Vertiefen und Erweitern zum Flächeninhalt des Dreiecks

Vertiefen und Erweitern

Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann.

Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz.

Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen.

Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.

Herleitungsidee 2

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Aufgabenstellung: 1.Wie wurde das Dreieck zerlegt? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Man zeichnet die Mittelparallele des Dreiecks zur Grundseite ein und schneidet diese mit der Höhe zu dieser Grundseite. 2.Welche Figur ensteht? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es entsteht ein Rechteck 3.Wie erhält man die Figur? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung 5.Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung. 6.Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck?[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks 7.Welche Länge besitzt ihre Grundseite?[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.

Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??

F_Rechteck = g $\cdot$ h₂

Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:

F_Rechteck = F_Dreieck

Für die Höhen gilt:

h₂ = ${1 \over 2}$ $\cdot$ h₁

Einsetzen in Formel für Rechteck:

F_Dreieck = ${1 \over 2}$ g $\cdot$ h₁

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Herleitungsidee 3

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Aufgabenstellung: 1. Wie wurde das Dreieck zerlegt? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten eingezeichnet. 2.Welche Figur ensteht bei der Ergänzung? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es ensteht ein Paralellogramm 3.Wie entsteht diese Figur? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm 4. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Das kleine Teildreieck wird um 180 ° um einen Seitenmittelpunkt gedreht. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt. 5. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Höhe des Parallelogramms ist halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks. Das Paralellogramm besitzt aber die gleiche Länge der Grundseite 6. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm und c= 4cm Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks Ma, Mb und C. Überlege dir, welche Länge die Strecke MaMb besitzt. Berechne den Flächeninhalt des Paralllelogramms. Was fällt Dir auf?

Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??

F_{Parallelogramm} = g $\cdot$ h₂

Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:

F_{Parallelogrammk} = F_Dreieck

Für die Höhen gilt:

h₂ = ${1 \over 2}$ $\cdot$ h

Einsetzen in Formel für Parallelogramm:

F_Dreieck = ${1 \over 2}$ g $\cdot$ h

Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen:
In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...
und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe.

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Herleitungsidee 4

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Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird.

Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:

Aufgabenstellung: 1.Welche Figur ensteht bei der Ergänzung? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es entsteht ein Rechteck 2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung 3.Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks 4.Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks! Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t gDreieck = s + s + t + t gDreieck = 2 $\cdot$ s + 2$\cdot$ t = 2 $\cdot$(s + t) gRechteck= s + t => gRechteck = ${1 \over 2}$ $\cdot$ gDreieck

Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?

F_Rechteck = g_Rechteck $\cdot$ h

Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:

F_Rechteck = F_Dreieck

Für die Grundseiten gilt:

g_Rechteck = ${1 \over 2}$ $\cdot$ g_Dreieck

Einsetzen in Formel für Rechteck:

F_Dreieck = ${1 \over 2}$ g_Dreieck $\cdot$ h