Mathematisches Modellieren

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Modellierungskreislauf

Modellierungskreislauf1.jpg

Beispielaufgabe: Außenputz

Das abgebildete Haus soll verputzt werden. Vom Dach bis zum Beginn der Dachschräge wird das Haus allerdings mit Holz verkleidet. Wie groß ist die zu verputzende Fläche?
Haus.jpg


Aufgabe verstehen

Zunächst mache ich mir eine Vorstellung darüber, wie die zu verputzende Wand später aussehen soll und fertige dazu eine Skizze an

Skizze Haus Real.jpg

Nun überlege ich welche Teile der Wand verputzt werden sollen bzw. nicht verputzt werden sollen. Nicht verputzt werden:

  • mit Holz verkleidete Fläche
  • Fenster
  • Balkonboden
  • Balkontüren
  • Fläche hinter Steinen


Ich habe nun also eine genaue Vorstellung von der Aufgabe.

Aber wie berechne ich nun die gesuchte Fläche?

Modell erstellen

Um die Flächen berechnen zu können überlege ich welche mathematische Formen, deren Flächeninhalt ich berechnen kann, die Wand am besten beschreiben. Für die Wandfläche, Fenster, Balkonboden und Balkontüren sind Rechtecke am naheliegensten. Für die Fläche hinter den Steinen eignet sich ein Dreieck. Somit ergibt sich folgende Skizze:

Hauswand Skizze mathematisch.jpg

Zu Berechnen ist also:
gesamte Wandfläche - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür + Fläche hinter Steinen)

Eine Rechtecksfläche berechne ich durch die Formel: Länge · Breite
Die Dreiecksfläche durch: 0,5 · Grundfläche · Höhe
Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt kann ich für die Grundfläche und Höhe die Abmessungen der entsprechenden Außenseite des Hauses verwenden.

Aber wie soll ich die Fläche ohne Längenangaben berechnen?

Ich betrachte nochmals das Bild in der Angabe! Ich weiß, dass eine normale Raumhöhe etwa 2,60m entspricht. Also nehme ich diesen Wert von 2,60m für die Raumhöhe des Hauses an und messe diese im Bild. Dies ist gut möglich, da man zwischen den einzelnen Mauersteinen die Decke gut erkennen kann. Ich messe hier 2,6cm. Der Rest des Hauses wird auch noch vermessen.

Hauswand Vermessung.jpg


Nun habe ich alle benötigten Maße aus dem Bild gemessen.

Mathematik benutzen

Die im Bild gemessenen Maße kann ich nun in die entsprechenden realen Längen umrechnen

2,6cm \widehat{=} 2,6m
1cm \widehat{=} 1m

Wandfläche bis Dachschräge:
Länge: 9,5cm \widehat{=} 9,50m
Breite: 4,8cm \widehat{=} 4,80m

großes Kellerfenster:
Länge: 1,1cm \widehat{=} 1,10m
Breite: 1,2cm \widehat{=} 1,20m

kleines Kellerfenster:
Länge: 0,9cm \widehat{=} 0,90m
Breite: 0,7cm \widehat{=} 0,70m

Erdgeschossfenster:
Länge: 1,7cm \widehat{=} 1,70m
Breite: 1,4cm \widehat{=} 1,40m

Balkonboden:
Länge: 5,3cm \widehat{=} 5,30m
Breite: 0,3cm \widehat{=} 0,30m

Balkontür:
Länge: 1,2cm \widehat{=} 1,20m
Breite: 0,5cm \widehat{=} 0,50m

Fläche hinter Steinen:
Länge: 3,0cm \widehat{=} 3,00m
Höhe: 1,5cm \widehat{=} 1,50m

Nun kann ich die Maße in meine Skizze eintragen:

Wand Skizze Abmessungen.jpg

Da ich nun alle nötigen Maße habe, kann ich mit der Flächenberechnung beginnen:
Flächenberechnung:
gesamte Wandfläche - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + 2·Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür + Fläche hinter Steinen)

Zu Berechnen ist somit folgender Term: 9,50m · 4,80m - (0,90m · 0,70m + 1,10m · 1,20m + 2 · 1,70m · 1,40m + 5,30m · 0,30m + 2 · 1,20m · 0,50m + 0,5 · 3,00m · 1,50m)
= 45,60m² - (0,63m² + 1,32m² + 4,76m² + 1,59m² + 1,20m² + 2,25m²)
= 45,60m² - 11.75m²
= 33,85m²

Ergebnis erklären

Beim oben abgebildetet Haus muss eine Fläche von etwa 34 m² verputzt werden.
Die Maßeinheit Quadratmeter gibt einen Flächeninhalt an, was auch zu berechnen war. Die Größenordnung der Fläche von etwa 34 m² ist realistisch.
Man hat jetzt einen Anhaltspunkt, wenn man zum Beispiel Putz kaufen will. Hier muss man sich natürlich bewusst sein, dass man für einige Quadratmeter mehr Putz kaufen muss als für 34 m², denn während der Modellierung habe ich Annahmen getroffen und die Situation vereinfacht. Man muss also aufrunden und auch an kleine Ungenauigkeiten denken, denn am Ende darf man auf keinen Fall zu wenig Putz haben.

Während der Berechnung muss immer das Ziel im Hinterkopf behalten werden!
Natürlich sind verschiedene Modelle möglich und somit können auch die einzelnen Ergebnisse variieren.



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Didaktischer Kommentar