Mathematisches Modellieren

Modellierungskreislauf

Beispielaufgabe: Außenputz

Das abgebildete Haus soll verputzt werden. Vom Dach bis zum Beginn der Dachschräge wird das Haus allerdings mit Holz verkleidet. Wie groß ist die zu verputzende Fläche?

Aufgabe verstehen

Zunächst mache ich mir eine Vorstellung darüber, wie die zu verputzende Wand später aussehen soll und fertige dazu eine Skizze an

Nun überlege ich welche Teile der Wand verputzt werden sollen bzw. nicht verputzt werden sollen. Nicht verputzt werden:

• mit Holz verkleidete Fläche
• Fenster
• Balkonboden

Ich habe nun also eine genaue Vorstellung von der Aufgabe.

Aber wie berechne ich nun die gesuchte Fläche?

Modell erstellen

Um die Flächen berechnen zu können überlege ich welche mathematische Formen, deren Flächeninhalt ich berechene kann, die Wand am besten beschreiben. Für die einzelnen Wandflächen und Fenster sind Rechtecke am naheliegensten. Somit ergibt sich folgende Skizze:

Zu Berechnen ist also:
großes Rechteck - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + 2·Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür)

Eine Rechtecksfläche berechne ich durch die Formel: Länge · Breite

Aber wie soll ich die Fläche ohne Längenangaben berechnen?

Ich betrachte nochmals das Bild in der Angabe! Ich weiß, dass eine normale Raumhöhe etwa 2,60m entspricht. Also nehme ich diesen Wert von 2,60m für die Raumhöhe des Hauses an und messe diese im Bild. Dies ist gut möglich, da man zwischen den einzelnen Mauersteinen die Decke gut erkennen kann. Ich messe hier 5,9cm. Der Rest des Hauses wird auch noch vermessen.

Nun habe ich alle benötigten Maße aus dem Bild gemessen.

Mathematik benutzen

Mit Hilfe des Dreisatzes kann ich nun die im Bild gemessenen Maße in die entsprechenden realen Längen umrechnen

5,9cm $\widehat{=}$ 2,6m
1cm $\widehat{=}$ 0,44m

Haus:
Länge: 19,9cm $\widehat{=}$ 8,76m
Breite: 10,1cm $\widehat{=}$ 4,45m

großes Kellerfenster:
Länge: 2,3cm $\widehat{=}$ 1,02m
Breite: 2,2cm $\widehat{=}$ 0.97m

kleines Kellerfenster:
Länge: 2cm $\widehat{=}$ 0,88m
Breite: 1,5cm $\widehat{=}$ 0,66m

Erdgeschossfenster:
Länge: 3,2 cm $\widehat{=}$ 1,41m
Breite: 3cm $\widehat{=}$ 1,32m

Balkonboden:
Länge: 11,2cm $\widehat{=}$ 4,93m
Breite: 0,6cm $\widehat{=}$ 0,27m

Balkontür:
Länge: 0,7cm $\widehat{=}$ 0,31m
Breite: 2,6cm $\widehat{=}$ 1,15m

Nun kann ich die Maße in meine Skizze eintragen:

Da ich nun alle nötigen Maße habe, kann ich mit der Flächenberechnung beginnen:
Flächenberechnung:
großes Rechteck - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + 2·Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür)

Zu Berechnen ist somit folgender Term: 8,76m · 4,45m - (0,88m · 0,66m + 1,02m · 0,97m + 2 · 1,41m · 1,32m + 4,93m · 0,27m + 2 · 0,31m · 1,15m)
= 38,99m² - (0,58m² + 0,99m² + 3,73m² + 1.34m² + 0,72m²)
= 38,99m² - 7.36m²
= 31,63m²

Ergebnis erklären

Wichtig ist, dass man das Ergebnis zum Schluss immer nochmal überprüft. Was bedeutet das Ergebnis? Ist das Ergebnis überhaupt realistisch? ZU beginn schau ich, ob meine Maßeinheit überhaupt stimmt. Ich musste eine Fläche berechnen somit ist die Maßeinheit m² auch richtig. Stände hier eine einfache Streckenlänge oder ein Volumen müsste nach dem Fahler suchen. Es muss also eine Fläche von etwa 31,m² verputzt werden. Da man die Fläche berechnet um zu wissen wie viel Putz man in etwa benötigt wurden die Zwischenergebnisse immer aufgerundet. Denn man darf am Ende auf keinen Fall zu wenig Putz für die Wand haben. Hier sieht man, dass auch während der Berechnung immer das Ziel im Hinterkopf behalten werden muss! Fallen mir nun Fehler auf oder bemerke ich, dass das Ergebnis nicht realistisch ist kann ich meine Modellierung nochmals überprüfen. Vielleicht ist mein Modell zu stark vereinfacht oder auch zu kompliziert. Vielleicht habe ich mich aber auch verrechnet.

---

Allgemeines zum Wiki

In der nachfolgenden Tabelle findest du wichtige Informationen zur Bearbeitung einer Seite im Wiki. Du musst die Befehle auch nicht immer neu eingeben, du kannst sie auch immer wieder kopieren und einfügen.

Hilfestellung für Wiki-Befehlseingaben
	Was musst du eingeben?	Wie sieht das dann aus?
Texteingaben
Text	Normaler Text erscheint so wie du ihn eingibst.	Normaler Text erscheint so wie du ihn eingibst.
neu Zeile	Für eine neu Zeile brauchst du diesen Befehl:<br> dann bist du in der nächsten Zeile.	Für eine neu Zeile brauchst du diesen Befehl: dann bist du in der nächsten Zeile.
kursiv	''Text''	Text
fett	'''Text'''	Text
fett und kursiv	'''''Text'''''	Text
unterstrichen	<u>Text</u>	Text
hochgestellter Text	Text<sup>abc</sup>	Text abc
tiefgestellter Text	Text<sub>abc</sub>	Text abc
Überschriften	= Überschrift 1 = == Überschrift 2 == === Überschrift 3 === ==== Überschrift 4 ==== ===== Überschrift 5 =====	Überschrift 1 Überschrift 2 Überschrift 3 Überschrift 4 Überschrift 5
Aufzählung	* eins * zwei ** zwei-eins ** zwei-zwei * drei	eins zwei zwei-eins zwei-zwei drei
Aufzählung/ Nummerierung	# eins # zwei ## zwei-eins ## zwei-zwei # drei	eins zwei zwei-eins zwei-zwei drei
Farben
farbiges Wort	<span style="color:blue">Wort</span>	Wort
farbiger Absatz	<div style="color:#0000FF">Text</div>	Text
Rahmen um Wort	<span style="border:2px solid red;">Wort</span>	Wort
Rahmen um Absatz	<div style="border:2px solid red;">Text</div>	Text
farbiger Hintergrund	<span style="background:yellow">Wort</span>	Wort
farbiger Hintergrund für Absatz	<div style="background:yellow">Text</div>	Text

Hinweis: Bei der Befehlseingabe der Farben ist zu beachten, dass diese auf englisch oder in Form einer Hexadezimalzahl eingegeben werden. Willst du also etwas rot färben so musst du entweder red oder #ff0000 eingeben.

Im folgenden findest du eine kleine Auswahl an Farben. Du kannst deinen gewünschten Farbcode jederzeit hier kopieren:

MistyRose1 255 228 225 #FFE4E1	RoyalBlue1 72 118 255 #4876FF	Blue1 0 0 255 #0000FF	Cyan1 0 255 255 #00FFFF
SpringGreen1 0 255 127 #00FF7F	Green1 0 255 0 #00FF00	Yellow1 255 255 0 #FFFF00	Orange1 255 165 0 #FFA500
Red1 255 0 0 #FF0000	Purple1 155 48 255 #9B30FF	grey11 28 28 28 #1C1C1C	grey61 156 156 156 #9C9C9C

Für deine Berechnungen benötigst du auch mathematische Formeln. In der folgenden Tabelle sind einige wichtige mathematische Symbole angegeben.

Mathematische Symbole
Was musst du eingeben?	Wie sieht das dann aus?
<math>\cdot</math>	$\cdot$
<math>\approx</math>	$\approx$
<math>\widehat{=}</math>	$\widehat{=}$
<math>\frac{a}{b}</math>	$\frac{a}{b}$
<math>\Rightarrow</math>	$\Rightarrow$

Mathematisches Modellieren: Hochwasser