Untergruppenkriterium

Aussage

Sei $(G, \ast)$ eine Gruppe und U eine Teilmenge von G, also $U \subset G$ und $a, b \in U$. Dann gilt:

Definitionen

Was bedeutet "mit der eingeschr\"ankten Verkn\"upfung von G auf U"? G ist eine Gruppe, d.h. es gibt eine Verknüpfung auf G, also eine Abbildung $\ast : G \times G \to G$.
Wir haben eine Abbildung, d.h. wir können Einschränkungen dieser Abbildung betrachten. In unserem Fall betrachten wir $\ast \vert_{ U \times U }$. Ist U mit dieser Einschränkung eine Gruppe (Abgeschlossenheit + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann sagen wir: U ist eine Untergruppe von G und schreiben: $U \leq G$

Beweis

Es liegt eine Äquivalenz vor, d.h. wir müssen zwei Implikationen zeigen:

"$\Rightarrow$" :

Sei U eine Gruppe. U ist eine Gruppe und damit abgeschlossen. Also gilt $\ast ( U \times U ) \subset U$, also gilt $\forall a, b \in U$ : $a \ast b \in U$. U ist eine Gruppe, d.h. es existieren inverse Elemente. Die Verknüpfung in U ist die Einschränkung von G auf U. Die inversen Element sind eindeutig bestimmt. (Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe). D.h. für ein $a \in U$ gibt es nur ein $g \in G$ mit $\ast (a, g) = e$. U ist eine Gruppe, d.h. es gibt für alle $u \in U$ Also ist für ein Element $a \in U$