Beispielaufgabe

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Beispielaufgabe: Schmetterling-Modellierung

Aufgabe: Berechne die Größe eines Schmetterlings Pfauenauge!


1. Was ist gegeben?

Der Schmetterling hat 2 Flügel und den Körper.

2. Welche Angaben benötige ich noch?

Ich muss herausfinden, welche Spannweite der Schmetterling hat und welche Körperlänge.

3. Wie komme ich auf die fehlenden Angaben?

Zuerst einmal schätze ich, welche Spannweite der Schmetterling haben könnte und wie lang sein Körper sein könnte. 
Ich schätze die Spannweite auf 5 cm und die Körperlänge auf 3 cm.

4. Berechnen der Flügelgröße

Ich lege mir gedanklich ein Dreieck über den ganzen Schmetterling und
berechne zuerst einmal dieses, mit der Körperlänge = Höhe 3cm 
und der Spannweite = Grundseite 5 cm.
0,5 $\cdot$ 5 cm $\cdot$ 3 = 7,5 cm2
Die Fläche, die ich also für das 
Dreieck erhalte ist 7,5 cm2.

5. Bin ich mit meinen Ergebnis zufrieden?

Nein, da ich die Angaben nur geschätzt habe und da ich ja
ein Dreieck berechnet habe, wessen Fläche zu groß ist.

6. Ich verbessere meine Vorgehensweise

Um die Fläche des Schmetterlings besser berechnen zu können, 
teile ich sie in kleine Quadrate ein. 

7. Verbesserte Berechnung

Auf meinem Bild kann ich dann die Quadrate abzählen. 
Ich zähle 9,5 Quadrate in der Höhe und 21,5 Quadrate in der Breite.
Damit kann ich errechnen, wieviele Quadrate in meinem Dreieck liegen: 
0,5 $\cdot$ 21,5 $\cdot$ 9,5 $\approx$ 102

Nun muss ich die Größe der Quadrate errechnen. Ich weiß, 
dass 102 Quadrate eine Fläche 
von 7,5 cm2 haben. 
7,5 cm2 : 102 $\approx$ 0,07 cm2
Ein Quadrat hat also eine Fläche von 0,07 cm2.

Jetzt muss ich die ausgefüllten Quadrate zählen (73) und die nicht ganz Ausgefüllten füge
ich zu ausgefüllten Quadraten zusammen (12).
Insgesamt habe ich also 85 Quadrate. 
Mein Schmetterling wäre also 85 $\cdot$ 0,07 cm2 = 5,95 cm2 groß. 

8. Bin ich jetzt mit meinem Ergebnis zufrieden?

Nein, ich bin immernoch nicht zufrieden, da meine Werte für die Spannweite und die Körperlänge
immernoch nur geschätzt sind. 

9. Ich muss also nochmal verbessern.

Ich schau also einmal im Internet nach, welche Spannweite und Körperlänge ein Schmetterlingsflügel in Wirklichkeit hat. 
Spannweite 5,0 - 5,5 cm
Körperlänge 2,5 - 3,5 cm

10. Nochmal verbesserte Berechnung

Für die erneute Berechnung nehme ich den Mittelwert der Spannweite und der Körperlänge.
(5,0 + 5,5) : 2 = 5,25 cm
(2,5 + 3,5) : 2 = 3 cm

Dann muss ich mein großes Dreieck mit den neuen Maßen berechnen, um anschließend meine
Quadrate berechnen zu können. 
0,5 $\cdot$ 5,25 cm $\cdot$ 3 cm = 7,9 cm2 
Ein Quadrat entspricht somit  7,9 cm2 : 102 $\approx$ 0,08 cm2
85 Quadrate entsprechen dann also  85 $\cdot$ 0,08 cm2 = 6,8 cm2

Meine Schmetterlingsgröße wäre also nun 6,8 cm2

11. Bin ich nun enldich zufrieden mit meinem Ergebnis?

Ja, nun haben ich alles zu meiner Zufriedenheit verbessert.