Vertiefen und Erweitern zum Flächeninhalt des Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Aufgabenstellung:''' <br>
 
'''Aufgabenstellung:''' <br>
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1.'''Wie''' wurde das Dreieck '''zerlegt'''? {{Lösung versteckt |Man zeichnet die Mittelparallele des Dreiecks zur Grundseite ein und schneidet diese mit der Höhe zu dieser Grundseite. }} <br>
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#Welche Figur''' entsteht? <br>
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2.'''Welche Figur''' ensteht? {{Lösung versteckt |Es entsteht ein Rechteck}}<br>
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#Wie erhält man die Figur? <br>
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3.Wie erhält man die Figur? {{Lösung versteckt |Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung}}<br>
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#Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?<br>
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5.Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?{{Lösung versteckt |Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung. }}<br>
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#'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?<br>
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6.'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?{{Lösung versteckt |Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks}}<br>
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#'''Welche Länge hat Grundseite im Vergleich zur Ausgangsfigur?
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7.Welche Länge besitzt ihre Grundseite?{{Lösung versteckt |Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.}}
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#Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. '''Die Längenangaben sind in Zentimetern''':
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Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von '''8 (cm²)'''
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'''Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja:'''
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#Es entsteht ein Rechteck
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#Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung
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#Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.
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#Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks
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#Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.}}
 
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: '''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
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*'''Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des grünen Dreiecks.'''  
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: F<sub>Rechteck</sub> = g  <math>\cdot</math>   h<sub>2</sub> <br>
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*'''Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Überlegungsfiguren?'''
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: Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
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*Nils rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = ( 8 <math>\cdot</math> 3 ): 2= 12 gehört zur '''Skizze I'''
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:F<sub>Rechteck</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
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*Maja rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = 8 <math>\cdot</math> ( 3 : 2 ) = 8 <math>\cdot</math> 1,5 = 12 gehört zur '''Skizze II'''
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: Für die Höhen gilt:
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:h<sub>2</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> h<sub>1</sub><br>
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: Einsetzen in Formel für Rechteck: <br>
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:F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g <math>\cdot</math> h<sub>1</sub>'''
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'''Aufgabenstellung:'''
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'''Aufgabenstellung:''' Kreuze die richtigen Antworten an:
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1. Wie wurde das Dreieck zerlegt? {{Lösung versteckt | Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten  eingezeichnet. }}
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2.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung? {{Lösung versteckt | Es ensteht ein Paralellogramm}}
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3.'''Wie''' entsteht diese Figur? {{Lösung versteckt | Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm}}
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4. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht? {{Lösung versteckt | Das kleine Teildreieck wird um 180 ° um einen Seitenmittelpunkt gedreht. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt.}}
+
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5. Welche '''Höhe''' besitzt die '''neue Figur''' im Vergleich zum Dreieck {{Lösung versteckt | Die Höhe des Parallelogramms ist halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks. Das Paralellogramm besitzt aber die gleiche Länge der Grundseite}}
+
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6.
+
−
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm  und c= 4cm
+
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Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks Ma, Mb und C. Überlege dir, welche Länge die Strecke MaMb besitzt.
+
−
Berechne den Flächeninhalt des Paralllelogramms. Was fällt Dir auf?
+
  
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{ Welche Figur ensteht? Es ensteht ein... }
 +
+Paralellogramm
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-Rechteck
 +
-Trapez
 +
-Dreieck
 +
 +
 +
{ Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? }
 +
+Seitenmittelpunkt M<sub>2</sub>
 +
-Seitenmittelpunkt M<sub>b</sub>
 +
-Echpunkt C
 +
 +
{ Um wieviel Grad wird es gedreht? }
 +
-90°
 +
+180°
 +
-120°
 +
-360°
 +
 +
{ Welche '''Höhe''' besitzt die '''neue Figur''' im Vergleich zum Dreieck. Sie ist... }
 +
-genauso groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
 +
+halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
 +
-doppelt s groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
 +
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</quiz>
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|'''5.''' Wie wurde das Dreieck zerlegt? <br>
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Bist du sicher, dass Du den Hinweis brauchst??{{ versteckt | Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten  eingezeichnet. }}
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'''6.''' '''Wie''' entsteht diese Figur? <br> Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder? {{ versteckt | Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt}}
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'''7.'''
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Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h<sub>2</sub>= 4cm  und c= 4cm
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<div class="lueckentext-quiz">
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'''16 (cm²)'''
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</div>
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Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks M<sub>2</sub>, M<sub>b</sub> und C. Überlege, welche Länge die Strecke [ M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>] besitzt.<br>
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<div class="lueckentext-quiz">
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'''4(cm²)'''
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</div>
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Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.
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<div class="lueckentext-quiz">
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'''16(cm²)'''
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Was fällt Dir auf?
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: '''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
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'''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
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: F<sub>Parallelogramm</sub> =  '''g  <math>\cdot</math>  h<sub>2</sub> '''<br>
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F<sub>Parallelogramm</sub> =  '''g  <math>\cdot</math>  h<sub>2</sub> '''<br>
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: Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
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Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
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:F<sub>Parallelogrammk</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
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F<sub>Parallelogrammk</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
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: Für die Höhen gilt:
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Für die Höhen gilt:
 
:'''h<sub>2</sub>''' = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> h <br>
 
:'''h<sub>2</sub>''' = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> h <br>
 
: Einsetzen in Formel für Parallelogramm: <br>
 
: Einsetzen in Formel für Parallelogramm: <br>
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'''Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen: <br>
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'''Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3: <br>
 
In der '''ersten Variante''' zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck  mit gleicher Grundseite und halber Höhe...<br>  
 
In der '''ersten Variante''' zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck  mit gleicher Grundseite und halber Höhe...<br>  
 
und in der '''zweiten Variante''' zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit '''gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe'''.'''   
 
und in der '''zweiten Variante''' zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit '''gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe'''.'''   

Version vom 15. Juli 2009, 16:41 Uhr

Für die ganz Schnellen:

Vertiefen und Erweitern


Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann.
Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz.
Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen.
Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.


Herleitungsidee 2

Aufgabenstellung:

  1. Welche Figur entsteht?
  2. Wie erhält man die Figur?
  3. Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
  4. Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck?
  5. Welche Länge hat Grundseite im Vergleich zur Ausgangsfigur?
  6. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Die Längenangaben sind in Zentimetern:

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 8 (cm²)


Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja:

  1. Es entsteht ein Rechteck
  2. Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung
  3. Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.
  4. Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks
  5. Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.



  • Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des grünen Dreiecks.
Ebert Rechenbeispiel.jpg
  • Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Überlegungsfiguren?
  • Nils rechnet so: FDreieck = ( 8 \cdot 3 ): 2= 12 gehört zur Skizze I
  • Maja rechnet so: FDreieck = 8 \cdot ( 3 : 2 ) = 8 \cdot 1,5 = 12 gehört zur Skizze II

Herleitungsidee 3

Aufgabenstellung: Kreuze die richtigen Antworten an:

1. Welche Figur ensteht? Es ensteht ein...

Paralellogramm
Rechteck
Trapez
Dreieck

2. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht?

Seitenmittelpunkt M2
Seitenmittelpunkt Mb
Echpunkt C

3. Um wieviel Grad wird es gedreht?

90°
180°
120°
360°

4. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck. Sie ist...

genauso groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
doppelt s groß, wie die des Ausgangsdreiecks.

Punkte: 0 / 0


5. Wie wurde das Dreieck zerlegt?

Bist du sicher, dass Du den Hinweis brauchst??

Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten eingezeichnet.

6. Wie entsteht diese Figur?
Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder?

Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt

7. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm und c= 4cm

16 (cm²)

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks M2, Mb und C. Überlege, welche Länge die Strecke [ M2 Mb] besitzt.

4(cm²)

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

16(cm²)

Was fällt Dir auf?


Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??

FParallelogramm = g \cdot h2
Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FParallelogrammk = FDreieck
Für die Höhen gilt:

h2 = {1 \over 2} \cdot h
Einsetzen in Formel für Parallelogramm:
FDreieck = {1 \over 2} g \cdot h


Ebert MotivatorMerke.jpg Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:
In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...
und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe.

Herleitungsidee 4





Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird.
Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:
Aufgabenstellung:

1.Welche Figur ensteht bei der Ergänzung?

Es entsteht ein Rechteck

2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?

Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung

3.Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur?

Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks

4.Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t

gDreieck = s + s + t + t
gDreieck = 2 \cdot s + 2\cdot t = 2 \cdot(s + t)
gRechteck= s + t
=> gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck


Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?

FRechteck = gRechteck \cdot h

Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FRechteck = FDreieck
Für die Grundseiten gilt:
gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck
Einsetzen in Formel für Rechteck:
FDreieck = {1 \over 2} gDreieck \cdot h



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