Untergruppenkriterium: Unterschied zwischen den Versionen
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==Definitionen== | ==Definitionen== | ||
| − | Was bedeutet "mit der | + | Was bedeutet "mit der eingeschränkten Verknüpfung von G auf U"? G ist eine Gruppe, d.h. es gibt eine Verknüpfung auf G, also eine Abbildung <math> \ast : G \times G \to G </math>. <br> |
| − | Wir haben eine Abbildung, d.h. wir können Einschränkungen dieser Abbildung betrachten. In unserem Fall betrachten wir <math> \ast \vert_{ U \times U }</math>. | + | Wir haben eine Abbildung, d.h. wir können Einschränkungen dieser Abbildung betrachten. In unserem Fall betrachten wir <math> \ast \vert_{ U \times U }</math>. <br> Ist U mit dieser Einschränkung eine Gruppe (Abgeschlossenheit + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann sagen wir: U ist eine Untergruppe von G und schreiben: <math> U \leq G </math> |
| − | Ist U mit dieser Einschränkung eine Gruppe (Abgeschlossenheit + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann sagen wir: U ist eine Untergruppe von G und schreiben: <math> U \leq G </math> | + | |
==Beweis== | ==Beweis== | ||
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"<math> \Rightarrow </math>" : | "<math> \Rightarrow </math>" : | ||
| − | Sei U eine Gruppe. U ist eine Gruppe und damit abgeschlossen. | + | Sei U eine Gruppe. U ist eine Gruppe und damit abgeschlossen. Abgeschlossenheit heißt dass die Verknüpfung wieder nach U abbildet: <math> \ast ( U \times U ) \subset U </math>, also gilt <math> \forall a, b \in U </math> : <math> a \ast b \in U </math>. <br> |
| − | U ist eine Gruppe, d.h. es existieren inverse Elemente. | + | U ist eine Gruppe, d.h. es existieren inverse Elemente. Somit gilt für alle <math> u \in U </math>, dass ebenfalls <math> u^{-1} in U </math>. <br> |
| − | + | U ist eine Gruppe, d.h. es existiert ein neutrales Element, d.h. es gibt mindestens ein Element. Somit ist U nicht leer. | |
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| + | "<math> \Leftarrow </math>" : | ||
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| + | Wegen <math> a \ast b \in U </math> ist U abgeschlossen. Da für ein Element <math> a \in U </math> auch gilt, dass auch <math> a^{-1} \in U </math> existieren inverse Elemte. Da U nicht leer existiert ein Element <math>u \in U </math>. Da auch <math> u^{-1} \in U </math> und auch <math> u \ast u^{-1} \in U </math> ist auch <math> e \in U <math>. D.h. das neutrale Element der Obergruppe G ist in U enthalten. Es fehlt nur noch die Assoziativität. Die Verknüpfung in G ist assoziativ, da G eine Gruppe ist. Die Verknüpfung in U ist nur eine Einschränkung der Verknüpfung von G. Und behält die Assoziativität. Denn die Elemente aus U werden wie in der Gruppe G verknüpft und verlieren die Assoziativität nicht. | ||
| + | Somit ist U eine Gruppe. | ||
==Aspekte== | ==Aspekte== | ||
| + | |||
| + | *Die Verknüpfung in U ist die Einschränkung von G auf U. Die inversen Element sind eindeutig bestimmt. [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|(Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe)]]. D.h. für ein <math>a \in U </math> gibt es nur ein <math> g \in G </math> mit <math> \ast (a, g) = e </math>. U ist eine Gruppe, d.h. es gibt für alle <math> u \in U </math> | ||
| + | Also ist für ein Element <math> a \in U </math> | ||
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| + | *Es existieren inverse Elemente. Warum kann man hier nicht folgern, dass U nicht leer ist. | ||
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[[Kategorie:Beweis Gruppe|Beweis]] | [[Kategorie:Beweis Gruppe|Beweis]] | ||
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Version vom 28. November 2018, 01:36 Uhr
Aussage
Sei 
eine Gruppe und U eine Teilmenge von G, also 
und 
. Dann gilt:
Definitionen
Was bedeutet "mit der eingeschränkten Verknüpfung von G auf U"? G ist eine Gruppe, d.h. es gibt eine Verknüpfung auf G, also eine Abbildung 
.
Wir haben eine Abbildung, d.h. wir können Einschränkungen dieser Abbildung betrachten. In unserem Fall betrachten wir 
.
Ist U mit dieser Einschränkung eine Gruppe (Abgeschlossenheit + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann sagen wir: U ist eine Untergruppe von G und schreiben: 
Beweis
Es liegt eine Äquivalenz vor, d.h. wir müssen zwei Implikationen zeigen:
"
" :
Sei U eine Gruppe. U ist eine Gruppe und damit abgeschlossen. Abgeschlossenheit heißt dass die Verknüpfung wieder nach U abbildet: 
, also gilt 
: 
.
U ist eine Gruppe, d.h. es existieren inverse Elemente. Somit gilt für alle 
, dass ebenfalls 
.
U ist eine Gruppe, d.h. es existiert ein neutrales Element, d.h. es gibt mindestens ein Element. Somit ist U nicht leer.
"
" :
Wegen ist U abgeschlossen. Da für ein Element 
auch gilt, dass auch 
existieren inverse Elemte. Da U nicht leer existiert ein Element . Da auch 
und auch 
ist auch Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): e \in U <math>. D.h. das neutrale Element der Obergruppe G ist in U enthalten. Es fehlt nur noch die Assoziativität. Die Verknüpfung in G ist assoziativ, da G eine Gruppe ist. Die Verknüpfung in U ist nur eine Einschränkung der Verknüpfung von G. Und behält die Assoziativität. Denn die Elemente aus U werden wie in der Gruppe G verknüpft und verlieren die Assoziativität nicht. Somit ist U eine Gruppe. ==Aspekte== *Die Verknüpfung in U ist die Einschränkung von G auf U. Die inversen Element sind eindeutig bestimmt. [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|(Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe)]]. D.h. für ein <math>a \in U
gibt es nur einmit
. U ist eine Gruppe, d.h. es gibt für alle
Also ist für ein Element
- Es existieren inverse Elemente. Warum kann man hier nicht folgern, dass U nicht leer ist.
