beschreiben. Für die Wandfläche, Fenster, Balkonboden und Balkontüren sind Rechtecke am naheliegensten. Für die Fläche hinter den Steinen eignet sich ein Dreieck. Somit ergibt sich folgende Skizze:
  
 
[[Bild:Hauswand_Skizze_mathematisch.jpg]]
 
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Zu Berechnen ist also:<br>
 
Zu Berechnen ist also:<br>
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<span style="color: red">großes</span> <span style="color: red">Rechteck</span> - (<span style="color: blue">kleines</span> <span style="color: blue">Kellerfenster</span> + <span style="color: green">großes</span> <span style="color: green">Kellerfenster</span> + <span style="color: purple">2·</span><span style="color:purple">Erdgeschossfenster</span> + <span style="color: orange">Balkon</span> + <span style="color: grey">2·Balkontür</span>)
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<span style="color: red">gesamte</span> <span style="color: red">Wandfläche</span> - (<span style="color: blue">kleines</span> <span style="color: blue">Kellerfenster</span> + <span style="color: green">großes</span> <span style="color: green">Kellerfenster</span> + <span style="color: purple">2·</span><span style="color:purple">Erdgeschossfenster</span> + <span style="color: orange">Balkon</span> + <span style="color: grey">2·Balkontür</span> + <span style="color:#00F5FF">Fläche</span> <span style="color:#00F5FF">hinter</span> <span style="color:#00F5FF">Steinen</span>)
  
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Eine Rechtecksfläche berechne ich durch die Formel: Länge · Breite
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Eine Rechtecksfläche berechne ich durch die Formel: Länge · Breite <br>
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Die Dreiecksfläche durch: 0,5 · Grundfläche · Höhe <br>
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Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt kann ich für die Grundfläche und Höhe die Abmessungen der entsprechenden Außenseite des Hauses verwenden.
  
 
Aber wie soll ich die Fläche ohne Längenangaben berechnen?
 
Aber wie soll ich die Fläche ohne Längenangaben berechnen?
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Ich betrachte nochmals das Bild in der Angabe!
 
Ich betrachte nochmals das Bild in der Angabe!
 
Ich weiß, dass eine normale Raumhöhe etwa 2,60m entspricht.
 
Ich weiß, dass eine normale Raumhöhe etwa 2,60m entspricht.
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Also nehme ich diesen Wert von 2,60m für die Raumhöhe des Hauses an und messe diese im Bild. Dies ist gut möglich, da man zwischen den einzelnen Mauersteinen die Decke gut erkennen kann. Ich messe hier 5,9cm. Der Rest des Hauses wird auch noch vermessen.
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Also nehme ich diesen Wert von 2,60m für die Raumhöhe des Hauses an und messe diese im Bild. Dies ist gut möglich, da man zwischen den einzelnen Mauersteinen die Decke gut erkennen kann. Ich messe hier 2,6cm. Der Rest des Hauses wird auch noch vermessen.
  
 
[[Bild:Hauswand_Vermessung.jpg|300px]]
 
[[Bild:Hauswand_Vermessung.jpg|300px]]
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=== Mathematik benutzen ===
 
=== Mathematik benutzen ===
  
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Mit Hilfe des Dreisatzes kann ich nun die im Bild gemessenen Maße in die entsprechenden realen Längen umrechnen
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Die im Bild gemessenen Maße kann ich nun in die entsprechenden realen Längen umrechnen
  
 
2,6cm <math>\widehat{=}</math> 2,6m  <br> 1cm <math>\widehat{=}</math> 1m
 
2,6cm <math>\widehat{=}</math> 2,6m  <br> 1cm <math>\widehat{=}</math> 1m
  
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<u>Haus:<br></u>
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<u>Wandfläche bis Dachschräge:<br></u>
 
Länge:  9,5cm <math>\widehat{=}</math> '''9,50m''' <br> Breite: 4,8cm <math>\widehat{=}</math> '''4,80m'''
 
Länge:  9,5cm <math>\widehat{=}</math> '''9,50m''' <br> Breite: 4,8cm <math>\widehat{=}</math> '''4,80m'''
  
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Da ich nun alle nötigen Maße habe, kann ich mit der Flächenberechnung beginnen:<br>
 
Da ich nun alle nötigen Maße habe, kann ich mit der Flächenberechnung beginnen:<br>
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Flächenberechnung: <br> <span style="color:red">großes</span> <span style="color:red">Rechteck</span> - (<span style="color:blue">kleines</span> <span style="color:blue">Kellerfenster</span> + <span style="color:green">großes</span> <span style="color:green">Kellerfenster</span> + <span style="color:purple">2·Erdgeschossfenster</span> + <span style="color:orange">Balkon</span> + <span style="color:grey">2·Balkontür</span> + <span style="color:#00F5FF">Fläche</span> <span style="color:#00F5FF">hinter</span> <span style="color:#00F5FF">Steinen</span>)
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Flächenberechnung: <br> <span style="color:red">gesamte</span> <span style="color:red">Wandfläche</span> - (<span style="color:blue">kleines</span> <span style="color:blue">Kellerfenster</span> + <span style="color:green">großes</span> <span style="color:green">Kellerfenster</span> + <span style="color:purple">2·Erdgeschossfenster</span> + <span style="color:orange">Balkon</span> + <span style="color:grey">2·Balkontür</span> + <span style="color:#00F5FF">Fläche</span> <span style="color:#00F5FF">hinter</span> <span style="color:#00F5FF">Steinen</span>)
  
 
Zu Berechnen ist somit folgender Term:
 
Zu Berechnen ist somit folgender Term:
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=== Ergebnis erklären ===
 
=== Ergebnis erklären ===
  
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Wichtig ist, dass man das Ergebnis zum Schluss immer nochmal überprüft. Was bedeutet das Ergebnis? Ist das Ergebnis überhaupt realistisch?
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Beim oben abgebildetet Haus muss eine Fläche von etwa 34 m² verputzt werden. <br>
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Zu Beginn schau ich, ob meine Maßeinheit überhaupt stimmt. Ich musste eine Fläche berechnen somit ist die Maßeinheit m² auch richtig. Stände hier eine einfache Streckenlänge oder ein Volumen, müsste ich nach dem Fehler suchen. Es muss also eine Fläche von etwa 36,10m² verputzt werden. <div style="color:#0000FF"> Während der Berechnung muss immer das Ziel im Hinterkopf behalten werden!</div> Fallen mir nun Fehler auf oder bemerke ich, dass das Ergebnis nicht realistisch ist kann ich meine Modellierung nochmals überprüfen. Vielleicht ist mein Modell zu stark vereinfacht oder auch zu kompliziert. Vielleicht habe ich mich aber auch verrechnet. All dies muss überprüft werden!
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Die Maßeinheit Quadratmeter gibt einen Flächeninhalt an, was auch zu berechnen war. Die Größenordnung der Fläche von etwa 34 m² ist realistisch. <br>
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<div style="color:#0000FF">Natürlich sind verschiedene Modelle möglich und somit können auch die einzelnen Ergebnisse variieren. </div> Zum Beispiel hätte man hier auch von einer durchschnittlichen Breite eines Fensters oder aber der durchschnittlichen Dicke eines Balkonbodens anstatt einer Raumhöhe von 2,60m ausgehen können.
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Man hat jetzt einen Anhaltspunkt, wenn man zum Beispiel Putz kaufen will. Hier muss man sich natürlich bewusst sein, dass man für einige Quadratmeter mehr Putz kaufen muss als für 34 m², denn während der Modellierung habe ich Annahmen getroffen und die Situation vereinfacht. Man muss also aufrunden und auch an kleine Ungenauigkeiten denken, denn am Ende darf man auf keinen Fall zu wenig Putz haben.
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<div style="color:#00FF00"> Während der Berechnung muss immer das Ziel im Hinterkopf behalten werden!</div>  
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<div style="color:#00FF00">Natürlich sind verschiedene Modelle möglich und somit können auch die einzelnen Ergebnisse variieren. </div>  
  
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==Allgemeines zum Wiki==
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[[/Allgemeines zum Wiki| Allgemeines zum Wiki]]
  
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In der nachfolgenden Tabelle findest du wichtige Informationen zur Bearbeitung einer Seite im Wiki. Du musst die Befehle auch nicht immer neu eingeben, du kannst sie auch immer wieder kopieren und einfügen.
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[[/Hochwasser| Zur Aufgabe: Hochwasser]]
  
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{| {{Prettytable}} style="clear:right; margin-top:1em;"
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[[/Radfahren um den Bodensee| Zur Aufgabe: Radfahren um den Bodensee]]
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| colspan="3" style="background-color:#8DB6CD; text-align:center; padding:0.3em" | '''Hilfestellung für Wiki-Befehlseingaben'''
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! width="50%" | Was musst du eingeben?
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|Text <sub>abc</sub>
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<tt><nowiki>=== Überschrift 3 ===</nowiki></tt>
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[[media:Didaktischer_Kommentar_mathem_mod_hochwasser_radfahren.pdf|Didaktischer Kommentar]]
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|<tt><nowiki><span style="color:blue">Wort</span></nowiki></tt>
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|farbiger Absatz
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|<tt><nowiki><div style="color:#0000FF">Text</div></nowiki></tt>
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|<div style="color:#0000FF">Text</div>
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|Rahmen um Wort
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|<tt><nowiki><span&nbsp;style="border:2px&nbsp;solid&nbsp;red;">Wort</span></nowiki></tt>
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|<span style="border:2px solid red;">Wort</span>
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|Rahmen um Absatz
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|<tt><nowiki><div&nbsp;style="border:2px&nbsp;solid&nbsp;red;">Text</div></nowiki></tt>
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|<div style="border:2px solid red;">Text</div>
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|farbiger Hintergrund
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|<tt><nowiki><span style="background:yellow">Wort</span></nowiki></tt>
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|<span style="background:yellow">Wort</span>
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|farbiger Hintergrund für Absatz
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|<tt><nowiki><div style="background:yellow">Text</div></nowiki></tt>
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'''<u>Hinweis:</u>'''
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Bei der Befehlseingabe der Farben ist zu beachten, dass diese auf '''Englisch''' oder in Form einer '''Hexadezimalzahl''' eingegeben werden. Willst du also etwas <span style="color:red">rot</span> färben so musst du entweder '''red''' oder '''#ff0000''' eingeben.
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Im Folgenden findest du eine kleine Auswahl an Farben. Du kannst deinen gewünschten Farbcode jederzeit hier kopieren:
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|style="background-color:#FFE4E1" | MistyRose1 <br/> 255 228 225<br/>#FFE4E1
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|style="background-color:#4876FF" | RoyalBlue1 <br/> 72 118 255<br/>#4876FF
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|style="background-color:#0000FF" | Blue1 <br/> 0 0 255<br/>#0000FF
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|style="background-color:#00FFFF" | Cyan1 <br/> 0 255 255<br/>#00FFFF
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|style="background-color:#00FF7F" | SpringGreen1 <br/> 0 255 127<br/>#00FF7F
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|style="background-color:#00FF00" | Green1 <br/> 0 255 0<br/>#00FF00
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|style="background-color:#FFFF00" | Yellow1 <br/> 255 255 0<br/>#FFFF00
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|style="background-color:#FFA500" | Orange1 <br/> 255 165 0<br/>#FFA500
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|style="background-color:#FF0000" | Red1 <br/> 255 0 0 <br/> #FF0000
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|style="background-color:#9B30FF" | Purple1 <br/> 155 48 255<br/>#9B30FF
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|style="background-color:#1C1C1C" | <span style="color:#FFFFFF">grey11 <br/>28 28 28 <br/> #1C1C1C
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|style="background-color:#9C9C9C" | <span style="color:#FFFFFF">grey61 <br/>156 156 156 <br/> #9C9C9C
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Für deine Berechnungen benötigst du auch mathematische Formeln. In der folgenden Tabelle sind einige wichtige mathematische Symbole angegeben.
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{| {{Prettytable}} style="clear:right; margin-top:1em;"
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| colspan="2" style="background-color:#8DB6CD; text-align:center; padding:0.3em" | '''Mathematische Symbole'''
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! width="50%" | Was musst du eingeben?
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! width="50%" | Wie sieht das dann aus?
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|<tt><nowiki><math>\cdot</math></nowiki></tt>
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|<math>\cdot</math>
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[[Mathematisches Modellieren: Hochwasser| Zur Aufgabe: Hochwasser]]
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[[Mathematisches Modellieren: Radfahren um den Bodensee| Zur Aufgabe: Radfahren um den Bodensee]]
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Aktuelle Version vom 25. Januar 2011, 02:18 Uhr

Modellierungskreislauf

Modellierungskreislauf1.jpg

Beispielaufgabe: Außenputz

Das abgebildete Haus soll verputzt werden. Vom Dach bis zum Beginn der Dachschräge wird das Haus allerdings mit Holz verkleidet. Wie groß ist die zu verputzende Fläche?
Haus.jpg


Aufgabe verstehen

Zunächst mache ich mir eine Vorstellung darüber, wie die zu verputzende Wand später aussehen soll und fertige dazu eine Skizze an

Skizze Haus Real.jpg

Nun überlege ich welche Teile der Wand verputzt werden sollen bzw. nicht verputzt werden sollen. Nicht verputzt werden:

  • mit Holz verkleidete Fläche
  • Fenster
  • Balkonboden
  • Balkontüren
  • Fläche hinter Steinen


Ich habe nun also eine genaue Vorstellung von der Aufgabe.

Aber wie berechne ich nun die gesuchte Fläche?

Modell erstellen

Um die Flächen berechnen zu können überlege ich welche mathematische Formen, deren Flächeninhalt ich berechnen kann, die Wand am besten beschreiben. Für die Wandfläche, Fenster, Balkonboden und Balkontüren sind Rechtecke am naheliegensten. Für die Fläche hinter den Steinen eignet sich ein Dreieck. Somit ergibt sich folgende Skizze:

Hauswand Skizze mathematisch.jpg

Zu Berechnen ist also:
gesamte Wandfläche - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + 2·Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür + Fläche hinter Steinen)

Eine Rechtecksfläche berechne ich durch die Formel: Länge · Breite
Die Dreiecksfläche durch: 0,5 · Grundfläche · Höhe
Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt kann ich für die Grundfläche und Höhe die Abmessungen der entsprechenden Außenseite des Hauses verwenden.

Aber wie soll ich die Fläche ohne Längenangaben berechnen?

Ich betrachte nochmals das Bild in der Angabe! Ich weiß, dass eine normale Raumhöhe etwa 2,60m entspricht. Also nehme ich diesen Wert von 2,60m für die Raumhöhe des Hauses an und messe diese im Bild. Dies ist gut möglich, da man zwischen den einzelnen Mauersteinen die Decke gut erkennen kann. Ich messe hier 2,6cm. Der Rest des Hauses wird auch noch vermessen.

Hauswand Vermessung.jpg


Nun habe ich alle benötigten Maße aus dem Bild gemessen.

Mathematik benutzen

Die im Bild gemessenen Maße kann ich nun in die entsprechenden realen Längen umrechnen

2,6cm \widehat{=} 2,6m
1cm \widehat{=} 1m

Wandfläche bis Dachschräge:
 Länge: 9,5cm \widehat{=} 9,50m
Breite: 4,8cm \widehat{=} 4,80m

großes Kellerfenster:
 Länge: 1,1cm \widehat{=} 1,10m
Breite: 1,2cm \widehat{=} 1,20m

kleines Kellerfenster:
 Länge: 0,9cm \widehat{=} 0,90m
Breite: 0,7cm \widehat{=} 0,70m

Erdgeschossfenster:
 Länge: 1,7cm \widehat{=} 1,70m
Breite: 1,4cm \widehat{=} 1,40m

Balkonboden:
 Länge: 5,3cm \widehat{=} 5,30m
Breite: 0,3cm \widehat{=} 0,30m

Balkontür:
 Länge: 1,2cm \widehat{=} 1,20m
Breite: 0,5cm \widehat{=} 0,50m

Fläche hinter Steinen:
 Länge: 3,0cm \widehat{=} 3,00m
Höhe: 1,5cm \widehat{=} 1,50m

Nun kann ich die Maße in meine Skizze eintragen:

Wand Skizze Abmessungen.jpg

Da ich nun alle nötigen Maße habe, kann ich mit der Flächenberechnung beginnen:
Flächenberechnung:
gesamte Wandfläche - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + 2·Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür + Fläche hinter Steinen)

Zu Berechnen ist somit folgender Term: 9,50m · 4,80m - (0,90m · 0,70m + 1,10m · 1,20m + 2 · 1,70m · 1,40m + 5,30m · 0,30m + 2 · 1,20m · 0,50m + 0,5 · 3,00m · 1,50m)
= 45,60m² - (0,63m² + 1,32m² + 4,76m² + 1,59m² + 1,20m² + 2,25m²)
= 45,60m² - 11.75m²
= 33,85m²

Ergebnis erklären

Beim oben abgebildetet Haus muss eine Fläche von etwa 34 m² verputzt werden.
Die Maßeinheit Quadratmeter gibt einen Flächeninhalt an, was auch zu berechnen war. Die Größenordnung der Fläche von etwa 34 m² ist realistisch.
Man hat jetzt einen Anhaltspunkt, wenn man zum Beispiel Putz kaufen will. Hier muss man sich natürlich bewusst sein, dass man für einige Quadratmeter mehr Putz kaufen muss als für 34 m², denn während der Modellierung habe ich Annahmen getroffen und die Situation vereinfacht. Man muss also aufrunden und auch an kleine Ungenauigkeiten denken, denn am Ende darf man auf keinen Fall zu wenig Putz haben.

Während der Berechnung muss immer das Ziel im Hinterkopf behalten werden!
Natürlich sind verschiedene Modelle möglich und somit können auch die einzelnen Ergebnisse variieren.



Allgemeines zum Wiki

Zur Aufgabe: Hochwasser

Zur Aufgabe: Radfahren um den Bodensee


Didaktischer Kommentar

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