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Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-09-27T13:50:54Z

EmrahYigit: /* 4.2 Die Volumenformel der Pyramide */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]):'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen. Eine Skizze kann jedoch hilfreich sein.''

'''Eine gerade Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben (Maße in cm):'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit zwei Stellen nach dem Komma angeben, also in der Form x,xx): 
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.

Klappe mit Hilfe des Schiebereglers die Pyramide auf, und ordne die Farben richtig zu: 
Die Grundfläche ist '''blau''' gefärbt. Die Pyramidenseite vorne ist '''rosa''', die rechte 
Seite ist '''braun''' und die hinten liegende Seite ist dementsprechend '''grün'''. 

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-09-10T13:04:44Z

EmrahYigit: /* Übung 2: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen. Eine Skizze kann jedoch hilfreich sein.''

'''Eine gerade Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben (Maße in cm):'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit zwei Stellen nach dem Komma angeben, also in der Form x,xx): 
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.

Klappe mit Hilfe des Schiebereglers die Pyramide auf, und ordne die Farben richtig zu: 
Die Grundfläche ist '''blau''' gefärbt. Die Pyramidenseite vorne ist '''rosa''', die rechte 
Seite ist '''braun''' und die hinten liegende Seite ist dementsprechend '''grün'''. 

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-09-09T21:50:10Z

EmrahYigit: /* Übung 2: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen. Eine Skizze kann jedoch hilfreich sein.''

'''Eine gerade Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit zwei Stellen nach dem Komma angeben, also in der Form x,xx): 
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.

Klappe mit Hilfe des Schiebereglers die Pyramide auf, und ordne die Farben richtig zu: 
Die Grundfläche ist '''blau''' gefärbt. Die Pyramidenseite vorne ist '''rosa''', die rechte 
Seite ist '''braun''' und die hinten liegende Seite ist dementsprechend '''grün'''. 

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-30T16:08:44Z

EmrahYigit: /* Übung 1: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen. Eine Skizze kann jedoch hilfreich sein.''

'''Eine gerade Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit zwei Stellen nach dem Komma angeben, also in der Form x,xx): 
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-27T20:33:54Z

EmrahYigit: /* Übung 1: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
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| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen. Eine Skizze kann jedoch hilfreich sein.''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit zwei Stellen nach dem Komma angeben, also in der Form x,xx): 
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-27T20:32:23Z

EmrahYigit: /* Übung 2: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit zwei Stellen nach dem Komma angeben, also in der Form x,xx): 
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-27T20:31:44Z

EmrahYigit: /* Übung 2: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit '''zwei Stellen nach dem Komma''' angeben, also in der Form x,xx): 
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-27T20:30:09Z

EmrahYigit:

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Datei:Pyramideubung.ggb

2010-08-27T20:29:04Z

EmrahYigit: hat eine neue Version von „Bild:Pyramideubung.ggb“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
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|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-27T20:10:17Z

EmrahYigit: /* Übung 2: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Datei:Pyramideubung.ggb

2010-08-27T19:52:27Z

EmrahYigit: hat eine neue Version von „Bild:Pyramideubung.ggb“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
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}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-27T19:52:08Z

EmrahYigit: /* Übung 2: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 19,81cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 24,85cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''25,76 (in cm²)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Datei:Pyramideubung.ggb

2010-08-27T19:50:30Z

EmrahYigit: hat eine neue Version von „Bild:Pyramideubung.ggb“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-27T19:50:03Z

EmrahYigit: /* Übung 2: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="590" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 19,81cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 24,85cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''25,76 (in cm²)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Datei:Pyramideubung.ggb

2010-08-27T19:46:40Z

EmrahYigit: hat eine neue Version von „Bild:Pyramideubung.ggb“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
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|Andere Versionen =
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}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-27T17:30:56Z

EmrahYigit: /* Übung 2: */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="430" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 19,81cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 24,85cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''25,76 (in cm²)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Datei:Ubung2.jpg

2010-08-27T17:29:07Z

EmrahYigit: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
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|Genehmigung =
|Andere Versionen =
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== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-25T17:43:24Z

EmrahYigit: /* 4.2 Die Volumenformel der Pyramide */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="430" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!

# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!

# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 19,81cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 24,85cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''25,76 (in cm²)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-24T16:29:08Z

EmrahYigit: /* 4.1 Prinzip von Cavalieri */

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für alle Prismen, sowie für den Zylinder "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="430" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!

# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!

# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 19,81cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 24,85cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''25,76 (in cm²)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Netz und Oberfläche der Pyramide

2010-08-24T16:24:15Z

EmrahYigit: /* Weitere Pyramidennetze */

__NOTOC__

== 2.1 Oberfläche der Pyramide ==
 

Die Vereinigung der Grundfläche mit der Mantelfläche bezeichnet man als
die '''Oberfläche der Pyramide'''.

Zur Betrachtung und Berechnung der Oberfläche ist es deshalb zunächst sinnvoll, die ''Grundfläche'', 
die ''Mantelfläche'' als auch das ''Netz der Pyramide'' näher kennenzulernen. Das Netz stellt nämlich die Oberfläche in zweidimensionaler Ebene dar.
 

=== 2.1.1 Die Grundfläche der Pyramide ===

 

<div class="lueckentext-quiz">

Wie viele andere Körper hat auch die Pyramide eine Grundfläche (Die '''Kugel''' beispielsweise hat keine Grundfläche). 
Die Grundfläche hat immer die Form eines n-Ecks, also sind als Grundfläche Quadrate, Rechtecke, Dreiecke oder auch '''8-Ecke'''
möglich. Kurz: Die Grundfläche der Pyramide besitzt immer mindestens '''drei Ecken'''. 
Als Grundfläche sind '''Kreise''' ausgeschlossen, denn in diesem Fall würde ein klassischer Kegel anstatt einer Pyramide entstehen. 

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]
 

'''Folgende Flächen kommen als Grundfläche in Frage, jedoch haben sich Fehler eingeschlichen. 
Aus welchen Grundflächen kann keine Pyramide entstehen?''' 

[[Bild:Gemrahganz.jpg]]

<div class="multiplechoice-quiz">

Folgende Flächen sind keine Pyramidengrundflächen: (#1) (!#2) (!#3) (!#4) (#5) (!#6)

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.1.2 Die Mantelfläche der Pyramide ===

Die Mantelfläche der Pyramide besteht immer aus Dreiecken. 
 
Um die Dreiecksflächen berechnen zu können, benötigen wir nach der Formel 1/2 * g * h ("Einhalb mal Grundseite mal Höhe") 
neben den Längen der Grundkanten (Im Dreieck entspricht dies der Grundseite) auch jeweils die Dreieckshöhen hs! 
 
Diese sind meist nicht gegeben und auch ohne Weiteres nicht berechenbar. 
Um die Dreieckshöhen hs berechnen zu können, machen wir Gebrauch von sogenannten '''Stützdreiecken'''!
 
 
Im folgenden Applet könnt ihr einige Stützdreiecke ein- und ausblenden. 
 
[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die darauf folgenden Aufgaben und deren Nebenrechnungen benötigst du Stift, Papier und eventuell deinen Taschenrechner; die Ergebnisse trägt du dann weiter unten zur Überprüfung ein.

 
<ggb_applet height="650" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Stutzdreiecke.ggb" /> 

Die Grundfläche einer Pyramide ABCDS ist die Raute ABCD. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Schnittpunkt M der Diagonalen der Grundfläche. 

Es gilt: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 9 cm; [[Bild:Bdem.jpg|30px]] = 7 cm; [[Bild:Msem.jpg|30px]] = 8 cm 
Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet! 

'''Aufgaben''' (Hinweis: Blende die Stützdreiecke oben ein/aus)''':'''

# Fertige eine Skizze der Pyramide an und beschrifte die Eckpunkte, sowie die bekannten Längen
# Berechne alle Innenwinkel und Seitenlängen der Raute (= Grundfläche)
# Berechne die Mantelfläche ( [[/Lösungsansatz/]] )
# Berechne die Oberfläche

 
 
 

Nun gebe deine Ergebnisse unten ein, und überprüfe inwieweit du die Aufgaben richtig gelöst hast: 

<div class="lueckentext-quiz">

Die Seitenlängen der Raute betragen '''15,75 (in cm)'''.

Die Innenwinkel der Raute betragen jeweils '''75,74°''' und '''104,26 (in °, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Höhe [[Bild:Sfem.jpg|33px]] des Dreiecks BCS beträgt'''8,46 (in cm, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die anderen drei Dreieckshöhen sind '''gleich (gleich/unterschiedlich)''' groß, weil alle vier Dreiecke '''kongruent''' sind.

Die Fläche des Dreiecks BCS beträgt '''66,62 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Mantelfläche der Pyramide beträgt somit '''266,48 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Oberfläche setzt sich zusammen aus Grundfläche und '''Mantelfläche''' und beträgt bei dieser Pyramide '''297,98 (in cm²)'''.

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.2 Netz der Pyramide ===
 

Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen 
in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das '''Netz der Pyramide'''.
 

'''Im folgenden GeoGebra-Applet seht ihr eine Pyramide ABCD mit der Spitze S von oben.''' 
'''Verschiebt die vier Regler außerhalb der Pyramide, um die Pyramide ''"aufzuklappen"'',''' 
'''so dass das Netz der Pyramide entsteht.'''

<ggb_applet height="545" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramidennetz.ggb" /> 

<div class="multiplechoice-quiz">

Das blaue Feld entspricht der... (!Mantelfläche) (!Oberfläche) (Grundfläche) (!Grundkante)

Die grünen Felder zusammen ergeben die... (!Oberfläche) (Mantelfläche) (!Seitenkanten) (!Grundfläche)

Die Höhe hs, die am Anfang des Applets zu sehen ist, ist die Höhe der... (Seitenfläche) (!Pyramide) (Seitenflächen)

Die Oberfläche ergibt sich wiefolgt: (blaues Feld + alle grünen Felder) (!alle grünen Felder) (!nur das blaue Feld) (!blaues Feld + ein grünes Feld)

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

==== Weitere Pyramidennetze ====

'''Ein Pyramidennetz kann auch anders aussehen, wenn man nicht nur den Seitenkanten entlang ''aufschneidet'', sondern auch entlang der Grundkanten.'''

Dabei ist zu beachten, dass keine Dreiecksfläche komplett ''abgetrennt'' wird, denn das Netz der Pyramide muss immer eine zusammenhängende Fläche sein, die wieder zu einer vollständigen Pyramide ''gefaltet'' werden kann.

Hier unten siehst du oben links (#1) das bereits bekannte Netz einer geraden und quadratischen Pyramide, das wir durch aufschneiden aller Seitenkanten erhalten.

Auch bei dieser Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen!

'''Falte nun gedanklich die verschiedenen Netze zu einer Pyramide und finde heraus, welches Netz keine Pyramide ergibt!'''

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Fällt dir das gedankliche Falten schwer? Dann zeichne die Netze in geeigneter Größe. Schneide die Netze aus und finde durch Falten heraus, welches Netz kein Pyramidennetz ist.

[[Bild:Pyramidennetze.jpg|700px]]

<div class="lueckentext-quiz">

Welches Netz ist deiner Meinung nach falsch? 
Das Pyramidennetz #'''6 (trage die Zahl ohne '#' ein)''' ist falsch. Man erhält durch bloßes Falten keine Pyramide.

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Netz und Oberfläche der Pyramide/Lösungsansatz

2010-08-21T17:04:34Z

EmrahYigit:

__NOTOC__

<ggb_applet height="650" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Stutzdreiecke.ggb" /> 

Aufgabe: ''Berechne die Mantelfläche'' 

Die Mantelfläche setzt sich aus den Dreiecken zusammen, die die Grundkanten 
jeweils mit zwei anliegenden Seitenkanten einschließen. Sie besitzen alle die gleiche Spitze S. 
Um die Dreiecksflächen berechnen zu können, benötigst du die Dreieckshöhen. 

In diesem Lösungsansatz erfährst du, wie man die Höhe des Dreiecks BCS errechnen kann: 
 
1. Zunächst legst du den letzten Schalter (blau) oben im Applet um, um das nötige Stützdreieck MFS anzuzeigen. 
 
2. Als nächstes betrachten wir das Dreieck BCM: 

[[Bild:Rechnungemr1.jpg|350px]] 

Nun berechnest du den Winkel [[Bild:Beta1em.jpg|25px]] im rechtwinkligen Dreieck BCM wiefolgt: 

[[Bild:Rechnunga1.jpg|500px]] 
 
3. Nun berechnest du die Höhe [[Bild:Mfem.jpg|33px]] des Dreiecks BCM. Dazu betrachten wir das Teildreieck BFM genauer: 

[[Bild:Rechnungemr2.jpg|350px]] 

Die Hypothenuse [[Bild:Mbem.jpg|33px]] = 3,5cm ist gegeben und die Seite MF ist die Gegenkathete zum Winkel [[Bild:Beta1em.jpg|25px]], also rechnest du MF wiefolgt: 

[[Bild:Rechnunga2.jpg|500px]] 
 

4. Nun wird letzlich noch das eingeblendete Stützdreieck MFS genauer betrachtet: 

[[Bild:Rechnungemr4.jpg|350px]] 

In diesem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Hypothenuse der gesuchten Dreieckshöhe [[Bild:Sfem.jpg|33px]]. 
Mit Hilfe des Satz des Pythagoras sieht die Rechnung folgendermaßen aus: 

[[Bild:Rechnunga3.jpg|500px]] 
 
 

Damit lässt sich nun die Fläche des Dreiecks BCS berechnen. 
Gehe nun zurück. Fahre nun analog selbständig mit der Berechnung der Mantelfläche fort!

Benutzer:EmrahYigit/Netz und Oberfläche der Pyramide

2010-08-19T16:14:55Z

EmrahYigit: /* 2.1.1 Die Grundfläche der Pyramide */

__NOTOC__

== 2.1 Oberfläche der Pyramide ==
 

Die Vereinigung der Grundfläche mit der Mantelfläche bezeichnet man als
die '''Oberfläche der Pyramide'''.

Zur Betrachtung und Berechnung der Oberfläche ist es deshalb zunächst sinnvoll, die ''Grundfläche'', 
die ''Mantelfläche'' als auch das ''Netz der Pyramide'' näher kennenzulernen. Das Netz stellt nämlich die Oberfläche in zweidimensionaler Ebene dar.
 

=== 2.1.1 Die Grundfläche der Pyramide ===

 

<div class="lueckentext-quiz">

Wie viele andere Körper hat auch die Pyramide eine Grundfläche (Die '''Kugel''' beispielsweise hat keine Grundfläche). 
Die Grundfläche hat immer die Form eines n-Ecks, also sind als Grundfläche Quadrate, Rechtecke, Dreiecke oder auch '''8-Ecke'''
möglich. Kurz: Die Grundfläche der Pyramide besitzt immer mindestens '''drei Ecken'''. 
Als Grundfläche sind '''Kreise''' ausgeschlossen, denn in diesem Fall würde ein klassischer Kegel anstatt einer Pyramide entstehen. 

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]
 

'''Folgende Flächen kommen als Grundfläche in Frage, jedoch haben sich Fehler eingeschlichen. 
Aus welchen Grundflächen kann keine Pyramide entstehen?''' 

[[Bild:Gemrahganz.jpg]]

<div class="multiplechoice-quiz">

Folgende Flächen sind keine Pyramidengrundflächen: (#1) (!#2) (!#3) (!#4) (#5) (!#6)

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.1.2 Die Mantelfläche der Pyramide ===

Die Mantelfläche der Pyramide besteht immer aus Dreiecken. 
 
Um die Dreiecksflächen berechnen zu können, benötigen wir nach der Formel 1/2 * g * h ("Einhalb mal Grundseite mal Höhe") 
neben den Längen der Grundkanten (Im Dreieck entspricht dies der Grundseite) auch jeweils die Dreieckshöhen hs! 
 
Diese sind meist nicht gegeben und auch ohne Weiteres nicht berechenbar. 
Um die Dreieckshöhen hs berechnen zu können, machen wir Gebrauch von sogenannten '''Stützdreiecken'''!
 
 
Im folgenden Applet könnt ihr einige Stützdreiecke ein- und ausblenden. 
 
[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die darauf folgenden Aufgaben und deren Nebenrechnungen benötigst du Stift, Papier und eventuell deinen Taschenrechner; die Ergebnisse trägt du dann weiter unten zur Überprüfung ein.

 
<ggb_applet height="650" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Stutzdreiecke.ggb" /> 

Die Grundfläche einer Pyramide ABCDS ist die Raute ABCD. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Schnittpunkt M der Diagonalen der Grundfläche. 

Es gilt: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 9 cm; [[Bild:Bdem.jpg|30px]] = 7 cm; [[Bild:Msem.jpg|30px]] = 8 cm 
Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet! 

'''Aufgaben''' (Hinweis: Blende die Stützdreiecke oben ein/aus)''':'''

# Fertige eine Skizze der Pyramide an und beschrifte die Eckpunkte, sowie die bekannten Längen
# Berechne alle Innenwinkel und Seitenlängen der Raute (= Grundfläche)
# Berechne die Mantelfläche ( [[/Lösungsansatz/]] )
# Berechne die Oberfläche

 
 
 

Nun gebe deine Ergebnisse unten ein, und überprüfe inwieweit du die Aufgaben richtig gelöst hast: 

<div class="lueckentext-quiz">

Die Seitenlängen der Raute betragen '''15,75 (in cm)'''.

Die Innenwinkel der Raute betragen jeweils '''75,74°''' und '''104,26 (in °, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Höhe [[Bild:Sfem.jpg|33px]] des Dreiecks BCS beträgt'''8,46 (in cm, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die anderen drei Dreieckshöhen sind '''gleich (gleich/unterschiedlich)''' groß, weil alle vier Dreiecke '''kongruent''' sind.

Die Fläche des Dreiecks BCS beträgt '''66,62 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Mantelfläche der Pyramide beträgt somit '''266,48 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Oberfläche setzt sich zusammen aus Grundfläche und '''Mantelfläche''' und beträgt bei dieser Pyramide '''297,98 (in cm²)'''.

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.2 Netz der Pyramide ===
 

Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen 
in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das '''Netz der Pyramide'''.
 

'''Im folgenden GeoGebra-Applet seht ihr eine Pyramide ABCD mit der Spitze S von oben.''' 
'''Verschiebt die vier Regler außerhalb der Pyramide, um die Pyramide ''"aufzuklappen"'',''' 
'''so dass das Netz der Pyramide entsteht.'''

<ggb_applet height="545" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramidennetz.ggb" /> 

<div class="multiplechoice-quiz">

Das blaue Feld entspricht der... (!Mantelfläche) (!Oberfläche) (Grundfläche) (!Grundkante)

Die grünen Felder zusammen ergeben die... (!Oberfläche) (Mantelfläche) (!Seitenkanten) (!Grundfläche)

Die Höhe hs, die am Anfang des Applets zu sehen ist, ist die Höhe der... (Seitenfläche) (!Pyramide) (Seitenflächen)

Die Oberfläche ergibt sich wiefolgt: (blaues Feld + alle grünen Felder) (!alle grünen Felder) (!nur das blaue Feld) (!blaues Feld + ein grünes Feld)

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

==== Weitere Pyramidennetze ====

'''Ein Pyramidennetz kann auch anders aussehen, wenn man nicht nur den Seitenkanten entlang ''aufschneidet'', sondern auch entlang der Grundkanten.'''

Dabei ist zu beachten, dass keine Dreiecksfläche komplett ''abgetrennt'' wird, denn das Netz der Pyramide muss immer eine zusammenhängende Fläche sein, die wieder zu einer vollständigen Pyramide ''gefaltet'' werden kann.

Hier unten siehst du oben links (#1) das bereits bekannte Netz einer geraden und quadratischen Pyramide, das wir durch aufschneiden aller Seitenkanten erhalten.

Auch bei dieser Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen!

'''Falte nun gedanklich die verschiedenen Netze zu einer Pyramide und finde heraus, welches Netz keine Pyramide ergibt!'''

[[Bild:Pyramidennetze.jpg|700px]]

<div class="lueckentext-quiz">

Welches Netz ist deiner Meinung nach falsch? 
Das Pyramidennetz #'''6 (trage die Zahl ohne '#' ein)''' ist falsch. Man erhält durch bloßes Falten keine Pyramide.

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Netz und Oberfläche der Pyramide

2010-08-19T15:53:37Z

EmrahYigit: /* 2.1 Oberfläche der Pyramide */

__NOTOC__

== 2.1 Oberfläche der Pyramide ==
 

Die Vereinigung der Grundfläche mit der Mantelfläche bezeichnet man als
die '''Oberfläche der Pyramide'''.

Zur Betrachtung und Berechnung der Oberfläche ist es deshalb zunächst sinnvoll, die ''Grundfläche'', 
die ''Mantelfläche'' als auch das ''Netz der Pyramide'' näher kennenzulernen. Das Netz stellt nämlich die Oberfläche in zweidimensionaler Ebene dar.
 

=== 2.1.1 Die Grundfläche der Pyramide ===

 

<div class="lueckentext-quiz">

Wie viele andere Körper hat auch die Pyramide eine Grundfläche (Die '''Kugel''' beispielsweise hat keine Grundfläche). 
Die Grundfläche hat immer die Form eines n-Ecks, also sind als Grundfläche Quadrate, Rechtecke, Dreiecke oder auch '''8-Ecke'''
möglich. Kurz: Die Grundfläche der Pyramide besitzt immer mindestens '''drei Ecken'''. 
Als Grundfläche sind '''Kreise''' ausgeschlossen, denn in diesem Fall würde ein Zylinder anstatt einer Pyramide entstehen. 

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]
 

'''Folgende Flächen kommen als Grundfläche in Frage, jedoch haben sich Fehler eingeschlichen. 
Aus welchen Grundflächen kann keine Pyramide entstehen?''' 

[[Bild:Gemrahganz.jpg]]

<div class="multiplechoice-quiz">

Folgende Flächen sind keine Pyramidengrundflächen: (#1) (!#2) (!#3) (!#4) (#5) (!#6)

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.1.2 Die Mantelfläche der Pyramide ===

Die Mantelfläche der Pyramide besteht immer aus Dreiecken. 
 
Um die Dreiecksflächen berechnen zu können, benötigen wir nach der Formel 1/2 * g * h ("Einhalb mal Grundseite mal Höhe") 
neben den Längen der Grundkanten (Im Dreieck entspricht dies der Grundseite) auch jeweils die Dreieckshöhen hs! 
 
Diese sind meist nicht gegeben und auch ohne Weiteres nicht berechenbar. 
Um die Dreieckshöhen hs berechnen zu können, machen wir Gebrauch von sogenannten '''Stützdreiecken'''!
 
 
Im folgenden Applet könnt ihr einige Stützdreiecke ein- und ausblenden. 
 
[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die darauf folgenden Aufgaben und deren Nebenrechnungen benötigst du Stift, Papier und eventuell deinen Taschenrechner; die Ergebnisse trägt du dann weiter unten zur Überprüfung ein.

 
<ggb_applet height="650" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Stutzdreiecke.ggb" /> 

Die Grundfläche einer Pyramide ABCDS ist die Raute ABCD. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Schnittpunkt M der Diagonalen der Grundfläche. 

Es gilt: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 9 cm; [[Bild:Bdem.jpg|30px]] = 7 cm; [[Bild:Msem.jpg|30px]] = 8 cm 
Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet! 

'''Aufgaben''' (Hinweis: Blende die Stützdreiecke oben ein/aus)''':'''

# Fertige eine Skizze der Pyramide an und beschrifte die Eckpunkte, sowie die bekannten Längen
# Berechne alle Innenwinkel und Seitenlängen der Raute (= Grundfläche)
# Berechne die Mantelfläche ( [[/Lösungsansatz/]] )
# Berechne die Oberfläche

 
 
 

Nun gebe deine Ergebnisse unten ein, und überprüfe inwieweit du die Aufgaben richtig gelöst hast: 

<div class="lueckentext-quiz">

Die Seitenlängen der Raute betragen '''15,75 (in cm)'''.

Die Innenwinkel der Raute betragen jeweils '''75,74°''' und '''104,26 (in °, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Höhe [[Bild:Sfem.jpg|33px]] des Dreiecks BCS beträgt'''8,46 (in cm, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die anderen drei Dreieckshöhen sind '''gleich (gleich/unterschiedlich)''' groß, weil alle vier Dreiecke '''kongruent''' sind.

Die Fläche des Dreiecks BCS beträgt '''66,62 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Mantelfläche der Pyramide beträgt somit '''266,48 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Oberfläche setzt sich zusammen aus Grundfläche und '''Mantelfläche''' und beträgt bei dieser Pyramide '''297,98 (in cm²)'''.

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.2 Netz der Pyramide ===
 

Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen 
in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das '''Netz der Pyramide'''.
 

'''Im folgenden GeoGebra-Applet seht ihr eine Pyramide ABCD mit der Spitze S von oben.''' 
'''Verschiebt die vier Regler außerhalb der Pyramide, um die Pyramide ''"aufzuklappen"'',''' 
'''so dass das Netz der Pyramide entsteht.'''

<ggb_applet height="545" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramidennetz.ggb" /> 

<div class="multiplechoice-quiz">

Das blaue Feld entspricht der... (!Mantelfläche) (!Oberfläche) (Grundfläche) (!Grundkante)

Die grünen Felder zusammen ergeben die... (!Oberfläche) (Mantelfläche) (!Seitenkanten) (!Grundfläche)

Die Höhe hs, die am Anfang des Applets zu sehen ist, ist die Höhe der... (Seitenfläche) (!Pyramide) (Seitenflächen)

Die Oberfläche ergibt sich wiefolgt: (blaues Feld + alle grünen Felder) (!alle grünen Felder) (!nur das blaue Feld) (!blaues Feld + ein grünes Feld)

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

==== Weitere Pyramidennetze ====

'''Ein Pyramidennetz kann auch anders aussehen, wenn man nicht nur den Seitenkanten entlang ''aufschneidet'', sondern auch entlang der Grundkanten.'''

Dabei ist zu beachten, dass keine Dreiecksfläche komplett ''abgetrennt'' wird, denn das Netz der Pyramide muss immer eine zusammenhängende Fläche sein, die wieder zu einer vollständigen Pyramide ''gefaltet'' werden kann.

Hier unten siehst du oben links (#1) das bereits bekannte Netz einer geraden und quadratischen Pyramide, das wir durch aufschneiden aller Seitenkanten erhalten.

Auch bei dieser Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen!

'''Falte nun gedanklich die verschiedenen Netze zu einer Pyramide und finde heraus, welches Netz keine Pyramide ergibt!'''

[[Bild:Pyramidennetze.jpg|700px]]

<div class="lueckentext-quiz">

Welches Netz ist deiner Meinung nach falsch? 
Das Pyramidennetz #'''6 (trage die Zahl ohne '#' ein)''' ist falsch. Man erhält durch bloßes Falten keine Pyramide.

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"

2010-08-19T15:50:37Z

EmrahYigit: /* 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium */

__NOTOC__

== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt ==

In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Körpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel.

In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele: 

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Geometrische Körper in unserer Umwelt'''</big> 
Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu.
{|
|-
| [[Bild:Geok1.jpg|90px]] || (Halb-)Kugel
|-
| [[Bild:Geok2.jpg|90px]] || Quader
|-
| [[Bild:Geok3.jpg|90px]] || Kugel
|-
| [[Bild:Geok4.jpg|90px]] || Zylinder
|-
| [[Bild:Geok5.jpg|90px]] || Kegel
|-
| [[Bild:Geok6.jpg|90px]] || Kegelstumpf
|}
</div>

[[Bild:White.jpg|225px]] 

'''Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.''' 
'''Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.''' 
 

[[Bild:pyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]]
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Mulltonne.jpg|250px]]
 
 
 

== 1.2 Definition ==

<div class="lueckentext-quiz">

Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks,
so entsteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S
heißt '''Spitze''' der Pyramide.

Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt '''Höhe'''. Die Seiten der Grundfläche
heißen '''Grundkanten''', die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind
die '''Seitenkanten'''. Die Seitenflächen sind immer '''Dreiecke''', die zusammen die '''Mantelfläche'''
bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
</div>

 
 
 
 
 

== 1.3 Pyramidenarten ==
 

==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ====

Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
 
Man unterscheidet auch zwischen '''geraden''' und '''schiefen''' Pyramiden: 

 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]][[Bild:Pyramideschief2.jpg|250px]]
|-
| '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramiden'''
|}

 
'''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?'''
 

<div class="schuettel-quiz">

Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:

Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die Höhe der Pyramide '''innerhalb''' 

liegt, und der Höhenfußpunkt F mit dem '''Mittelpunkt''' der Grundfläche zusammenfällt. 

Also liegt die Spitze S '''senkrecht''' über dem Mittelpunkt der '''Grundfläche'''. 

Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn die Spitze S nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche 

liegt. Dabei kann die Höhe sogar '''außerhalb''' der Pyramide liegen, so dass der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt.

</div>
[[Bild:White.jpg|150px]]

==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ====

Wie wir soeben erfahren haben, können schiefe und gerade Pyramiden unterschieden werden.

Pyramiden können aber auch nach ihrer Grundfläche oder Höhe unterschieden werden.

Beispiele:

* Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt)
* Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
* Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen

Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe sind volumengleich. Sind ihre Grundflächen sogar kongruent (dechkungsgleich), sind die Pyramiden identisch. 
Ob Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt volumengleich sind, hängt zusätzlich von den Pyramidenhöhen ab.

Benutzer:EmrahYigit/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"

2010-08-18T15:09:04Z

EmrahYigit: /* 1.2 Definition */

__NOTOC__

== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt ==

In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Körpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel.

In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele: 

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Geometrische Körper in unserer Umwelt'''</big> 
Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu.
{|
|-
| [[Bild:Geok1.jpg|90px]] || (Halb-)Kugel
|-
| [[Bild:Geok2.jpg|90px]] || Quader
|-
| [[Bild:Geok3.jpg|90px]] || Kugel
|-
| [[Bild:Geok4.jpg|90px]] || Zylinder
|-
| [[Bild:Geok5.jpg|90px]] || Kegel
|-
| [[Bild:Geok6.jpg|90px]] || Kegelstumpf
|}
</div>

[[Bild:White.jpg|225px]] 

'''Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.''' 
'''Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.''' 
 

[[Bild:pyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]]
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Mulltonne.jpg|250px]]
 
 
 

== 1.2 Definition ==

<div class="lueckentext-quiz">

Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks,
so entsteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S
heißt '''Spitze''' der Pyramide.

Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt '''Höhe'''. Die Seiten der Grundfläche
heißen '''Grundkanten''', die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind
die '''Seitenkanten'''. Die Seitenflächen sind immer '''Dreiecke''', die zusammen die '''Mantelfläche'''
bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
</div>

 
 
 
 
 

== 1.3 Pyramidenarten ==
 

==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ====

Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
 
Man unterscheidet auch zwischen '''geraden''' und '''schiefen''' Pyramiden: 

 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]][[Bild:Pyramideschief2.jpg|250px]]
|-
| '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramiden'''
|}

 
'''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?'''
 

<div class="schuettel-quiz">

Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:

Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die Höhe der Pyramide '''innerhalb''' 

liegt, und der Höhenfußpunkt F mit dem '''Mittelpunkt''' der Grundfläche zusammenfällt. 

Also liegt die Spitze S '''senkrecht''' über dem Mittelpunkt der '''Grundfläche'''. 

Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn die Spitze S nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche 

liegt. Dabei kann die Höhe sogar '''außerhalb''' der Pyramide liegen, so dass der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt.

</div>
[[Bild:White.jpg|150px]]

==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ====

Pyramiden können nach gerade bzw. schief differenziert werden, wie wir soeben erfahren haben.

Ansonsten unterscheiden sich Pyramiden in ihrer Grundfläche oder in ihrer Höhe.

Beispiele:

* Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt)
* Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
* Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen

Benutzer:EmrahYigit/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"

2010-08-17T15:49:44Z

EmrahYigit: /* 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt */

__NOTOC__

== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt ==

In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Körpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel.

In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele: 

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Geometrische Körper in unserer Umwelt'''</big> 
Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu.
{|
|-
| [[Bild:Geok1.jpg|90px]] || (Halb-)Kugel
|-
| [[Bild:Geok2.jpg|90px]] || Quader
|-
| [[Bild:Geok3.jpg|90px]] || Kugel
|-
| [[Bild:Geok4.jpg|90px]] || Zylinder
|-
| [[Bild:Geok5.jpg|90px]] || Kegel
|-
| [[Bild:Geok6.jpg|90px]] || Kegelstumpf
|}
</div>

[[Bild:White.jpg|225px]] 

'''Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.''' 
'''Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.''' 
 

[[Bild:pyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]]
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Mulltonne.jpg|250px]]
 
 
 

== 1.2 Definition ==

<div class="lueckentext-quiz">

Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks,
so ensteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S
heißt '''Spitze''' der Pyramide.

Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt '''Höhe'''. Die Seiten der Grundfläche
heißen '''Grundkanten''', die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind
die '''Seitenkanten'''. Die Seitenflächen sind immer '''Dreiecke''', die zusammen die '''Mantelfläche'''
bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
</div>

 
 
 
 
 

== 1.3 Pyramidenarten ==
 

==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ====

Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
 
Man unterscheidet auch zwischen '''geraden''' und '''schiefen''' Pyramiden: 

 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]][[Bild:Pyramideschief2.jpg|250px]]
|-
| '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramiden'''
|}

 
'''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?'''
 

<div class="schuettel-quiz">

Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:

Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die Höhe der Pyramide '''innerhalb''' 

liegt, und der Höhenfußpunkt F mit dem '''Mittelpunkt''' der Grundfläche zusammenfällt. 

Also liegt die Spitze S '''senkrecht''' über dem Mittelpunkt der '''Grundfläche'''. 

Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn die Spitze S nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche 

liegt. Dabei kann die Höhe sogar '''außerhalb''' der Pyramide liegen, so dass der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt.

</div>
[[Bild:White.jpg|150px]]

==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ====

Pyramiden können nach gerade bzw. schief differenziert werden, wie wir soeben erfahren haben.

Ansonsten unterscheiden sich Pyramiden in ihrer Grundfläche oder in ihrer Höhe.

Beispiele:

* Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt)
* Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
* Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen

Benutzer:EmrahYigit/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"

2010-08-06T17:59:41Z

EmrahYigit: /* 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide */

__NOTOC__

== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt ==

In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Grundkörpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel.

In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele: 

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Geometrische Körper in unserer Umwelt'''</big> 
Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu.
{|
|-
| [[Bild:Geok1.jpg|90px]] || (Halb-)Kugel
|-
| [[Bild:Geok2.jpg|90px]] || Quader
|-
| [[Bild:Geok3.jpg|90px]] || Kugel
|-
| [[Bild:Geok4.jpg|90px]] || Zylinder
|-
| [[Bild:Geok5.jpg|90px]] || Kegel
|-
| [[Bild:Geok6.jpg|90px]] || Kegelstumpf
|}
</div>

[[Bild:White.jpg|225px]] 

'''Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.''' 
'''Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.''' 
 

[[Bild:pyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]]
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Mulltonne.jpg|250px]]
 
 
 

== 1.2 Definition ==

<div class="lueckentext-quiz">

Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks,
so ensteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S
heißt '''Spitze''' der Pyramide.

Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt '''Höhe'''. Die Seiten der Grundfläche
heißen '''Grundkanten''', die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind
die '''Seitenkanten'''. Die Seitenflächen sind immer '''Dreiecke''', die zusammen die '''Mantelfläche'''
bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
</div>

 
 
 
 
 

== 1.3 Pyramidenarten ==
 

==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ====

Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
 
Man unterscheidet auch zwischen '''geraden''' und '''schiefen''' Pyramiden: 

 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]][[Bild:Pyramideschief2.jpg|250px]]
|-
| '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramiden'''
|}

 
'''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?'''
 

<div class="schuettel-quiz">

Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:

Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die Höhe der Pyramide '''innerhalb''' 

liegt, und der Höhenfußpunkt F mit dem '''Mittelpunkt''' der Grundfläche zusammenfällt. 

Also liegt die Spitze S '''senkrecht''' über dem Mittelpunkt der '''Grundfläche'''. 

Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn die Spitze S nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche 

liegt. Dabei kann die Höhe sogar '''außerhalb''' der Pyramide liegen, so dass der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt.

</div>
[[Bild:White.jpg|150px]]

==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ====

Pyramiden können nach gerade bzw. schief differenziert werden, wie wir soeben erfahren haben.

Ansonsten unterscheiden sich Pyramiden in ihrer Grundfläche oder in ihrer Höhe.

Beispiele:

* Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt)
* Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
* Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen

Benutzer:EmrahYigit/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"

2010-08-06T17:54:40Z

EmrahYigit: /* 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide */

__NOTOC__

== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt ==

In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Grundkörpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel.

In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele: 

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Geometrische Körper in unserer Umwelt'''</big> 
Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu.
{|
|-
| [[Bild:Geok1.jpg|90px]] || (Halb-)Kugel
|-
| [[Bild:Geok2.jpg|90px]] || Quader
|-
| [[Bild:Geok3.jpg|90px]] || Kugel
|-
| [[Bild:Geok4.jpg|90px]] || Zylinder
|-
| [[Bild:Geok5.jpg|90px]] || Kegel
|-
| [[Bild:Geok6.jpg|90px]] || Kegelstumpf
|}
</div>

[[Bild:White.jpg|225px]] 

'''Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.''' 
'''Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.''' 
 

[[Bild:pyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]]
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Mulltonne.jpg|250px]]
 
 
 

== 1.2 Definition ==

<div class="lueckentext-quiz">

Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks,
so ensteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S
heißt '''Spitze''' der Pyramide.

Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt '''Höhe'''. Die Seiten der Grundfläche
heißen '''Grundkanten''', die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind
die '''Seitenkanten'''. Die Seitenflächen sind immer '''Dreiecke''', die zusammen die '''Mantelfläche'''
bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
</div>

 
 
 
 
 

== 1.3 Pyramidenarten ==
 

==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ====

Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
 
Man unterscheidet auch zwischen '''geraden''' und '''schiefen''' Pyramiden: 

 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]][[Bild:Pyramideschief2.jpg|250px]]
|-
| '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramiden'''
|}

 
'''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?'''
 

<div class="schuettel-quiz">

Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:

Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die '''Höhe''' und der Höhenfußpunkt F '''innerhalb''' 

der Pyramide liegen. 

Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn ihre Höhe h '''außerhalb''' der Pyramide liegt. Das bedeutet, dass 

auch der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt.

</div>
[[Bild:White.jpg|150px]]

==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ====

Pyramiden können nach gerade bzw. schief differenziert werden, wie wir soeben erfahren haben.

Ansonsten unterscheiden sich Pyramiden in ihrer Grundfläche oder in ihrer Höhe.

Beispiele:

* Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt)
* Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
* Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen

Datei:Pyramidegerade.jpg

2010-08-06T17:54:12Z

EmrahYigit: hat eine neue Version von „Bild:Pyramidegerade.jpg“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Datei:Pyramideschief2.jpg

2010-08-06T17:52:03Z

EmrahYigit: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Benutzer:EmrahYigit

2010-08-06T16:14:15Z

EmrahYigit:

[http://www.uni-wuerzburg.de/ Julius-Maximilians-Universität Würzburg] 
Lehramt an Realschulen 
Fächerkombination: Mathematik, Englisch und Ethik 
 

Der Lernpfad wird im Rahmen einer Zulassungsarbeit in der Didaktik der Mathematik erstellt. 
Betreuender Dozent: '''Michael Schuster''' 

{{Lernpfad|
===[[/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"/]]===
}}

{{Lernpfad|
===[[/Netz und Oberfläche der Pyramide/]]===
}}

{{Lernpfad|
===[[/Volumen der Pyramide/]]===
}}

Benutzer:EmrahYigit/Netz und Oberfläche der Pyramide/Lösungsansatz

2010-08-06T16:05:34Z

EmrahYigit:

__NOTOC__

<ggb_applet height="650" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Stutzdreiecke.ggb" /> 

Aufgabe: ''Berechne die Mantelfläche'' 

Die Mantelfläche setzt sich aus den Dreiecken zusammen, die die Grundkanten 
jeweils mit der Spitze S einschließen. 
Um die Dreiecksflächen berechnen zu können, benötigst du die Dreieckshöhen. 

In diesem Lösungsansatz erfährst du, wie man die Höhe des Dreiecks BCS errechnen kann: 
 
1. Zunächst legst du den letzten Schalter (blau) oben im Applet um, um das nötige Stützdreieck MFS anzuzeigen. 
 
2. Als nächstes betrachten wir das Dreieck BCM: 

[[Bild:Rechnungemr1.jpg|350px]] 

Nun berechnest du den Winkel [[Bild:Beta1em.jpg|25px]] im rechtwinkligen Dreieck BCM wiefolgt: 

[[Bild:Rechnunga1.jpg|500px]] 
 
3. Nun berechnest du die Höhe [[Bild:Mfem.jpg|33px]] des Dreiecks BCM. Dazu betrachten wir das Teildreieck BFM genauer: 

[[Bild:Rechnungemr2.jpg|350px]] 

Die Hypothenuse [[Bild:Mbem.jpg|33px]] = 3,5cm ist gegeben und die Seite MF ist die Gegenkathete zum Winkel [[Bild:Beta1em.jpg|25px]], also rechnest du MF wiefolgt: 

[[Bild:Rechnunga2.jpg|500px]] 
 

4. Nun wird letzlich noch das eingeblendete Stützdreieck MFS genauer betrachtet: 

[[Bild:Rechnungemr4.jpg|350px]] 

In diesem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Hypothenuse der gesuchten Dreieckshöhe [[Bild:Sfem.jpg|33px]]. 
Mit Hilfe des Satz des Pythagoras sieht die Rechnung folgendermaßen aus: 

[[Bild:Rechnunga3.jpg|500px]] 
 
 

Damit lässt sich nun die Fläche des Dreiecks BCS berechnen. 
Gehe nun zurück. Fahre nun analog selbständig mit der Berechnung der Mantelfläche fort!

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-08-06T16:04:56Z

EmrahYigit:

__NOTOC__

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper mit den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für alle Prismen, sowie für den Zylinder "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="430" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!

# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!

# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 19,81cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 24,85cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''25,76 (in cm²)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Netz und Oberfläche der Pyramide

2010-08-06T16:04:46Z

EmrahYigit:

__NOTOC__

== 2.1 Oberfläche der Pyramide ==
 

Die Vereinigung der Grundfläche mit der Mantelfläche bezeichnet man als
die '''Oberfläche der Pyramide'''.

Zur Betrachtung und Berechnung der Oberfläche ist es deshalb zunächst sinnvoll, die ''Grundfläche'', 
die ''Mantelfläche'' als auch das ''Netz der Pyramide'' näher kennenzulernen.
 

=== 2.1.1 Die Grundfläche der Pyramide ===

 

<div class="lueckentext-quiz">

Wie viele andere Körper hat auch die Pyramide eine Grundfläche (Die '''Kugel''' beispielsweise hat keine Grundfläche). 
Die Grundfläche hat immer die Form eines n-Ecks, also sind als Grundfläche Quadrate, Rechtecke, Dreiecke oder auch '''8-Ecke'''
möglich. Kurz: Die Grundfläche der Pyramide besitzt immer mindestens '''drei Ecken'''. 
Als Grundfläche sind '''Kreise''' ausgeschlossen, denn in diesem Fall würde ein Zylinder anstatt einer Pyramide entstehen. 

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]
 

'''Folgende Flächen kommen als Grundfläche in Frage, jedoch haben sich Fehler eingeschlichen. 
Aus welchen Grundflächen kann keine Pyramide entstehen?''' 

[[Bild:Gemrahganz.jpg]]

<div class="multiplechoice-quiz">

Folgende Flächen sind keine Pyramidengrundflächen: (#1) (!#2) (!#3) (!#4) (#5) (!#6)

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.1.2 Die Mantelfläche der Pyramide ===

Die Mantelfläche der Pyramide besteht immer aus Dreiecken. 
 
Um die Dreiecksflächen berechnen zu können, benötigen wir nach der Formel 1/2 * g * h ("Einhalb mal Grundseite mal Höhe") 
neben den Längen der Grundkanten (Im Dreieck entspricht dies der Grundseite) auch jeweils die Dreieckshöhen hs! 
 
Diese sind meist nicht gegeben und auch ohne Weiteres nicht berechenbar. 
Um die Dreieckshöhen hs berechnen zu können, machen wir Gebrauch von sogenannten '''Stützdreiecken'''!
 
 
Im folgenden Applet könnt ihr einige Stützdreiecke ein- und ausblenden. 
 
[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die darauf folgenden Aufgaben und deren Nebenrechnungen benötigst du Stift, Papier und eventuell deinen Taschenrechner; die Ergebnisse trägt du dann weiter unten zur Überprüfung ein.

 
<ggb_applet height="650" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Stutzdreiecke.ggb" /> 

Die Grundfläche einer Pyramide ABCDS ist die Raute ABCD. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Schnittpunkt M der Diagonalen der Grundfläche. 

Es gilt: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 9 cm; [[Bild:Bdem.jpg|30px]] = 7 cm; [[Bild:Msem.jpg|30px]] = 8 cm 
Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet! 

'''Aufgaben''' (Hinweis: Blende die Stützdreiecke oben ein/aus)''':'''

# Fertige eine Skizze der Pyramide an und beschrifte die Eckpunkte, sowie die bekannten Längen
# Berechne alle Innenwinkel und Seitenlängen der Raute (= Grundfläche)
# Berechne die Mantelfläche ( [[/Lösungsansatz/]] )
# Berechne die Oberfläche

 
 
 

Nun gebe deine Ergebnisse unten ein, und überprüfe inwieweit du die Aufgaben richtig gelöst hast: 

<div class="lueckentext-quiz">

Die Seitenlängen der Raute betragen '''15,75 (in cm)'''.

Die Innenwinkel der Raute betragen jeweils '''75,74°''' und '''104,26 (in °, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Höhe [[Bild:Sfem.jpg|33px]] des Dreiecks BCS beträgt'''8,46 (in cm, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die anderen drei Dreieckshöhen sind '''gleich (gleich/unterschiedlich)''' groß, weil alle vier Dreiecke '''kongruent''' sind.

Die Fläche des Dreiecks BCS beträgt '''66,62 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Mantelfläche der Pyramide beträgt somit '''266,48 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Oberfläche setzt sich zusammen aus Grundfläche und '''Mantelfläche''' und beträgt bei dieser Pyramide '''297,98 (in cm²)'''.

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.2 Netz der Pyramide ===
 

Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen 
in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das '''Netz der Pyramide'''.
 

'''Im folgenden GeoGebra-Applet seht ihr eine Pyramide ABCD mit der Spitze S von oben.''' 
'''Verschiebt die vier Regler außerhalb der Pyramide, um die Pyramide ''"aufzuklappen"'',''' 
'''so dass das Netz der Pyramide entsteht.'''

<ggb_applet height="545" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramidennetz.ggb" /> 

<div class="multiplechoice-quiz">

Das blaue Feld entspricht der... (!Mantelfläche) (!Oberfläche) (Grundfläche) (!Grundkante)

Die grünen Felder zusammen ergeben die... (!Oberfläche) (Mantelfläche) (!Seitenkanten) (!Grundfläche)

Die Höhe hs, die am Anfang des Applets zu sehen ist, ist die Höhe der... (Seitenfläche) (!Pyramide) (Seitenflächen)

Die Oberfläche ergibt sich wiefolgt: (blaues Feld + alle grünen Felder) (!alle grünen Felder) (!nur das blaue Feld) (!blaues Feld + ein grünes Feld)

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

==== Weitere Pyramidennetze ====

'''Ein Pyramidennetz kann auch anders aussehen, wenn man nicht nur den Seitenkanten entlang ''aufschneidet'', sondern auch entlang der Grundkanten.'''

Dabei ist zu beachten, dass keine Dreiecksfläche komplett ''abgetrennt'' wird, denn das Netz der Pyramide muss immer eine zusammenhängende Fläche sein, die wieder zu einer vollständigen Pyramide ''gefaltet'' werden kann.

Hier unten siehst du oben links (#1) das bereits bekannte Netz einer geraden und quadratischen Pyramide, das wir durch aufschneiden aller Seitenkanten erhalten.

Auch bei dieser Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen!

'''Falte nun gedanklich die verschiedenen Netze zu einer Pyramide und finde heraus, welches Netz keine Pyramide ergibt!'''

[[Bild:Pyramidennetze.jpg|700px]]

<div class="lueckentext-quiz">

Welches Netz ist deiner Meinung nach falsch? 
Das Pyramidennetz #'''6 (trage die Zahl ohne '#' ein)''' ist falsch. Man erhält durch bloßes Falten keine Pyramide.

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"

2010-08-06T16:04:26Z

EmrahYigit:

__NOTOC__

== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt ==

In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Grundkörpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel.

In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele: 

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Geometrische Körper in unserer Umwelt'''</big> 
Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu.
{|
|-
| [[Bild:Geok1.jpg|90px]] || (Halb-)Kugel
|-
| [[Bild:Geok2.jpg|90px]] || Quader
|-
| [[Bild:Geok3.jpg|90px]] || Kugel
|-
| [[Bild:Geok4.jpg|90px]] || Zylinder
|-
| [[Bild:Geok5.jpg|90px]] || Kegel
|-
| [[Bild:Geok6.jpg|90px]] || Kegelstumpf
|}
</div>

[[Bild:White.jpg|225px]] 

'''Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.''' 
'''Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.''' 
 

[[Bild:pyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]]
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Mulltonne.jpg|250px]]
 
 
 

== 1.2 Definition ==

<div class="lueckentext-quiz">

Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks,
so ensteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S
heißt '''Spitze''' der Pyramide.

Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt '''Höhe'''. Die Seiten der Grundfläche
heißen '''Grundkanten''', die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind
die '''Seitenkanten'''. Die Seitenflächen sind immer '''Dreiecke''', die zusammen die '''Mantelfläche'''
bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
</div>

 
 
 
 
 

== 1.3 Pyramidenarten ==
 

==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ====

Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
 
Man unterscheidet auch zwischen '''geraden''' und '''schiefen''' Pyramiden: 

 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]]
|-
| '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramide'''
|}

 
'''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?'''
 

<div class="schuettel-quiz">

Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:

Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die '''Höhe''' und der Höhenfußpunkt F '''innerhalb''' 

der Pyramide liegen. 

Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn ihre Höhe h '''außerhalb''' der Pyramide liegt. Das bedeutet, dass 

auch der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt.

</div>
[[Bild:White.jpg|150px]]

==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ====

Pyramiden können nach gerade bzw. schief differenziert werden, wie wir soeben erfahren haben.

Ansonsten unterscheiden sich Pyramiden in ihrer Grundfläche oder in ihrer Höhe.

Beispiele:

* Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt)
* Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
* Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen

Benutzer:EmrahYigit/Netz und Oberfläche der Pyramide

2010-08-06T16:02:42Z

EmrahYigit:

== 2.1 Oberfläche der Pyramide ==
 

Die Vereinigung der Grundfläche mit der Mantelfläche bezeichnet man als
die '''Oberfläche der Pyramide'''.

Zur Betrachtung und Berechnung der Oberfläche ist es deshalb zunächst sinnvoll, die ''Grundfläche'', 
die ''Mantelfläche'' als auch das ''Netz der Pyramide'' näher kennenzulernen.
 

=== 2.1.1 Die Grundfläche der Pyramide ===

 

<div class="lueckentext-quiz">

Wie viele andere Körper hat auch die Pyramide eine Grundfläche (Die '''Kugel''' beispielsweise hat keine Grundfläche). 
Die Grundfläche hat immer die Form eines n-Ecks, also sind als Grundfläche Quadrate, Rechtecke, Dreiecke oder auch '''8-Ecke'''
möglich. Kurz: Die Grundfläche der Pyramide besitzt immer mindestens '''drei Ecken'''. 
Als Grundfläche sind '''Kreise''' ausgeschlossen, denn in diesem Fall würde ein Zylinder anstatt einer Pyramide entstehen. 

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]
 

'''Folgende Flächen kommen als Grundfläche in Frage, jedoch haben sich Fehler eingeschlichen. 
Aus welchen Grundflächen kann keine Pyramide entstehen?''' 

[[Bild:Gemrahganz.jpg]]

<div class="multiplechoice-quiz">

Folgende Flächen sind keine Pyramidengrundflächen: (#1) (!#2) (!#3) (!#4) (#5) (!#6)

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.1.2 Die Mantelfläche der Pyramide ===

Die Mantelfläche der Pyramide besteht immer aus Dreiecken. 
 
Um die Dreiecksflächen berechnen zu können, benötigen wir nach der Formel 1/2 * g * h ("Einhalb mal Grundseite mal Höhe") 
neben den Längen der Grundkanten (Im Dreieck entspricht dies der Grundseite) auch jeweils die Dreieckshöhen hs! 
 
Diese sind meist nicht gegeben und auch ohne Weiteres nicht berechenbar. 
Um die Dreieckshöhen hs berechnen zu können, machen wir Gebrauch von sogenannten '''Stützdreiecken'''!
 
 
Im folgenden Applet könnt ihr einige Stützdreiecke ein- und ausblenden. 
 
[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die darauf folgenden Aufgaben und deren Nebenrechnungen benötigst du Stift, Papier und eventuell deinen Taschenrechner; die Ergebnisse trägt du dann weiter unten zur Überprüfung ein.

 
<ggb_applet height="650" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Stutzdreiecke.ggb" /> 

Die Grundfläche einer Pyramide ABCDS ist die Raute ABCD. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Schnittpunkt M der Diagonalen der Grundfläche. 

Es gilt: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 9 cm; [[Bild:Bdem.jpg|30px]] = 7 cm; [[Bild:Msem.jpg|30px]] = 8 cm 
Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet! 

'''Aufgaben''' (Hinweis: Blende die Stützdreiecke oben ein/aus)''':'''

# Fertige eine Skizze der Pyramide an und beschrifte die Eckpunkte, sowie die bekannten Längen
# Berechne alle Innenwinkel und Seitenlängen der Raute (= Grundfläche)
# Berechne die Mantelfläche ( [[/Lösungsansatz/]] )
# Berechne die Oberfläche

 
 
 

Nun gebe deine Ergebnisse unten ein, und überprüfe inwieweit du die Aufgaben richtig gelöst hast: 

<div class="lueckentext-quiz">

Die Seitenlängen der Raute betragen '''15,75 (in cm)'''.

Die Innenwinkel der Raute betragen jeweils '''75,74°''' und '''104,26 (in °, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Höhe [[Bild:Sfem.jpg|33px]] des Dreiecks BCS beträgt'''8,46 (in cm, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die anderen drei Dreieckshöhen sind '''gleich (gleich/unterschiedlich)''' groß, weil alle vier Dreiecke '''kongruent''' sind.

Die Fläche des Dreiecks BCS beträgt '''66,62 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Mantelfläche der Pyramide beträgt somit '''266,48 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Oberfläche setzt sich zusammen aus Grundfläche und '''Mantelfläche''' und beträgt bei dieser Pyramide '''297,98 (in cm²)'''.

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.2 Netz der Pyramide ===
 

Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen 
in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das '''Netz der Pyramide'''.
 

'''Im folgenden GeoGebra-Applet seht ihr eine Pyramide ABCD mit der Spitze S von oben.''' 
'''Verschiebt die vier Regler außerhalb der Pyramide, um die Pyramide ''"aufzuklappen"'',''' 
'''so dass das Netz der Pyramide entsteht.'''

<ggb_applet height="545" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramidennetz.ggb" /> 

<div class="multiplechoice-quiz">

Das blaue Feld entspricht der... (!Mantelfläche) (!Oberfläche) (Grundfläche) (!Grundkante)

Die grünen Felder zusammen ergeben die... (!Oberfläche) (Mantelfläche) (!Seitenkanten) (!Grundfläche)

Die Höhe hs, die am Anfang des Applets zu sehen ist, ist die Höhe der... (Seitenfläche) (!Pyramide) (Seitenflächen)

Die Oberfläche ergibt sich wiefolgt: (blaues Feld + alle grünen Felder) (!alle grünen Felder) (!nur das blaue Feld) (!blaues Feld + ein grünes Feld)

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

==== Weitere Pyramidennetze ====

'''Ein Pyramidennetz kann auch anders aussehen, wenn man nicht nur den Seitenkanten entlang ''aufschneidet'', sondern auch entlang der Grundkanten.'''

Dabei ist zu beachten, dass keine Dreiecksfläche komplett ''abgetrennt'' wird, denn das Netz der Pyramide muss immer eine zusammenhängende Fläche sein, die wieder zu einer vollständigen Pyramide ''gefaltet'' werden kann.

Hier unten siehst du oben links (#1) das bereits bekannte Netz einer geraden und quadratischen Pyramide, das wir durch aufschneiden aller Seitenkanten erhalten.

Auch bei dieser Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen!

'''Falte nun gedanklich die verschiedenen Netze zu einer Pyramide und finde heraus, welches Netz keine Pyramide ergibt!'''

[[Bild:Pyramidennetze.jpg|700px]]

<div class="lueckentext-quiz">

Welches Netz ist deiner Meinung nach falsch? 
Das Pyramidennetz #'''6 (trage die Zahl ohne '#' ein)''' ist falsch. Man erhält durch bloßes Falten keine Pyramide.

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Netz und Oberfläche der Pyramide

2010-08-06T16:01:07Z

EmrahYigit: /* 2.3 Netz der Pyramide */

== 2. Oberfläche der Pyramide ==
 

Die Vereinigung der Grundfläche mit der Mantelfläche bezeichnet man als
die '''Oberfläche der Pyramide'''.

Zur Betrachtung und Berechnung der Oberfläche ist es deshalb zunächst sinnvoll, die ''Grundfläche'', 
die ''Mantelfläche'' als auch das ''Netz der Pyramide'' näher kennenzulernen.
 

=== 2.1 Die Grundfläche der Pyramide ===

 

<div class="lueckentext-quiz">

Wie viele andere Körper hat auch die Pyramide eine Grundfläche (Die '''Kugel''' beispielsweise hat keine Grundfläche). 
Die Grundfläche hat immer die Form eines n-Ecks, also sind als Grundfläche Quadrate, Rechtecke, Dreiecke oder auch '''8-Ecke'''
möglich. Kurz: Die Grundfläche der Pyramide besitzt immer mindestens '''drei Ecken'''. 
Als Grundfläche sind '''Kreise''' ausgeschlossen, denn in diesem Fall würde ein Zylinder anstatt einer Pyramide entstehen. 

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]
 

'''Folgende Flächen kommen als Grundfläche in Frage, jedoch haben sich Fehler eingeschlichen. 
Aus welchen Grundflächen kann keine Pyramide entstehen?''' 

[[Bild:Gemrahganz.jpg]]

<div class="multiplechoice-quiz">

Folgende Flächen sind keine Pyramidengrundflächen: (#1) (!#2) (!#3) (!#4) (#5) (!#6)

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.2 Die Mantelfläche der Pyramide ===

Die Mantelfläche der Pyramide besteht immer aus Dreiecken. 
 
Um die Dreiecksflächen berechnen zu können, benötigen wir nach der Formel 1/2 * g * h ("Einhalb mal Grundseite mal Höhe") 
neben den Längen der Grundkanten (Im Dreieck entspricht dies der Grundseite) auch jeweils die Dreieckshöhen hs! 
 
Diese sind meist nicht gegeben und auch ohne Weiteres nicht berechenbar. 
Um die Dreieckshöhen hs berechnen zu können, machen wir Gebrauch von sogenannten '''Stützdreiecken'''!
 
 
Im folgenden Applet könnt ihr einige Stützdreiecke ein- und ausblenden. 
 
[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die darauf folgenden Aufgaben und deren Nebenrechnungen benötigst du Stift, Papier und eventuell deinen Taschenrechner; die Ergebnisse trägt du dann weiter unten zur Überprüfung ein.

 
<ggb_applet height="650" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Stutzdreiecke.ggb" /> 

Die Grundfläche einer Pyramide ABCDS ist die Raute ABCD. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Schnittpunkt M der Diagonalen der Grundfläche. 

Es gilt: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 9 cm; [[Bild:Bdem.jpg|30px]] = 7 cm; [[Bild:Msem.jpg|30px]] = 8 cm 
Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet! 

'''Aufgaben''' (Hinweis: Blende die Stützdreiecke oben ein/aus)''':'''

# Fertige eine Skizze der Pyramide an und beschrifte die Eckpunkte, sowie die bekannten Längen
# Berechne alle Innenwinkel und Seitenlängen der Raute (= Grundfläche)
# Berechne die Mantelfläche ( [[/Lösungsansatz/]] )
# Berechne die Oberfläche

 
 
 

Nun gebe deine Ergebnisse unten ein, und überprüfe inwieweit du die Aufgaben richtig gelöst hast: 

<div class="lueckentext-quiz">

Die Seitenlängen der Raute betragen '''15,75 (in cm)'''.

Die Innenwinkel der Raute betragen jeweils '''75,74°''' und '''104,26 (in °, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Höhe [[Bild:Sfem.jpg|33px]] des Dreiecks BCS beträgt'''8,46 (in cm, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die anderen drei Dreieckshöhen sind '''gleich (gleich/unterschiedlich)''' groß, weil alle vier Dreiecke '''kongruent''' sind.

Die Fläche des Dreiecks BCS beträgt '''66,62 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Mantelfläche der Pyramide beträgt somit '''266,48 (in cm², auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet)'''.

Die Oberfläche setzt sich zusammen aus Grundfläche und '''Mantelfläche''' und beträgt bei dieser Pyramide '''297,98 (in cm²)'''.

</div>

----

[[Bild:white.jpg|100px]]

=== 2.3 Netz der Pyramide ===
 

Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen 
in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das '''Netz der Pyramide'''.
 

'''Im folgenden GeoGebra-Applet seht ihr eine Pyramide ABCD mit der Spitze S von oben.''' 
'''Verschiebt die vier Regler außerhalb der Pyramide, um die Pyramide ''"aufzuklappen"'',''' 
'''so dass das Netz der Pyramide entsteht.'''

<ggb_applet height="545" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramidennetz.ggb" /> 

<div class="multiplechoice-quiz">

Das blaue Feld entspricht der... (!Mantelfläche) (!Oberfläche) (Grundfläche) (!Grundkante)

Die grünen Felder zusammen ergeben die... (!Oberfläche) (Mantelfläche) (!Seitenkanten) (!Grundfläche)

Die Höhe hs, die am Anfang des Applets zu sehen ist, ist die Höhe der... (Seitenfläche) (!Pyramide) (Seitenflächen)

Die Oberfläche ergibt sich wiefolgt: (blaues Feld + alle grünen Felder) (!alle grünen Felder) (!nur das blaue Feld) (!blaues Feld + ein grünes Feld)

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

==== Weitere Pyramidennetze ====

'''Ein Pyramidennetz kann auch anders aussehen, wenn man nicht nur den Seitenkanten entlang ''aufschneidet'', sondern auch entlang der Grundkanten.'''

Dabei ist zu beachten, dass keine Dreiecksfläche komplett ''abgetrennt'' wird, denn das Netz der Pyramide muss immer eine zusammenhängende Fläche sein, die wieder zu einer vollständigen Pyramide ''gefaltet'' werden kann.

Hier unten siehst du oben links (#1) das bereits bekannte Netz einer geraden und quadratischen Pyramide, das wir durch aufschneiden aller Seitenkanten erhalten.

Auch bei dieser Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen!

'''Falte nun gedanklich die verschiedenen Netze zu einer Pyramide und finde heraus, welches Netz keine Pyramide ergibt!'''

[[Bild:Pyramidennetze.jpg|700px]]

<div class="lueckentext-quiz">

Welches Netz ist deiner Meinung nach falsch? 
Das Pyramidennetz #'''6 (trage die Zahl ohne '#' ein)''' ist falsch. Man erhält durch bloßes Falten keine Pyramide.

</div>

[[Bild:white.jpg|100px]]

Datei:Pyramidennetz.ggb

2010-08-06T15:59:13Z

EmrahYigit: hat eine neue Version von „Bild:Pyramidennetz.ggb“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Datei:Pyramidennetz.ggb

2010-08-06T15:58:35Z

EmrahYigit: hat eine neue Version von „Bild:Pyramidennetz.ggb“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-07-26T12:22:47Z

EmrahYigit: /* 4.2 Die Volumenformel der Pyramide */

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper mit den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für alle Prismen, sowie für den Zylinder "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]] 

[[Bild:White.jpg|200px]] 

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="430" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!

# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!

# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 19,81cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 24,85cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''25,76 (in cm²)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-07-26T12:21:53Z

EmrahYigit: /* 4.2 Die Volumenformel der Pyramide */

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper mit den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für alle Prismen, sowie für den Zylinder "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]]
[[Bild:White.jpg]]
[[Bild:White.jpg|200px]]
[[Bild:White.jpg|300px]]

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="430" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!

# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!

# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 19,81cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 24,85cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''25,76 (in cm²)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

Benutzer:EmrahYigit/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"

2010-07-26T12:18:58Z

EmrahYigit:

== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt ==

In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Grundkörpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel.

In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele: 

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Geometrische Körper in unserer Umwelt'''</big> 
Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu.
{|
|-
| [[Bild:Geok1.jpg|90px]] || (Halb-)Kugel
|-
| [[Bild:Geok2.jpg|90px]] || Quader
|-
| [[Bild:Geok3.jpg|90px]] || Kugel
|-
| [[Bild:Geok4.jpg|90px]] || Zylinder
|-
| [[Bild:Geok5.jpg|90px]] || Kegel
|-
| [[Bild:Geok6.jpg|90px]] || Kegelstumpf
|}
</div>

[[Bild:White.jpg|225px]] 

'''Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.''' 
'''Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.''' 
 

[[Bild:pyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]]
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Mulltonne.jpg|250px]]
 
 
 

== 1.2 Definition ==

<div class="lueckentext-quiz">

Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks,
so ensteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S
heißt '''Spitze''' der Pyramide.

Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt '''Höhe'''. Die Seiten der Grundfläche
heißen '''Grundkanten''', die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind
die '''Seitenkanten'''. Die Seitenflächen sind immer '''Dreiecke''', die zusammen die '''Mantelfläche'''
bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
</div>

 
 
 
 
 

== 1.3 Pyramidenarten ==
 

==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ====

Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
 
Man unterscheidet auch zwischen '''geraden''' und '''schiefen''' Pyramiden: 

 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]]
|-
| '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramide'''
|}

 
'''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?'''
 

<div class="schuettel-quiz">

Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:

Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die '''Höhe''' und der Höhenfußpunkt F '''innerhalb''' 

der Pyramide liegen. 

Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn ihre Höhe h '''außerhalb''' der Pyramide liegt. Das bedeutet, dass 

auch der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt.

</div>
[[Bild:White.jpg|150px]]

==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ====

Pyramiden können nach gerade bzw. schief differenziert werden, wie wir soeben erfahren haben.

Ansonsten unterscheiden sich Pyramiden in ihrer Grundfläche oder in ihrer Höhe.

Beispiele:

* Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt)
* Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
* Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen

Benutzer:EmrahYigit/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"

2010-07-26T12:13:49Z

EmrahYigit: /* 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt */

== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt ==

In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Grundkörpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel.

In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele: 

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Geometrische Körper in unserer Umwelt'''</big> 
Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu.
{|
|-
| [[Bild:Geok1.jpg|250px]] || (Halb-)Kugel
|-
| [[Bild:Geok2.jpg|250px]] || Quader
|-
| [[Bild:Geok3.jpg|250px]] || Kugel
|-
| [[Bild:Geok4.jpg|250px]] || Zylinder
|-
| [[Bild:Geok5.jpg|250px]] || Kegel
|-
| [[Bild:Geok6.jpg|250px]] || Kegelstumpf
|}
</div>

Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - 
Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen. 
Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen. 
 

[[Bild:White.jpg|300px]]

[[Bild:pyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]]
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Mulltonne.jpg|250px]]
 
 

== 1.2 Definition ==

<div class="lueckentext-quiz">

Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks,
so ensteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S
heißt '''Spitze''' der Pyramide.

Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt '''Höhe'''. Die Seiten der Grundfläche
heißen '''Grundkanten''', die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind
die '''Seitenkanten'''. Die Seitenflächen sind immer '''Dreiecke''', die zusammen die '''Mantelfläche'''
bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
</div>

 
 
 
 
 

== 1.3 Pyramidenarten ==
 

==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ====

Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
 
Man unterscheidet auch zwischen '''geraden''' und '''schiefen''' Pyramiden: 

 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]]
|-
| '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramide'''
|}

 
'''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?'''
 

<div class="schuettel-quiz">

Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:

Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die '''Höhe''' und der Höhenfußpunkt F '''innerhalb''' 

der Pyramide liegen. 

Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn ihre Höhe h '''außerhalb''' der Pyramide liegt. Das bedeutet, dass 

auch der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt.

</div>
[[Bild:White.jpg|150px]]

==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ====

Pyramiden können nach gerade bzw. schief differenziert werden, wie wir soeben erfahren haben.

Ansonsten unterscheiden sich Pyramiden in ihrer Grundfläche oder in ihrer Höhe.

Beispiele:

* Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt)
* Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
* Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen

Datei:Geok6.jpg

2010-07-26T12:13:44Z

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Benutzer:EmrahYigit/Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide"

2010-07-26T11:22:07Z

EmrahYigit: /* 1.3 Pyramidenarten */

== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt ==

Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - 
Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen. 
Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen. 
 

[[Bild:pyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]]
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]]
[[Bild:Mulltonne.jpg|250px]]
 
 

== 1.2 Definition ==

<div class="lueckentext-quiz">

Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks,
so ensteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S
heißt '''Spitze''' der Pyramide.

Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt '''Höhe'''. Die Seiten der Grundfläche
heißen '''Grundkanten''', die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind
die '''Seitenkanten'''. Die Seitenflächen sind immer '''Dreiecke''', die zusammen die '''Mantelfläche'''
bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
</div>

 
 
 
 
 

== 1.3 Pyramidenarten ==
 

==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ====

Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
 
Man unterscheidet auch zwischen '''geraden''' und '''schiefen''' Pyramiden: 

 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]]
|-
| '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramide'''
|}

 
'''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?'''
 

<div class="schuettel-quiz">

Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:

Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die '''Höhe''' und der Höhenfußpunkt F '''innerhalb''' 

der Pyramide liegen. 

Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn ihre Höhe h '''außerhalb''' der Pyramide liegt. Das bedeutet, dass 

auch der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt.

</div>
[[Bild:White.jpg|150px]]

==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ====

Pyramiden können nach gerade bzw. schief differenziert werden, wie wir soeben erfahren haben.

Ansonsten unterscheiden sich Pyramiden in ihrer Grundfläche oder in ihrer Höhe.

Beispiele:

* Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt)
* Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
* Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen

Benutzer:EmrahYigit/Volumen der Pyramide

2010-07-24T21:26:09Z

EmrahYigit: /* 4.3 Übungen */

== 4. Volumen der Pyramide ==

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.

== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper mit den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist: 

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1. 
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist. 
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen. 
 

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn... 
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen. 
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind. 
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet. 
 

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an: 
 

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|-
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}

 

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor. 
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern. 
Hierbei soll auch verdeutlicht werden: 

* Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''

<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /> 

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==

'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für alle Prismen, sowie für den Zylinder "Grundfläche mal Höhe" also G x h.''' 

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.''' 
 

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2: 
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}_________________________{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}} 
 

 

'''=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!'''

'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]:'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

 
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /> 
 
 
 
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)''' 

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"''' (1/3 * G * h)

 

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]]
[[Bild:White.jpg]]
[[Bild:White.jpg]]
[[Bild:White.jpg]]

[[Bild:White.jpg]]

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen!''

'''Eine Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.''' 
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' 
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?''' 

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben:'''
 
<ggb_applet height="430" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /> 

 
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben: 
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
 

# Berechne die Grundfläche G!

# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!

# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
 

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 19,81cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 24,85cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung: 
Die Grundfläche G beträgt '''25,76 (in cm²)''', die Mantelfläche M dagegen '''302,25 (in cm²)'''. 
Die Oberfläche O ist somit '''328,01 (in cm²) groß.''' 
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''37,13 (in °)'''.

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]