Algebra: Gleichungen

Gleichungen

Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch Äquivalenzumformungen, mit denen du beide Seiten der Gleichung einheitlich umstellst, ohne dass sich der Wert der Gleichung ändert.

Deine neue Lieblings-Merkregel zum Umformen von Termen und Gleichungen:

Rechne immer Klammer vor Punkt vor Strich!

Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.

Wenn du dir sicher bist, welche Äquivalenzumformung als nächstes kommt, darfst du durch Markieren des grauen Feldes den jeweils nächsten Schritt sichtbar machen!

Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.

• Beispiel :

$\ 9x - 12 = 60$

$\mathbb{G}=\mathbb{Q}$

$\ 9x - 12 = 60 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 12$

$\Leftrightarrow 9x = 72 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9$

$\Leftrightarrow x = 8$

$\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}8\mathcal{g}$

• 3x + 10 = 19

$\mathbb{G}=\mathbb{N}$

3x + 10 = 19    |  - 10

$\Leftrightarrow$3x = 9    |  : 3

$\Leftrightarrow$x = 3

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\ 3x + 10 = 19 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 10$

$\Leftrightarrow 3x = 9 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 3$

$\Leftrightarrow x = 3$

$\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}3\mathcal{g}$

• 9x - 18 = 27

$\mathbb{G}=\mathbb{Q}$

9x - 18 = 27    |   + 18

$\Leftrightarrow$9x = 45    |   : 9

$\Leftrightarrow$x = 5

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\ 9x - 18 = 27 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 18$

$\Leftrightarrow 9x = \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9$

$\Leftrightarrow x = 5$

$\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}$

• 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2

$\mathbb{G}=\mathbb{Q}$

$\Leftrightarrow$ 12 - 1 = 2x + 1    |  - 1

$\Leftrightarrow$10 = 2x    |  : 2

$\Leftrightarrow$x = 5

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2$

$\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 1$

$\Leftrightarrow 10 = 2x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 2$

$\Leftrightarrow x = 5$

$\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}$

• 2³ + 3² = 5x + 17

$\mathbb{G}=\mathbb{N}$

$\Leftrightarrow$ 8 + 9 = 5x + 17

$\Leftrightarrow$17 = 5x + 17    |  - 17

$\Leftrightarrow$0 = 5x    |  : 5

$\Leftrightarrow$x = 0 ... wirklich?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\ 2^3 + 3^2 = 5x + 17$

$\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17$

$\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 17$

$\Leftrightarrow 0 = 5x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 5$

$Da \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing$

$\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f} \mathcal{g}$

• 3x + 8 + 6x - 3 = -13

$\mathbb{G}=\mathbb{Q}$

$\Leftrightarrow$ 9x + 5 = -13    |  - 5

$\Leftrightarrow$9x = -18    |  : 9

$\Leftrightarrow$x = -2

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\ 3x + 8 + 6x - 3 = -13$

$\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 5$

$\Leftrightarrow 9x = -18\;\;\;\;\;\;\;\;| : 9$

$\Leftrightarrow x = -2$

$\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-2\mathcal{g}$

• -3 $\cdot$(3 - 2x) + 2x = -21

$\mathbb{G}=\mathbb{Q}$

$\Leftrightarrow$ -9 + 6x + 2x = -21

$\Leftrightarrow$ -9 + 8x = -21    |   + 9

$\Leftrightarrow$8x = -12    |  : 8

$\Leftrightarrow$x = -1,5

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$-3 \cdot (3 - 2x) + 2x = -21$

$\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21$

$\Leftrightarrow -9 + 8x = -21 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 9$

$\Leftrightarrow 8x = -12 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 8$

$\Leftrightarrow x = -1,5$

$\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}$

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