Kürzbarkeit/Sudokuregel in Gruppen

Aussage

Alle Elemente einer Gruppe $(G, \ast)$ sind links- und rechtskürzbar.

Erklärungen

Ein Element $a \in G$ heißt linkskürzbar, wenn für alle $b,c \in G$ gilt:

$a \ast b = a \ast c \Rightarrow b = c$

Entsprechend ist rechtskürzbar definiert.

Beweis

Aspekte

• Betrachten wir die Verknüpfungstabelle einer Gruppe. In diesem Fall eine endliche Gruppe mit 4 Elementen. Dann sehen wir, dass in jeder Spalte und jeder Zeile jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt, wie bei einem Sudoku.

Sei $a \text{ und } c \in G$ fest gewählt. Wir überlegen, gibt es ein $b \in G$ mit $\ast(a,b) = c$ oder mit der Infixschreibweise: $a \ast b = c$. Das Element $a^{-1} \ast c$ ist ein Element in G. Und es gilt: $\ast (a,a^{-1} \ast c) = c$, oder in der Infixschreibweise: $a \ast a^{-1} \ast c = e \ast c = c$. Betrachten wir die Verknüpfungstafel, dann gilt: In der Reihe von a finde ich jedes beliebig andere Gruppenelement.

Gleichzeitig gilt wegen der Rechtskürzbarkeit, dass jedes Gruppenelement in jeder Reihe nur einmal vorkommt.

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