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Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6

2010-03-18T17:00:49Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=6. Übung: Lösungsmöglichkeiten=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

[[Bild:Motivation_Hatos_25.PNG]]

'''Erinnerst du dich noch?'''

Ein lineares Gleichungssystem kann '''eine, keine''' oder '''unendlich viele Lösungen''' haben!

Vervollständige die jeweiligen Gleichungssysteme so, dass Sie eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben!

'''Wenn du dir nicht mehr sicher bist, oder deine Lösung überprüfen möchtest, dann benutze die beiden Geraden im Koordinatensystem!'''

{|
|-
|<ggb_applet height="500" width="700" showResetIcon="true" filename="Lernpfad_3_Hatos_3.ggb" />
||

'''Ordne die Zahlen richtig zu!'''

<div class="lueckentext-quiz">

Dieses lineare Gleichungssystem hat eine Lösung!(Schnittpunkt)
<center>
{|
|-
|y = '''-2''' x + 4    || und||    y = 1 x + 1
|}
</center>
Dieses lineare Gleichungssystem hat keine Lösung!(parallel)
<center>
{|
|-
|y = '''2''' x + 5    || und||    y = 2x + '''1'''
|}
</center>
Dieses lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen! (identisch)
<center>
{|
|-
|y = 3x + 4    ||und||    y = '''3''' x + '''4'''
|}
</center>

</div>
|}
 
</div>

'''<big>→[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|Hier gehts weiter]]</big>'''

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Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6

2010-03-18T16:58:24Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=6. Übung: Lösungsmöglichkeiten=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

[[Bild:Motivation_Hatos_25.PNG]]

'''Erinnerst du dich noch?'''

Ein lineares Gleichungssystem kann '''eine, keine''' oder '''unendlich viele Lösungen''' haben!

Vervollständige die jeweiligen Gleichungssysteme so, dass Sie eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben!

'''Wenn du dir nicht mehr sicher bist, oder deine Lösung überprüfen möchtest, dann benutze die beiden Geraden im Koordinatensystem!'''

{|
|-
|<ggb_applet height="500" width="700" showResetIcon="true" filename="Lernpfad_3_Hatos_3.ggb" />
||

'''Ordne die Zahlen richtig zu!'''

<div class="lueckentext-quiz">

Dieses lineare Gleichungssystem hat eine Lösung!
<center>
{|
|-
|y = '''-2''' x + 4    || und||    y = 1 x + 1
|}
</center>
Dieses lineare Gleichungssystem hat keine Lösung!
<center>
{|
|-
|y = '''2''' x + 5    || und||    y = 2x + '''1'''
|}
</center>
Dieses lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen!
<center>
{|
|-
|y = 3x + 4    ||und||    y = '''3''' x + '''4'''
|}
</center>

</div>
|}
 
</div>

'''<big>→[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|Hier gehts weiter]]</big>'''

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Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5

2010-03-18T16:46:08Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Vielleicht ist dir bei deinen Übungen aufgefallen, bei welchem linearen Gleichungssystem du am Besten welches rechnerische Verfahren anwendest.'''

'''Ordne nun dem jeweiligen Verfahren das am besten geeigneteste Gleichungssystem und die Erklärung dazu zu!'''

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>

{|
|-
| Gleichsetzungsverfahren|| In beiden Gleichungen steht auf einer Seite dieselbe Variable. || y = 2x + 1 und y = 3x - 2
|-
| Einsetzungsverfahren || Eine Gleichung ist nach einer Variablen aufgelöst, die andere nicht. || y = 2x und 2y - 3x = 4
|-
| Additionsverfahren || In beiden Gleichungen stimmen die Zahlen vor einer Variablen bis auf das Vorzeichen überein. || y + 2x = 3 und 2y - 2x = 75
|}
</div>

[[Bild:Motivation_Hatos_24.PNG|center]]

=Aufgabe 2=

Die ganze Zeit hast du das Zahlenpaar, das das lineare Gleichungssystem löst beziehungsweise die Lösungsmenge berechnet.

'''Versuche nun umgekehrt herauszufinden, ob das angegebene Zahlenpaar eine Lösung des linearen Gleichungssystem ist!'''

<popup name="Hilfe">Setzte den Punkt in beide Gleichungen ein und schaue, ob er beide Gleichungen erfüllt! <br> Mache also die Probe! </popup>

<div class="multiplechoice-quiz">

a) 3x - 7y = -7    und    -2x + 3y = -2

Kreuze an, welches Zahlenpaar dieses Gleichungssystem löst!

(![ 14 | 7 ]) (![ 3 | 13 ]) (![ -3 | 5 ]) ([ 7 | 4 ])

b) 18x + 11y = 1 und -4x + 3y = 27

Kreuze an, welches Zahlenpaar dieses Gleichungssystem löst!

(![ 14 | 7 ]) (![ 3 | 13 ]) ([ -3 | 5 ]) (![ 7 | 4 ])

</div>

 

</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|Hier gehts weiter]]</big>'''

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Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2

2010-03-18T16:44:28Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=2. Übungsaufgabe 1=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''Du möchtest dir einen neuen Handyvertrag zum SMS schreiben zulegen.''' <br>
'''Schau dir die beiden Werbeplakate für den Tarif Spider und den Tarif Schlauberger an und finde heraus, welcher Vertrag für dich geeignet wäre und bei welcher Anzahl an SMS du bei beiden gleich viel bezahlst!'''

<center>
{|
|-
| [[Bild:Hatos_Handy_2.PNG|350px]]       ||[[Bild:Hatos_Handy_1.PNG|350px]]
|-
| Bild 1 || Bild 2
|}
</center>

'''Du kannst diese Aufgabe als lineares Gleichungssystem lösen. Stelle zuerst zwei Gleichungen auf.'''

''Wir legen als Variablen fest:''

x: Anzahl an SMS<br>
y: Gesamtkosten des Vertrags.

<div class="lueckentext-quiz">

Tarif Spider: y = '''0,15x''' + '''4'''

Tarif Schlauberger: y = '''0,05x''' + '''8'''

</div>

'''Stelle nun die beiden Tarife grafisch dar. Es ist egal, welche Gerade du für welchen Tarif nimmst!'''

<ggb_applet height="500" width="802" showResetIcon="true" filename="Lernpfad_3_Hatos_2.ggb" />

{|
|-
|<div class="lueckentext-quiz">

Bei welcher Anzahl an SMS bezahlst du bei den beiden Tarife gleich viel?

'''40 (Zahl eingeben)'''

Wieviel kostet dann diese Anzahl an SMS?

'''10 (Zahl eingeben)''' €

Also lautet das Zahlenpaar, das dieses lineare Gleichungssystem löst

( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''')

</div>
|| [[Bild:Motivation_Hatos_22.PNG|300px]]
|}

'''<span style="color:#EE6363 ">Sehr gut. Überlege dir nun, wieviele SMS du durchschnitlich im Monat schreibst und welcher Vertrag somit für dich der Günstigere wäre!</span>'''

'''Natürlich können wir diese Aufgabe auch rechnerisch lösen.'''

'''Du hast ja die beiden Gleichungen.'''

'''( I ) y = 0,15x + 4 und ( II ) y = 0,05x + 8'''

'''Löse nun dieses Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren!'''

<center>

<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
| '''0,15x + 4''' || = || '''0,05x + 8''' || / - 0,05x
|-
| || || 
|-
| '''0,10x''' + 4 || = || 8 || / '''- 4'''
|-
| || || 
|-
| 0,10x || = || '''4'''|| / : 0,10
|-
| || || 
|-
| x ||=|| '''40'''
|}

</div>

</center>

<div class="lueckentext-quiz">

Setze nun x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein, um den Wert von y zu bekommen.

Wir nehmen hier die Gleichung ( II ) y = 0,05x + 8

<center>
{|
|-
| y ||=|| 0,05x + 8
|-
| || || 
|-
|y||=||0,05 * '''40''' + 8
|-
| || || 
|-
|y ||=|| '''2''' + 8
|-
| || || 
|-
| y ||=|| '''10 (Zahl eingeben)'''
|}

</center>
</div>

'''Nun musst du noch die Probe machen, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''

<div class="lueckentext-quiz">

Wenn die Probe stimmt lautet die Lösungsmenge deines linearen Gleichungssystems:

L = { ( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''') }

Also kosten '''40''' SMS bei beiden Verträgen gleich viel, nämlich '''10 €'''.

</div>

<div class="multiplechoice-quiz">

'''Was meinst du, wieso ist es von Vorteil hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden?'''

(Weil in beiden Gleichungen auf einer Seite dieselbe Variable steht.)
(!Einfach so.)
(!Weil die Vorzeichen unterschiedlich sind.)

</div>

 
</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|Hier gehts zurück]]

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3

2010-03-18T16:43:19Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=3. Übungsaufgabe 2=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

<span style="color:#0000EE">'''Zahlenrätsel:'''<br>
Die Summe des doppelten einer Zahl und einer anderen Zahl beträgt 49. <br>
Die Differenz der beiden Zahlen ist 20. <br>
Wie heißen die beiden Zahlen?<br></span>

'''Zuerst musst du zwei Gleichungen aufstellen!'''

'''Wir nehmen hier als Variablen:'''<br>

x: 1. Zahl<br>
y: 2. Zahl

<div class="lueckentext-quiz">

Stelle zuerst eine Gleichung für die Summe auf!

( I ) '''2x + y''' = '''49'''

Nun brauchen wir noch eine Gleichung für die Differenz!

( II ) x '''- y''' = '''20'''

</div>

Diese beiden Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, dass wir nun mit dem Additionsverfahren lösen wollen.

Nun addierst du die beiden Gleichungen!

<center>

<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
|('''2x + y''') + (x - y)|| =|| 49 + '''20'''
|-
| || || 
|-
| 2x + '''y''' + x - y ||=|| '''69'''
|-
| || || 
|-
| 2x + '''x'''|| = ||69
|-
| || || 
|-
|'''3x'''|| =|| 69 ||/ : 3
|-
| || || 
|-
|x ||= ||'''23'''
|}

Also ist die erste Zahl '''23'''

</div>
</center>
<div class="lueckentext-quiz">

Setze nun wieder x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein, um y (2. Zahl) zu berechnen.

Trage hier dein Ergebnis ein y = '''3 (Zahl eingeben)'''

</div>

'''Natürlich musst du noch die Probe machen, indem du dein Zahlenpaar in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt!'''

<div class="lueckentext-quiz">

Wenn du die Probe gemacht hast, kannst du einen Antwortsatz formulieren.

Antwort: Die 1. Zahl lautet '''23''' und die 2. Zahl ist '''3'''.

</div>

<div class="multiplechoice-quiz">

Was meinst du, wieso ist es von Vorteil hier das Additionsverfahren anzuwenden?

(!Weil die beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst sind.)

(Weil in beiden Gleichungen die Zahlen von einer Variablen bis auf das Vorzeichen übereinstimmen.)

(!Weil eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist.)

</div>

 

</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|Hier gehts zurück!]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5

2010-03-18T14:12:33Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=5. Übungen zum Einsetzungsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!'''

'''( I )  x - 3y = 6     und    ( II )  y + 7 = 2x'''                   [[Bild:Motivation_Hatos_16.PNG|250px]]

'''<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf!   Wir nehmen hier die Gleichung ( II )</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

( II )   y + 7 = 2x

:: y = '''2x''' '''-''' '''7'''

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten, also 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ).</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3 * ( '''2x - 7''' )|| = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| x - 6x + '''21 (Zahl eingeben)''' || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''-5x''' + 21 || = || 6 ||/ - 21
|-
|  ||  || 
|-
| -5x || = || '''- 15''' ||/ : (- 5)
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''3 (Zahl eingeben)'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.  Nimm hier Gleichung ( I ).</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3y || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''3''' - 3y || = || 6 ||/ - 3
|-
|  ||  || 
|-
| -3y || = || '''3''' ||/ : ( - 3 )
|-
|  ||  || 
|-
| y || = || '''- 1'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''

'''Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines linearen Gleichungssystems an.'''

<div class="lueckentext-quiz">

L = { ( '''3 ( x - Wert )''' / -1 }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_17.PNG|center]]

<br>
<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=

'''Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.'''

<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| ( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 || 5x + 3 * (2x + 10) = -3
|-
| ( I ) 4x + 19y = 18 und ( II ) x = -3y + 11 || 4 * (-3y + 11) + 19y = 18
|-
| ( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 || 15 * (5y + 7) + 13y = 17
|}
</div>
 
</div>

'''Lies dir den Merkekasten genau durch!'''

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Einsetzungsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:

(I) y + 3x = 2 <br>
und <br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) y = -3x + 2<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) in (II)

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2<br>
- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x<br>
- 10x + 4 = - 2 | - 4<br>
: - 10x = - 6 | : (-10)<br>
:: x = 0,6

x in ( I ) y = - 3 * 0,6 + 2<br>
:: y = - 1,8 + 2<br>
:: y= 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>

(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = { ( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts weiter!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3

2010-03-18T14:11:09Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst.'''
'''Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!'''

'''( I )   y + 3x = 4     und     ( II )   3y = 6x + 3'''              [[Bild:Motivation_Hatos_12.PNG|300px]]

'''<div style="color:#CD661D ">Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst.'''<br>
'''1. Schritt: Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

( I )     y + 3x = 4 | - 3x<br>
::y = '''-3x''' + 4

( II )    3y = 6x + 3 | : 3<br>
::y = '''2x''' + '''1'''

<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen.</div>

:: '''-3x + 4''' = '''2x + 1'''

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst </div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| -3x + 4 || = || 2x + 1 || / - 2x
|-
|  ||  || 
|-
| ''' -5x''' + 4|| = || 1|| / - 4
|-
|  ||  || 
|-
|-5x|| = || '''-3''' || / : ( - 5 )
|-
|  ||  || 
|-
|x || = || '''3/5'''|| 
|-
| ||  || 
|-
|x || = || 0,6|| 
|}
</center>

</div>

{|
|-
|'''<div style="color:#CD661D ">Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des linearen Gleichungssystems noch der y - Wert. <br> 3. Schritt: Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen. <br>Wir nehmen hier Gleichung ( I ) </div>''' || [[Bild:Motivation_Hatos_13.PNG|300px]]
|}
<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| y || = || -3x + 4
|-
|  ||  || 
|-
| y || = || -3 * '''0,6''' + 4
|-
|  ||  || 
|-
| y || = || '''- 1,8''' + 4
|-
|  ||  || 
|-
| y || = || '''2,2'''
|}
</center>

</div>
'''<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 0,6 | 2,2 ) auch die Lösung des linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

Zuerst Gleichung ( I ):

<center>
{|
|-
| y + 3x || = || 4
|-
|  ||  || 
|-
| '''2,2''' + 3 * '''0,6''' || = || 4
|-
|  ||  || 
|-
| 2,2 + '''1,8''' || = || 4
|-
|  ||  || 
|-
| '''4''' || = || 4
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Wir nehmen nun noch die Gleichung ( II )

<center>
{|
|-
| 3y || = || 6x + 3
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''2,2''' || = ||6 * '''0,6''' + 3
|-
|  ||  || 
|-
| '''6,6''' || = || '''3,6''' + 3
|-
|  ||  || 
|-
| 6,6 || = || '''6,6'''
|}
</center>

Somit lautet die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems L = { ( '''0,6''' | '''2,2''' ) }

</div>
 
</div>
<br>
<br>

[[Bild:Motivation_Hatos_14.PNG]]

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=

<div class="zuordnungs-quiz">
Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Gleichsetzungsverfahren angewandt. Ordne die jeweiligen lLinearen Gleichungssysteme und die dazugehörigen Gleichungen nach Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens zusammen.
{|
|-
| y = 3x    und    y = 2x + 1 || 3x = 2x + 1
|-
| 2x = 3y + 5    und    2x = y + 1 || 3y + 5 = y + 1
|-
| a = 2b + 3    und    a = 5b - 1 || 2b + 3 = 5b - 1
|-
| 3y = x - 4    und    3y = 2x - 7 || x - 4 = 2x - 7
|}
</div>
 

</div>

'''Lies dir den Merkekasten genau durch!'''

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Gleichsetzungsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
'''1.Schritt:''' Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen.
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2.Schritt:''' Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3.Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4.Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:

(I) y + 3x = 2 <br>
und<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) y = -3x + 2<br>
(II) y = 2x – 1

(I) = (II)

-3x + 2 = 2x – 1| - 2x<br>
- 5x + 2 = - 1 | - 2<br>
- 5x = - 3 | : (-5)<br>
: x = 0,6

x in (II) y = 2 * 0,6 – 1<br>
:: y = 1,2 – 1<br>
:: y = 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = { ( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts weiter!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|Hier gehts zurück!]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5

2010-03-18T14:07:52Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=5. Übungen zum Einsetzungsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!'''

'''( I )  x - 3y = 6     und    ( II )  y + 7 = 2x'''                   [[Bild:Motivation_Hatos_16.PNG|250px]]

'''<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf!   Wir nehmen hier die Gleichung ( II )</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

( II )   y + 7 = 2x

:: y = '''2x''' '''-''' '''7'''

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten, also 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ).</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3 * ( '''2x - 7''' )|| = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| x - 6x + '''21 (Zahl eingeben)''' || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''-5x''' + 21 || = || 6 ||/ - 21
|-
|  ||  || 
|-
| -5x || = || '''- 15''' ||/ : (- 5)
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''3 (Zahl eingeben)'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.  Nimm hier Gleichung ( I ).</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3y || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''3''' - 3y || = || 6 ||/ - 3
|-
|  ||  || 
|-
| -3y || = || '''3''' ||/ : ( - 3 )
|-
|  ||  || 
|-
| y || = || '''- 1'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''

'''Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines linearen Gleichungssystems an.'''

<div class="lueckentext-quiz">

L = { ( '''3 ( x - Wert )''' / -1 }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_17.PNG|center]]

<br>
<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=

'''Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.'''

<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| ( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 || 5x + 3 * (2x + 10) = -3
|-
| ( I ) 4x + 19y = 18 und ( II ) x = -3y + 11 || 4 * (-3y + 11) + 19y = 18
|-
| ( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 || 15 * (5y + 7) + 13y = 17
|}
</div>
 
</div>

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Einsetzungsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:

(I) y + 3x = 2 <br>
und <br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) y = -3x + 2<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) in (II)

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2<br>
- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x<br>
- 10x + 4 = - 2 | - 4<br>
: - 10x = - 6 | : (-10)<br>
:: x = 0,6

x in ( I ) y = - 3 * 0,6 + 2<br>
:: y = - 1,8 + 2<br>
:: y= 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>

(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = { ( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts weiter!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6

2010-03-18T14:06:26Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=6. Additionsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''Postbote Meier hat es nicht leicht. Aufgrund einer Postreform gibt es zwei neue Päckchen. Vielleicht findest du ja heraus, wie schwer sie sind.'''

<center>
{|
|-
| [[Bild:Sarah_Hatos_W7.JPG|400px]]       ||[[Bild:Sarah_Hatos_W8.JPG|400px]]
|-
| Bild 1 || Bild 2
|}
</center>
<br>

<center>
{|
| [[Bild:Sarah_Hatos_W9.JPG|400px]]
|-
|Bild 3
|}

</center>
'''Stelle nun für Bild 1 und Bild 2 eine Gleichung auf!'''

<div class="lueckentext-quiz">

Bild 1:   3 * '''[[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]]''' + 3 kg = '''2''' * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 3 kg

Bild 2:   2 * '''[[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]]''' + 1 kg = 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + '''2 kg'''

</div>

'''Wie lautet die Gleichung für die Waage in Bild 3?'''

<div class="lueckentext-quiz">

Bild 3:   '''3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]]''' + 3 kg + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + '''1 kg''' = '''2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]]''' + '''3 kg''' + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 kg

</div>

'''Wie ist die Gleichung oder die Waage in Bild 3 aus Bild 1 und Bild 2 entstanden?'''

<div class="multiplechoice-quiz">

(!Durch Multiplikation von Gleichung 1 und 2.)
(Durch Addition von Gleichung 1 und 2.)
(!Durch Division von Gleichung 1 und 2.)

</div>

'''Löse nun die Gleichung von Bild 3 nach [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] auf!'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| 3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 3 kg + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = ||
2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 3 kg + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 kg
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + '''4 kg''' || = || 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + '''5 kg'''|| / - 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]]
|-
|  ||  || 
|-
|3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 4 kg || = || 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 5 kg|| / - 4 kg
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] || = || 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + '''1 kg''' || / - 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|35px]]
|-
| ||  || 
|-
| [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] || = || '''1 kg'''
|}
</center>

</div>

'''Was ist hier mit der Variablen [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] passiert?'''

<div class="multiplechoice-quiz">

(Die Variable [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] ist bei der Addition der beiden Gleichungen herausgefallen, weil ihre Koeffizienten gleich waren.)

(!Die Variable [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] wurde einfach weggelassen.)

(!Die Variable [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] wurde übersehen.)

(!Die Variable [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] ist bei der Addition der beiden Gleichungen herausgefallen, weil ihre Koeffizienten verschieden waren.)

</div>

'''Natürlich wollen wir auch noch wissen, wie schwer das andere Päckchen ist.'''<br>
'''Setze hierfür das Gewicht von [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] in eine deiner beiden Anfangsgleichungen von Bild 1 oder 2 ein.'''<br> '''Wir nehmen hier die Gleichung von Bild 2.'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = || 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 kg
|-
|  ||  || 
|-
| 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = || 2 * '''1 (Zahl eingeben)''' kg + 2 kg
|-
|  ||  || 
|-
|2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = || '''2 (Zahl eingeben)''' kg + 2 kg
|-
|  ||  || 
|-
| 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = || '''4 (Zahl eingeben)''' kg
|-
| ||  || 
|-
| 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] || = || '''3 (Zahl eingeben)''' kg || / : 2
|-
| ||  || 
|-
| [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] || = || '''1,5''' kg
|}
</center>

</div>

Um sicher zu gehen, dass deine beiden Werte stimmen, setze [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] = 1 kg und [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] = 1,5 kg in deine beiden Anfangsgleichungen von Bild 1 und 2 ein. <br>
Damit die Waage im Gleichgewicht bleibt muss natürlich auf beiden Seiten dass gleiche Gewicht stehen.

</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7| Hier gehts weiter!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5| Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7

2010-03-18T14:03:13Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=7. Übungen zum Additionsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.'''

'''( I )  3x + 7y = - 30    und    ( II )  - 5x - 7y = 22'''                  [[Bild:Motivation_Hatos_19.PNG|250px]]

<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Dieses lineare Gleichungssystem kannst du sofort mit dem Additionsverfahren lösen.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Addiere nun die Gleichung ( I ) und ( II )</div>

( I ) + ( II ) :

( '''3x + 7y''' ) + (''' -5x - 7y''' ) = '''-30''' + '''22'''

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">Nun kannst du die Gleichung wieder nach x auflösen.</div>

<center>
{|
|-
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) || = || -30 + 22
|-
|  ||  || 
|-
| '''3x - 5x''' || = || '''-8'''
|-
|  ||  || 
|-
| '''-2x''' || = || -8 || / : ( -2 )
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''4'''
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Nun musst du den x - Wert wieder in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen, um y rauszufinden.</div>

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4''' + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12''' + 7y || = || - 30 || / - 12
|-
|  ||  || 
|-
| 7y || = || '''- 42''' || / : 7
|-
|  ||  || 
|-
|y || = ||'''-6'''
|}
</center>

</div>

<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Mache nun die Probe, indem du den x - und y - Wert in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( I ) :

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4 (x - Wert)''' + 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12 (ausmultipliziert) - 42 || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| - 30 || = || - 30
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( II ):

<center>
{|
|-
| -5x - 7y || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -5 * '''4 (x - Wert)''' - 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -20 + '''42 (ausmultipliziert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| 22 || = || 22
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Somit lautet die Lösung des linearen Gleichungssystems L = { ( '''4 (x - Wert)'''| -6 ) }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_20.PNG|center]]

<br>

'''<big>Lies dir den folgenden Kasten sorgfältig durch!</big>'''

<div style="border: 2px solid #FFA54F ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.

Beispiel: '''( I )  2x + 3y = 134  und  ( II )  3x + 5y = 221'''

Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2

( I )  2x + 3y = 134 | * 3
( II )  3x + 5y = 221 | * (-2)

dies ergibt ( I )  6x + 9y = 402
( II ) -6x - 10y = -442

Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!<br>
Du siehst also, dass entweder vor x oder vor y die gleiche Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen muss!!
</div>

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
{|
|-
| ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) 2x + 6y = 6 || ( II ) * (-2) || ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) -4x - 12y = -12
|-
| ( I ) 11x - 5y = -3    und    ( II ) -9x + 4y = 2 || ( I ) * 4 und ( II ) * 5 || ( I ) 44x - 20y = -12    und    ( II ) -45 x + 20y = 10
|-
| ( I ) -5x + 6y = 41    und    ( II ) 3x - 8y = -73 || ( I ) * 4 und ( II ) * 3 || ( I ) -20x + 24y = 164    und    ( II ) 9x - 24y = -219
|}
</div>

 

</div>

'''Lies dir den Merkekasten genau durch.'''

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Additionsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Addiere die beiden Gleichungen und berechne den Wert der einen Variablen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:                                    

(I) y + 3x = 2 <br>
und<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) * (-2) : - 2y - 6x = -4<br>

(III)    2y = 4x – 2

(I) + (II):<br>

-2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x <br>
::- 6x = 4x - 6 | - 4x<br>
::- 10x = - 6 | : (-10)<br>
::: x = 0,6

x in (II): <br>
:: 2y = 4 * 0,6 – 2<br>
:: 2y = 2,4 – 2<br>
:: 2y = 0,4 | : 2<br>
:: y = 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = {( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|Auf zur letzten Aufgabe!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7

2010-03-18T13:57:44Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=7. Übungen zum Additionsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.'''

'''( I )  3x + 7y = - 30    und    ( II )  - 5x - 7y = 22'''                  [[Bild:Motivation_Hatos_19.PNG|250px]]

<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Dieses lineare Gleichungssystem kannst du sofort mit dem Additionsverfahren lösen.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Addiere nun die Gleichung ( I ) und ( II )</div>

( I ) + ( II ) :

( '''3x + 7y''' ) + (''' -5x - 7y''' ) = '''-30''' + '''22'''

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">Nun kannst du die Gleichung wieder nach x auflösen.</div>

<center>
{|
|-
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) || = || -30 + 22
|-
|  ||  || 
|-
| '''3x - 5x''' || = || '''-8'''
|-
|  ||  || 
|-
| '''-2x''' || = || -8 || / : ( -2 )
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''4'''
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Nun musst du den x - Wert wieder in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen, um y rauszufinden.</div>

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4''' + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12''' + 7y || = || - 30 || / - 12
|-
|  ||  || 
|-
| 7y || = || '''- 42''' || / : 7
|-
|  ||  || 
|-
|y || = ||'''-6'''
|}
</center>

</div>

<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Mache nun die Probe, indem du den x - und y - Wert in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( I ) :

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4 (x - Wert)''' + 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12 (ausmultipliziert) - 42 || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| - 30 || = || - 30
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( II ):

<center>
{|
|-
| -5x - 7y || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -5 * '''4 (x - Wert)''' - 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -20 + '''42 (ausmultipliziert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| 22 || = || 22
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Somit lautet die Lösung des linearen Gleichungssystems L = { ( '''4 (x - Wert)'''| -6 ) }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_20.PNG|center]]

<br>

<div style="border: 2px solid #FFA54F ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.

Beispiel: '''( I )  2x + 3y = 134  und  ( II )  3x + 5y = 221'''

Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2

( I )  2x + 3y = 134 | * 3
( II )  3x + 5y = 221 | * (-2)

dies ergibt ( I )  6x + 9y = 402
( II ) -6x - 10y = -442

Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!<br>
Du siehst also, dass entweder vor x oder vor y die gleiche Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen muss!!
</div>

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
{|
|-
| ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) 2x + 6y = 6 || ( II ) * (-2) || ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) -4x - 12y = -12
|-
| ( I ) 11x - 5y = -3    und    ( II ) -9x + 4y = 2 || ( I ) * 4 und ( II ) * 5 || ( I ) 44x - 20y = -12    und    ( II ) -45 x + 20y = 10
|-
| ( I ) -5x + 6y = 41    und    ( II ) 3x - 8y = -73 || ( I ) * 4 und ( II ) * 3 || ( I ) -20x + 24y = 164    und    ( II ) 9x - 24y = -219
|}
</div>

 

</div>

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Additionsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Addiere die beiden Gleichungen und berechne den Wert der einen Variablen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:                                    

(I) y + 3x = 2 <br>
und<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) * (-2) : - 2y - 6x = -4<br>

(III)    2y = 4x – 2

(I) + (II):<br>

-2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x <br>
::- 6x = 4x - 6 | - 4x<br>
::- 10x = - 6 | : (-10)<br>
::: x = 0,6

x in (II): <br>
:: 2y = 4 * 0,6 – 2<br>
:: 2y = 2,4 – 2<br>
:: 2y = 0,4 | : 2<br>
:: y = 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = {( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|Auf zur letzten Aufgabe!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 6/Hilfe

2010-03-17T19:51:42Z

Sarah Hatos:

==Hilfestellung zu Station 6==

<div style="border: 2px solid #0000ee; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''''Sollst du entscheiden, ob ein lineares Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat, dann gehe so vor:'''''

{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#FFC125 "
! <br>Vorgehensweise<br><br> !! Beispiel:    y = m<sub>1</sub> x + t<sub>1</sub>    und    y - m<sub>2</sub> x = t<sub>2</sub>
|-
| style="background-color:#FEDBCA;" | '''Prüfe, ob beide Gleichungen in Normalform gegeben, also nach y aufgelöst sind. Ist das nicht der Fall, dann löse sie nach y auf.''' || style="background-color:#FEDBCA;" |
<center>
{|
|-
|'''y = m<sub>1</sub> x + t<sub>1</sub> '''||   '''und'''   || ''' y - m<sub>2</sub> x = t<sub>2</sub> / + m<sub>2</sub> x'''
|-
| || ||   '''y = m<sub>2</sub> x + t<sub>2</sub>'''
|}
</center>
|-
| style="background-color:#FFFF00;" | '''1. Fall: Die Steigung ist verschieden. m<sub>1</sub> ungleich m<sub>2</sub>. ''' || style="background-color:#FFFF00 ;" | '''Ist die Steigung verschieden, dann schneiden sich die Geraden und das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung.''' [[Bild:Lernpfad_1_Station_5_Hatos_2.png|150px|center]]
|-
|style="background-color:#9AFF9A ;" | '''2. Fall: Die Steigung ist gleich. m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub> aber die y- Achsenabschnitte sind verschieden. t<sub>1</sub> ungleich t<sub>2</sub>. ||style="background-color:#9AFF9A ;" | '''Wenn die Steigung gleich ist, aber die y - Achsenabschnitte verschieden sind, dann sind die Geraden paralell und es gibt keine Lösung!''' [[Bild:Lernpfad_1_Station_5_Hatos_1.png|200px|center]]
|-
|style="background-color:#FFF68F ;" | '''3. Fall: Die Steigung ist gleich. m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub> und die y- Achsenabschnitte sind auch gleich. t<sub>1</sub> = t<sub>2</sub>|| style="background-color:#FFF68F ;" | '''Wenn die Steigung gleich ist und die y - Achsenabschnitte auch gleich sind, dann sind die Geraden identisch und es gibt unendlich viele Lösungen!''' [[Bild:Lernpfad_1_Station_5_Hatos_3.png|150px|center]]
|}

[[Bild:Motivation_Hatos_9.bmp]]

</div>

'''[[Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 6|Hier gehts zurück zum Lernpfad!]]'''

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 6/Hilfe

2010-03-17T19:51:10Z

Sarah Hatos:

==Hilfestellung zu Station 6==

<div style="border: 2px solid #0000ee; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''''Sollst du entscheiden, ob ein lineares Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat, dann gehe so vor:'''''

{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#FFC125 "
! <br>Vorgehensweise<br><br> !! Beispiel:    y = m<sub>1</sub> x + t<sub>1</sub>    und    y - m<sub>2</sub> x = t<sub>2</sub>
|-
| style="background-color:#FEDBCA;" | '''Prüfe, ob beide Gleichungen in Normalform gegeben, also nach y aufgelöst sind. Ist das nicht der Fall, dann löse sie nach y auf.''' || style="background-color:#FEDBCA;" |
<center>
{|
|-
|'''y = m<sub>1</sub> x + t<sub>1</sub> '''||   '''und'''   || ''' y - m<sub>2</sub> x = t<sub>2</sub> / + m<sub>2</sub> x'''
|-
| || ||   '''y = m<sub>2</sub> x + t<sub>2</sub>'''
|}
</center>
|-
| style="background-color:#FFFF00;" | '''1. Fall: Die Steigung ist verschieden. m<sub>1</sub> ungleich m<sub>2</sub>. ''' || style="background-color:#FFFF00 ;" | '''Ist die Steigung verschieden, dann schneiden sich die Geraden und das Lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.''' [[Bild:Lernpfad_1_Station_5_Hatos_2.png|150px|center]]
|-
|style="background-color:#9AFF9A ;" | '''2. Fall: Die Steigung ist gleich. m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub> aber die y- Achsenabschnitte sind verschieden. t<sub>1</sub> ungleich t<sub>2</sub>. ||style="background-color:#9AFF9A ;" | '''Wenn die Steigung gleich ist, aber die y - Achsenabschnitte verschieden sind, dann sind die Geraden paralell und es gibt keine Lösung!''' [[Bild:Lernpfad_1_Station_5_Hatos_1.png|200px|center]]
|-
|style="background-color:#FFF68F ;" | '''3. Fall: Die Steigung ist gleich. m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub> und die y- Achsenabschnitte sind auch gleich. t<sub>1</sub> = t<sub>2</sub>|| style="background-color:#FFF68F ;" | '''Wenn die Steigung gleich ist und die y - Achsenabschnitte auch gleich sind, dann sind die Geraden identisch und es gibt unendlich viele Lösungen!''' [[Bild:Lernpfad_1_Station_5_Hatos_3.png|150px|center]]
|}

[[Bild:Motivation_Hatos_9.bmp]]

</div>

'''[[Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 6|Hier gehts zurück zum Lernpfad!]]'''

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 4

2010-03-17T19:18:26Z

Sarah Hatos:

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 5

2010-03-17T19:16:45Z

Sarah Hatos:

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 3

2010-03-17T18:23:23Z

Sarah Hatos:

Datei:Motivation Hatos 7.PNG

2010-03-17T18:22:40Z

Sarah Hatos: hat eine neue Version von „Bild:Motivation Hatos 7.PNG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = kleine Änderung |Quelle = |Urheber = Sarah Hatos |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber = Sarah Hatos
|Datum = 18.12.09
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
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}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 2

2010-03-17T17:10:51Z

Sarah Hatos:

Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen

2010-03-17T16:40:55Z

Sarah Hatos:

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 2

2010-03-17T16:38:14Z

Sarah Hatos:

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 2

2010-03-17T16:36:55Z

Sarah Hatos:

Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen

2010-03-17T10:04:57Z

Sarah Hatos:

Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen

2010-03-17T10:00:41Z

Sarah Hatos:

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 5

2010-03-06T14:49:34Z

Sarah Hatos: /* 5. Memo-Quiz zu verschiedene Lösungsmöglichkeiten */

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 5

2010-03-06T14:49:08Z

Sarah Hatos: /* 5. Memo-Quiz zu verschiedene Lösungsmöglichkeiten */

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 5

2010-03-06T14:48:20Z

Sarah Hatos:

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 5

2010-03-06T14:46:10Z

Sarah Hatos:

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5

2010-02-28T15:41:04Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Vielleicht ist dir bei deinen Übungen aufgefallen, bei welchem Linearen Gleichungssystem du am Besten welches rechnerische Verfahren anwendest.'''

'''Ordne nun dem jeweiligen Verfahren das am besten geeigneteste Gleichungssystem und die Erklärung dazu zu!'''

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>

{|
|-
| Gleichsetzungsverfahren|| In beiden Gleichungen steht auf einer Seite dieselbe Variable. || y = 2x + 1 und y = 3x - 2
|-
| Einsetzungsverfahren || Eine Gleichung ist nach einer Variablen aufgelöst, die andere nicht. || y = 2x und 2y - 3x = 4
|-
| Additionsverfahren || In beiden Gleichungen stimmen die Zahlen vor einer Variablen bis auf das Vorzeichen überein. || y + 2x = 3 und 2y - 2x = 75
|}
</div>

[[Bild:Motivation_Hatos_24.PNG|center]]

=Aufgabe 2=

Die ganze Zeit hast du das Zahlenpaar, das das Lineare Gleichungssystem löst beziehungsweise die Lösungsmenge berechnet.

'''Versuche nun umgekehrt herauszufinden, ob das angegebene Zahlenpaar eine Lösung des Linearen Gleichungssystem ist!'''

<popup name="Hilfe">Setzte den Punkt in beide Gleichungen ein und schaue, ob er beide Gleichungen erfüllt! <br> Mache also die Probe! </popup>

<div class="multiplechoice-quiz">

a) 3x - 7y = -7    und    -2x + 3y = -2

Kreuze an, welches Zahlenpaar dieses Gleichungssystem löst!

(![ 14 | 7 ]) (![ 3 | 13 ]) (![ -3 | 5 ]) ([ 7 | 4 ])

b) 18x + 11y = 1 und -4x + 3y = 27

Kreuze an, welches Zahlenpaar dieses Gleichungssystem löst!

(![ 14 | 7 ]) (![ 3 | 13 ]) ([ -3 | 5 ]) (![ 7 | 4 ])

</div>

 

</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|Hier gehts zurück]]

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3

2010-02-28T14:42:34Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=3. Übungsaufgabe 2=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

<span style="color:#0000EE">'''Zahlenrätsel:'''<br>
Die Summe des doppelten einer Zahl und einer anderen Zahl beträgt 49. <br>
Die Differenz der beiden Zahlen ist 20. <br>
Wie heißen die beiden Zahlen?<br></span>

'''Zuerst musst du zwei Gleichungen aufstellen!'''

'''Wir nehmen hier als Variablen:'''<br>

x: 1. Zahl<br>
y: 2. Zahl

<div class="lueckentext-quiz">

Stelle zuerst eine Gleichung für die Summe auf!

( I ) '''2x + y''' = '''49'''

Nun brauchen wir noch eine Gleichung für die Differenz!

( II ) x '''- y''' = '''20'''

</div>

Diese beiden Gleichungen bilden ein Lineares Gleichungssystem, dass wir nun mit dem Additionsverfahren lösen wollen.

Nun addierst du die beiden Gleichungen!

<center>

<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
|('''2x + y''') + (x - y)|| =|| 49 + '''20'''
|-
| || || 
|-
| 2x + '''y''' + x - y ||=|| '''69'''
|-
| || || 
|-
| 2x + '''x'''|| = ||69
|-
| || || 
|-
|'''3x'''|| =|| 69 ||/ : 3
|-
| || || 
|-
|x ||= ||'''23'''
|}

Also ist die erste Zahl '''23'''

</div>
</center>
<div class="lueckentext-quiz">

Setze nun wieder x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein, um y (2. Zahl) zu berechnen.

Trage hier dein Ergebnis ein y = '''3 (Zahl eingeben)'''

</div>

'''Natürlich musst du noch die Probe machen, indem du dein Zahlenpaar in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt!'''

<div class="lueckentext-quiz">

Wenn du die Probe gemacht hast, kannst du einen Antwortsatz formulieren.

Antwort: Die 1. Zahl lautet '''23''' und die 2. Zahl ist '''3'''.

</div>

<div class="multiplechoice-quiz">

Was meinst du, wieso ist es von Vorteil hier das Additionsverfahren anzuwenden?

(!Weil die beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst sind.)

(Weil in beiden Gleichungen die Zahlen von einer Variablen bis auf das Vorzeichen übereinstimmen.)

(!Weil eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist.)

</div>

 

</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|Hier gehts zurück!]]

Datei:Lernpfad 3 Hatos 2.ggb

2010-02-28T11:14:57Z

Sarah Hatos: hat eine neue Version von „Bild:Lernpfad 3 Hatos 2.ggb“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber = Sarah Hatos
|Datum = 07.01.10
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2

2010-02-28T11:11:45Z

Sarah Hatos: /* 2. Übungsaufgabe 1 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=2. Übungsaufgabe 1=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''Du möchtest dir einen neuen Handyvertrag zum SMS schreiben zulegen.''' <br>
'''Schau dir die beiden Werbeplakate für den Tarif Spider und den Tarif Schlauberger an und finde heraus, welcher Vertrag für dich geeignet wäre und bei welcher Anzahl an SMS du bei beiden gleich viel bezahlst!'''

<center>
{|
|-
| [[Bild:Hatos_Handy_2.PNG|350px]]       ||[[Bild:Hatos_Handy_1.PNG|350px]]
|-
| Bild 1 || Bild 2
|}
</center>

'''Du kannst diese Aufgabe als Lineares Gleichungssystem lösen. Stelle zuerst zwei Gleichungen auf.'''

''Wir legen als Variablen fest:''

x: Anzahl an SMS<br>
y: Gesamtkosten des Vertrags.

<div class="lueckentext-quiz">

Tarif Spider: y = '''0,15x''' + '''4'''

Tarif Schlauberger: y = '''0,05x''' + '''8'''

</div>

'''Stelle nun die beiden Tarife grafisch dar. Es ist egal, welche Gerade du für welchen Tarif nimmst!'''

<ggb_applet height="500" width="802" showResetIcon="true" filename="Lernpfad_3_Hatos_2.ggb" />

{|
|-
|<div class="lueckentext-quiz">

Bei welcher Anzahl an SMS bezahlst du bei den beiden Tarife gleich viel?

'''40 (Zahl eingeben)'''

Wieviel kostet dann diese Anzahl an SMS?

'''10 (Zahl eingeben)''' €

Also lautet das Zahlenpaar, das dieses Lineare Gleichungssystem löst

( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''')

</div>
|| [[Bild:Motivation_Hatos_22.PNG|300px]]
|}

'''<span style="color:#EE6363 ">Sehr gut. Überlege dir nun, wieviele SMS du durchschnitlich im Monat schreibst und welcher Vertrag somit für dich der Günstigere wäre!</span>'''

'''Natürlich können wir diese Aufgabe auch rechnerisch lösen.'''

'''Du hast ja die beiden Gleichungen.'''

'''( I ) y = 0,15x + 4 und ( II ) y = 0,05x + 8'''

'''Löse nun dieses Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren!'''

<center>

<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
| '''0,15x + 4''' || = || '''0,05x + 8''' || / - 0,05x
|-
| || || 
|-
| '''0,10x''' + 4 || = || 8 || / '''- 4'''
|-
| || || 
|-
| 0,10x || = || '''4'''|| / : 0,10
|-
| || || 
|-
| x ||=|| '''40'''
|}

</div>

</center>

<div class="lueckentext-quiz">

Setze nun x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein, um den Wert von y zu bekommen.

Wir nehmen hier die Gleichung ( II ) y = 0,05x + 8

<center>
{|
|-
| y ||=|| 0,05x + 8
|-
| || || 
|-
|y||=||0,05 * '''40''' + 8
|-
| || || 
|-
|y ||=|| '''2''' + 8
|-
| || || 
|-
| y ||=|| '''10 (Zahl eingeben)'''
|}

</center>
</div>

'''Nun musst du noch die Probe machen, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''

<div class="lueckentext-quiz">

Wenn die Probe stimmt lautet die Lösungsmenge deines Linearen Gleichungssystems also:

L = { ( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''') }

Also kosten '''40''' SMS bei beiden Verträgen gleich viel, nämlich '''10 €'''.

</div>

<div class="multiplechoice-quiz">

'''Was meinst du, wieso ist es von Vorteil hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden?'''

(Weil in beiden Gleichungen auf einer Seite dieselbe Variable steht.)
(!Einfach so.)
(!Weil die Vorzeichen unterschiedlich sind.)

</div>

 
</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|Hier gehts zurück]]

Datei:Lernpfad 3 Hatos 2.ggb

2010-02-28T11:10:38Z

Sarah Hatos: hat eine neue Version von „Bild:Lernpfad 3 Hatos 2.ggb“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = Sarah Hatos |Datum = 28.02.10 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber = Sarah Hatos
|Datum = 07.01.10
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2

2010-02-28T11:08:01Z

Sarah Hatos: /* 2. Übungsaufgabe 1 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=2. Übungsaufgabe 1=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''Du möchtest dir einen neuen Handyvertrag zum SMS schreiben zulegen.''' <br>
'''Schau dir die beiden Werbeplakate für den Tarif Spider und den Tarif Schlauberger an und finde heraus, welcher Vertrag für dich geeignet wäre und bei welcher Anzahl an SMS du bei beiden gleich viel bezahlst!'''

<center>
{|
|-
| [[Bild:Hatos_Handy_2.PNG|350px]]       ||[[Bild:Hatos_Handy_1.PNG|350px]]
|-
| Bild 1 || Bild 2
|}
</center>

'''Du kannst diese Aufgabe als Lineares Gleichungssystem lösen. Stelle zuerst zwei Gleichungen auf.'''

''Wir legen als Variablen fest:''

x: Anzahl an SMS<br>
y: Gesamtkosten des Vertrags.

<div class="lueckentext-quiz">

Tarif Spider: y = '''0,15x''' + '''4'''

Tarif Schlauberger: y = '''0,05x''' + '''8'''

</div>

'''Stelle nun die beiden Tarife grafisch dar. Es ist egal, welche Gerade du für welchen Tarif nimmst!'''

<ggb_applet height="500" width="800" showResetIcon="true" filename="Lernpfad_3_Hatos_2.ggb" />

{|
|-
|<div class="lueckentext-quiz">

Bei welcher Anzahl an SMS bezahlst du bei den beiden Tarife gleich viel?

'''40 (Zahl eingeben)'''

Wieviel kostet dann diese Anzahl an SMS?

'''10 (Zahl eingeben)''' €

Also lautet das Zahlenpaar, das dieses Lineare Gleichungssystem löst

( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''')

</div>
|| [[Bild:Motivation_Hatos_22.PNG|300px]]
|}

'''<span style="color:#EE6363 ">Sehr gut. Überlege dir nun, wieviele SMS du durchschnitlich im Monat schreibst und welcher Vertrag somit für dich der Günstigere wäre!</span>'''

'''Natürlich können wir diese Aufgabe auch rechnerisch lösen.'''

'''Du hast ja die beiden Gleichungen.'''

'''( I ) y = 0,15x + 4 und ( II ) y = 0,05x + 8'''

'''Löse nun dieses Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren!'''

<center>

<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
| '''0,15x + 4''' || = || '''0,05x + 8''' || / - 0,05x
|-
| || || 
|-
| '''0,10x''' + 4 || = || 8 || / '''- 4'''
|-
| || || 
|-
| 0,10x || = || '''4'''|| / : 0,10
|-
| || || 
|-
| x ||=|| '''40'''
|}

</div>

</center>

<div class="lueckentext-quiz">

Setze nun x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein, um den Wert von y zu bekommen.

Wir nehmen hier die Gleichung ( II ) y = 0,05x + 8

<center>
{|
|-
| y ||=|| 0,05x + 8
|-
| || || 
|-
|y||=||0,05 * '''40''' + 8
|-
| || || 
|-
|y ||=|| '''2''' + 8
|-
| || || 
|-
| y ||=|| '''10 (Zahl eingeben)'''
|}

</center>
</div>

'''Nun musst du noch die Probe machen, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''

<div class="lueckentext-quiz">

Wenn die Probe stimmt lautet die Lösungsmenge deines Linearen Gleichungssystems also:

L = { ( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''') }

Also kosten '''40''' SMS bei beiden Verträgen gleich viel, nämlich '''10 €'''.

</div>

<div class="multiplechoice-quiz">

'''Was meinst du, wieso ist es von Vorteil hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden?'''

(Weil in beiden Gleichungen auf einer Seite dieselbe Variable steht.)
(!Einfach so.)
(!Weil die Vorzeichen unterschiedlich sind.)

</div>

 
</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|Hier gehts zurück]]

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2

2010-02-28T11:06:36Z

Sarah Hatos: /* 2. Übungsaufgabe 1 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=2. Übungsaufgabe 1=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''Du möchtest dir einen neuen Handyvertrag zum SMS schreiben zulegen.''' <br>
'''Schau dir die beiden Werbeplakate für den Tarif Spider und den Tarif Schlauberger an und finde heraus, welcher Vertrag für dich geeignet wäre und bei welcher Anzahl an SMS du bei beiden gleich viel bezahlst!'''

<center>
{|
|-
| [[Bild:Hatos_Handy_2.PNG|350px]]       ||[[Bild:Hatos_Handy_1.PNG|350px]]
|-
| Bild 1 || Bild 2
|}
</center>

'''Du kannst diese Aufgabe als Lineares Gleichungssystem lösen. Stelle zuerst zwei Gleichungen auf.'''

''Wir legen als Variablen fest:''

x: Anzahl an SMS<br>
y: Gesamtkosten des Vertrags.

<div class="lueckentext-quiz">

Tarif Spider: y = '''0,15x''' + '''4'''

Tarif Schlauberger: y = '''0,05x''' + '''8'''

</div>

'''Stelle nun die beiden Tarife grafisch dar. Es ist egal, welche Gerade du für welchen Tarif nimmst!'''

<ggb_applet height="500" width="800" showResetIcon="true" filename="Lernpfad_3_Hatos_2.ggb" />

{|
|-
|<div class="lueckentext-quiz">

Bei welcher Anzahl an SMS bezahlst du bei den beiden Tarife gleich viel?

'''40 (Zahl eingeben)'''

Wieviel kostet dann diese Anzahl an SMS?

'''10 (Zahl eingeben)''' €

Also lautet das Zahlenpaar, das dieses Lineare Gleichungssystem löst

( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''')

</div>
|| [[Bild:Motivation_Hatos_22.PNG|300px]]
|}

'''<span style="color:#EE6363 ">Sehr gut. Überlege dir nun, wieviele SMS du durchschnitlich im Monat schreibst und welcher Vertrag somit für dich der Günstigere wäre!</span>'''

'''Natürlich können wir diese Aufgabe auch rechnerisch lösen.'''

'''Du hast ja die beiden Gleichungen.'''

'''( I ) y = 0,15x + 4 und ( II ) y = 0,05x + 8'''

'''Löse nun dieses Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren!'''

<center>

<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
| '''0,15x + 4''' || = || '''0,05x + 8''' || / - 0,05x
|-
| || || 
|-
| '''0,10x''' + 4 || = || 8 || / '''- 4'''
|-
| || || 
|-
| 0,10x || = || '''4'''|| / : 0,10
|-
| || || 
|-
| x ||=|| '''40'''
|}

</div>

</center>

<div class="lueckentext-quiz">

Setze nun x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein, um den Wert von y zu bekommen.

Wir nehmen hier die Gleichung ( II ) y = 0,05x + 8

<center>
{|
|-
| y ||=|| 0,05x + 8
|-
| || || 
|-
|y||=||0,05 * '''40''' + 8
|-
| || || 
|-
|y ||=|| '''2''' + 8
|-
| || || 
|-
| y ||=|| '''10 (Zahl eingeben)'''
|}

</center>
</div>

'''Nun musst du noch die Probe machen, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''

<div class="lueckentext-quiz">

Wenn die Probe stimmt lautet die Lösungsmenge deines Linearen Gleichungssystems also:

L = {( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''')}

Also kosten '''40''' SMS bei beiden Verträgen gleich viel, nämlich '''10 €'''.

</div>

<div class="multiplechoice-quiz">

'''Was meinst du, wieso ist es von Vorteil hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden?'''

(Weil in beiden Gleichungen auf einer Seite dieselbe Variable steht.)
(!Einfach so.)
(!Weil die Vorzeichen unterschiedlich sind.)

</div>

 
</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7

2010-02-25T15:38:41Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=7. Übungen zum Additionsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.'''

'''( I )  3x + 7y = - 30    und    ( II )  - 5x - 7y = 22'''                  [[Bild:Motivation_Hatos_19.PNG|250px]]

<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Dieses Lineare Gleichungssystem kannst du sofort mit dem Additionsverfahren lösen.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Addiere nun die Gleichung ( I ) und ( II )</div>

( I ) + ( II ) :

( '''3x + 7y''' ) + (''' -5x - 7y''' ) = '''-30''' + '''22'''

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">Nun kannst du die Gleichung wieder nach x auflösen.</div>

<center>
{|
|-
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) || = || -30 + 22
|-
|  ||  || 
|-
| '''3x - 5x''' || = || '''-8'''
|-
|  ||  || 
|-
| '''-2x''' || = || -8 || / : ( -2 )
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''4'''
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Nun musst du den x - Wert wieder in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen, um y rauszufinden.</div>

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4''' + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12''' + 7y || = || - 30 || / - 12
|-
|  ||  || 
|-
| 7y || = || '''- 42''' || / : 7
|-
|  ||  || 
|-
|y || = ||'''-6'''
|}
</center>

</div>

<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Mache nun die Probe, indem du den x - und y - Wert in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( I ) :

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4 (x - Wert)''' + 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12 (ausmultipliziert) - 42 || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| - 30 || = || - 30
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( II ):

<center>
{|
|-
| -5x - 7y || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -5 * '''4 (x - Wert)''' - 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -20 + '''42 (ausmultipliziert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| 22 || = || 22
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = { ( '''4 (x - Wert)'''| -6 ) }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_20.PNG|center]]

<br>

<div style="border: 2px solid #FFA54F ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.

Beispiel: '''( I )  2x + 3y = 134  und  ( II )  3x + 5y = 221'''

Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2

( I )  2x + 3y = 134 | * 3
( II )  3x + 5y = 221 | * (-2)

dies ergibt ( I )  6x + 9y = 402
( II ) -6x - 10y = -442

Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!<br>
Du siehst also, dass entweder vor x oder vor y die gleiche Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen muss!!
</div>

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
{|
|-
| ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) 2x + 6y = 6 || ( II ) * (-2) || ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) -4x - 12y = -12
|-
| ( I ) 11x - 5y = -3    und    ( II ) -9x + 4y = 2 || ( I ) * 4 und ( II ) * 5 || ( I ) 44x - 20y = -12    und    ( II ) -45 x + 20y = 10
|-
| ( I ) -5x + 6y = 41    und    ( II ) 3x - 8y = -73 || ( I ) * 4 und ( II ) * 3 || ( I ) -20x + 24y = 164    und    ( II ) 9x - 24y = -219
|}
</div>

 

</div>

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Additionsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Addiere die beiden Gleichungen und berechne den Wert der einen Variablen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:                                    

(I) y + 3x = 2 <br>
und<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) * (-2) : - 2y - 6x = -4<br>

(III)    2y = 4x – 2

(I) + (II):<br>

-2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x <br>
::- 6x = 4x - 6 | - 4x<br>
::- 10x = - 6 | : (-10)<br>
::: x = 0,6

x in (II): <br>
:: 2y = 4 * 0,6 – 2<br>
:: 2y = 2,4 – 2<br>
:: 2y = 0,4 | : 2<br>
:: y = 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = {( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|Auf zur letzten Aufgabe!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5

2010-02-25T15:15:04Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=5. Übungen zum Einsetzungsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!'''

'''( I )  x - 3y = 6     und    ( II )  y + 7 = 2x'''                   [[Bild:Motivation_Hatos_16.PNG|250px]]

'''<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf!   Wir nehmen hier die Gleichung ( II )</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

( II )   y + 7 = 2x

:: y = '''2x''' '''-''' '''7'''

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten, also 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ).</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3 * ( '''2x - 7''' )|| = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| x - 6x + '''21 (Zahl eingeben)''' || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''-5x''' + 21 || = || 6 ||/ - 21
|-
|  ||  || 
|-
| -5x || = || '''- 15''' ||/ : (- 5)
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''3 (Zahl eingeben)'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.  Nimm hier Gleichung ( I ).</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3y || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''3''' - 3y || = || 6 ||/ - 3
|-
|  ||  || 
|-
| -3y || = || '''3''' ||/ : ( - 3 )
|-
|  ||  || 
|-
| y || = || '''- 1'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines Linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''

'''Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines Linearen Gleichungssystems an.'''

<div class="lueckentext-quiz">

L = { ( '''3 ( x - Wert )''' / -1 }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_17.PNG|center]]

<br>
<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=

'''Bei den folgenden Linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen Linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.'''

<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| ( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 || 5x + 3 * (2x + 10) = -3
|-
| ( I ) 4x + 19y = 18 und ( II ) x = -3y + 11 || 4 * (-3y + 11) + 19y = 18
|-
| ( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 || 15 * (5y + 7) + 13y = 17
|}
</div>
 
</div>

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Einsetzungsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:

(I) y + 3x = 2 <br>
und <br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) y = -3x + 2<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) in (II)

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2<br>
- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x<br>
- 10x + 4 = - 2 | - 4<br>
: - 10x = - 6 | : (-10)<br>
:: x = 0,6

x in ( I ) y = - 3 * 0,6 + 2<br>
:: y = - 1,8 + 2<br>
:: y= 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>

(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = { ( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts weiter!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 2

2010-02-21T12:08:55Z

Sarah Hatos:

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5

2010-01-27T11:27:31Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=5. Übungen zum Einsetzungsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!'''

'''( I )  x - 3y = 6     und    ( II )  y + 7 = 2x'''                   [[Bild:Motivation_Hatos_16.PNG|250px]]

'''<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf!   Wir nehmen hier die Gleichung ( II )</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

( II )   y + 7 = 2x

:: y = '''2x''' '''-''' '''7'''

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten, also 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ).</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3 * ( '''2x - 7''' )|| = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| x - 6x + '''21 (Zahl eingeben)''' || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''-5x''' + 21 || = || 6 ||/ - 21
|-
|  ||  || 
|-
| -5x || = || '''- 15''' ||/ : (- 5)
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''3 (Zahl eingeben)'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.  Nimm hier Gleichung ( I ).</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3y || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''3''' - 3y || = || 6 ||/ - 3
|-
|  ||  || 
|-
| -3y || = || '''3''' ||/ : ( - 3 )
|-
|  ||  || 
|-
| y || = || '''- 1'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines Linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''

'''Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines Linearen Gleichungssystems an.'''

<div class="lueckentext-quiz">

L = { ( '''3 ( x - Wert )''' / -1 }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_17.PNG|center]]

<br>
<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=

'''Bei den folgenden Linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen Linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.'''

<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| ( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 || 5x + 3 * (2x + 10) = -3
|-
| ( I ) 19x + 4y = 18 und ( II ) y = -3x + 11 || 19x + 4 * (-3x + 11) = 18
|-
| ( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 || 15 * (5y + 7) + 13y = 17
|}
</div>
 
</div>

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Einsetzungsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:

(I) y + 3x = 2 <br>
und <br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) y = -3x + 2<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) in (II)

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2<br>
- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x<br>
- 10x + 4 = - 2 | - 4<br>
: - 10x = - 6 | : (-10)<br>
:: x = 0,6

x in ( I ) y = - 3 * 0,6 + 2<br>
:: y = - 1,8 + 2<br>
:: y= 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>

(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = { ( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts weiter!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen/Station 4

2010-01-27T11:20:48Z

Sarah Hatos:

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7

2010-01-26T11:22:12Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=7. Wahlaufgabe=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''Stolz wie Oskar ist Marie, weil sie für ihren Führerschein nur 27 Fahrstunden gebraucht hat.<br>
'''Kevin, ihr Freund musste 38 Fahrstunden nehmen.<br>
'''Zusammen mit der Anmeldegebühr hat Marie 825 € und Kevin 1100 € zu zahlen.<br>
'''Wie teuer ist eine Fahrstunde, wie hoch ist die Anmeldegebühr?'''

[[Bild:Hatos_Auto.PNG|400px|center]]

'''Zuerst musst du dir überlegen, was gesucht ist. Hier ist die Frage nach dem Preis pro Fahrstunde und der Anmeldegebühr.'''

Nun müssen wir zwei Variablen für die Beiden festlegen.

'''Wir nehmen hier:'''

x: Preis pro Fahrstunde

y: Preis der Anmeldegebühr

Stelle nun zwei Gleichungen auf!

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung 1 (Maries Kosten): '''27''' * x + y = '''825''' €

Gleichung 2 (Kevins Kosten): '''38''' * x + y = '''1100''' €

</div>

Dieses Lineare Gleichungssystem kannst du mit verschiedenen rechnerischen Verfahren lösen.

Suche dir '''eines''' der unten aufgeführten rechnerischen Verfahren aus und löse damit die Aufgabe!

<center>

'''<big>[[Gleichsetzungsverfahren]]</big>'''      '''<big>[[Einsetzungsverfahren]]</big>'''      '''<big>[[Additionsverfahren]]</big>'''

</center>

</div>

'''<big>[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 8|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|Hier gehts zurück]]

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6

2010-01-26T11:21:40Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=6. Übung: Lösungsmöglichkeiten=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

[[Bild:Motivation_Hatos_25.PNG]]

'''Erinnerst du dich noch?'''

Ein Lineares Gleichungssystem kann '''eine, keine''' oder '''unendlich viele Lösungen''' haben!

Vervollständige die jeweiligen Gleichungssysteme so, dass Sie eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben!

'''Wenn du dir nicht mehr sicher bist, oder deine Lösung überprüfen möchtest, dann benutze die beiden Geraden im Koordinatensystem!'''

{|
|-
|<ggb_applet height="500" width="700" showResetIcon="true" filename="Lernpfad_3_Hatos_3.ggb" />
||

'''Ordne die Zahlen richtig zu!'''

<div class="lueckentext-quiz">

Dieses Lineare Gleichungssystem hat eine Lösung!
<center>
{|
|-
|y = '''-2''' x + 4    || und||    y = 1 x + 1
|}
</center>
Dieses Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung!
<center>
{|
|-
|y = '''2''' x + 5    || und||    y = 2x + '''1'''
|}
</center>
Dieses Lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen!
<center>
{|
|-
|y = 3x + 4    ||und||    y = '''3''' x + '''4'''
|}
</center>

</div>
|}
 
</div>

'''<big>→[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|Hier gehts zurück]]

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5

2010-01-26T11:20:52Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Vielleicht ist dir bei deinen Übungen aufgefallen, bei welchem Linearen Gleichungssystem du am Besten welches rechnerische Verfahren anwendest.'''

'''Ordne nun dem jeweiligen Verfahren das am besten geeigneteste Gleichungssystem und die Erklärung dazu zu!'''

<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>

{|
|-
| Gleichsetzungsverfahren|| In beiden Gleichungen steht auf einer Seite dieselbe Variable. || y = 2x + 1 und y = 3x - 2
|-
| Einsetzungsverfahren || Eine Gleichung ist nach einer Variablen aufgelöst, die andere nicht. || y = 2x und 2y - 3x = 4
|-
| Additionsverfahren || In beiden Gleichungen stimmen die Zahlen vor einer Variablen bis auf das Vorzeichen überein. || y + 2x = 3 und 2y - 2x = 75
|}
</div>

[[Bild:Motivation_Hatos_24.PNG|center]]

=Aufgabe 2=

Die ganze Zeit hast du das Zahlenpaar, das das Lineare Gleichungssystem löst beziehungsweise die Lösungsmenge berechnet.

'''Versuche nun umgekehrt herauszufinden, ob das angegebene Zahlenpaar eine Lösung des Linearen Gleichungssystem ist!'''

<popup name="Hilfe">Setzte den Punkt in beide Gleichungen ein und schaue, ob er beide Gleichungen erfüllt!</popup>

<div class="multiplechoice-quiz">

a) 3x - 7y = -7    und    -2x + 3y = -2

Kreuze an, welches Zahlenpaar dieses Gleichungssystem löst!

(![ 14 | 7 ]) (![ 3 | 13 ]) (![ -3 | 5 ]) ([ 7 | 4 ])

b) 18x + 11y = 1 und -4x + 3y = 27

Kreuze an, welches Zahlenpaar dieses Gleichungssystem löst!

(![ 14 | 7 ]) (![ 3 | 13 ]) ([ -3 | 5 ]) (![ 7 | 4 ])

</div>

 

</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|Hier gehts zurück]]

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4

2010-01-26T11:19:46Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=4. Übungsaufgabe 3=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">
[[Bild:Rechteck_Hatos.png|400px|center]]
'''Ein Rechteck hat einen Umfang von 44 cm. Wenn die beiden kürzeren Seite um 2 cm länger wären, dann wäre das Rechteck ein Quadrat. Wie lang sind Länge und Breite?'''

'''''Um diese Aufgabe zu lösen musst du dir erstmal die Formel für den Umfang eines Rechtecks in Erinnerung rufen!'''''

<div class="lueckentext-quiz">

Umfang = 2 * Länge + 2 * '''Breite (Wort eingeben)'''

</div>

<div class="schuettel-quiz">

Überlege dir auch, was das besondere eines Quadrats ist!

Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich '''lang'''.

</div>

'''Nun kannst du wieder zwei Gleichungen aufstellen. Vorher musst du aber zwei Variablen für deine beiden unbekannten Größen einführen.'''

'''Wir nehmen hier:'''

l: Länge<br>
<br>
b: Breite

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( I ): '''44''' cm = 2 * l + '''2 * b'''

Gleichung ( II ): l = b + '''2 cm'''

</div>

'''Wir wollen nun dieses Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen.'''

<div class="lueckentext-quiz">

Setze also Gleichung ( II ) in Gleichung ( I ) ein!

44 cm = 2 * ('''b + 2 cm''') + 2 * b

Nun kannst du diese Gleichung nach b auflösen!

44 cm = 2 * b + '''4 cm''' + 2 * b

44 cm = 4 * b + 4 cm / '''- 4 cm'''

'''40 cm''' = 4 * b / : 4

'''10 cm''' = b

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Um die Länge noch auszurechnen, setzt du wieder b in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein. Wir nehmen Gleichung ( II ):

l = b + 2 cm

l = '''10 (Zahl eingeben)''' cm + 2 cm

l = '''12 (Zahl eingeben)''' cm

</div>

'''Um sicher zugehen, dass du auch richtig gerechnet hast, mache wieder die Probe, indem du die Werte für l und b in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( I ) :
<center>
{|
|-
| 44 cm|| = ||2 * l + 2 * b
|-
| || || 
|-
|44 cm ||=|| 2 * '''12 cm''' + 2 * '''10 cm'''
|-
| || || 
|-
|44 cm|| = ||'''24 cm''' + 20 cm
|-
| || || 
|-
|44 cm|| = ||'''44 cm'''
|}

</center>

Gleichung ( II ):
<center>
{|
|-
| l || = || b + 2 cm
|-
| || || 
|-
|12 cm ||= ||'''10 cm''' + 2 cm
|-
| || || 
|-
|12 cm|| =|| '''12 cm'''
|}
</center>

</div>

Statt der Probe kannst du auch logisch überlegen, ob die obigen Angaben erfüllt sind, d.h Wenn man zur Breite 2 cm addiert sind alle Seiten gleich lang, also ist es dann ein Quadrat. <br>
Und wenn du denn Umfang berechnest kommt auch 44 cm raus.

<div class="lueckentext-quiz">

Die Länge deines Rechtecks beträgt also '''12 (Zahl eingeben)''' cm und die Breite beträgt '''10 (Zahl eingeben)''' cm.

</div>

<div class="multiplechoice-quiz">

'''Was meinst du, warum ist es hier von Vorteil das Einsetzungsverfahren anzuwenden?'''

(!Weil in beiden Gleichungen auf einer Seite dieselbe Variable steht.)
(!Einfach so)
(Weil die eine Gleichung nach der einen Variablen aufgelöst ist, die andere nicht.)

</div>

 

</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|Hier gehts weiter!]]</big>'''

[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|Hier gehts zurück]]

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3

2010-01-26T11:18:42Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=3. Übungsaufgabe 2=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

<span style="color:#0000EE">'''Zahlenrätsel:'''<br>
Die Summe des doppelten einer Zahl und einer anderen Zahl beträgt 49. <br>
Die Differenz der beiden Zahlen ist 20. <br>
Wie heißen die beiden Zahlen?<br></span>

'''Zuerst musst du zwei Gleichungen aufstellen!'''

'''Wir nehmen hier als Variablen:'''<br>

x: 1. Zahl<br>
y: 2. Zahl

<div class="lueckentext-quiz">

Stelle zuerst eine Gleichung für die Summe auf!

( I ) '''2x + y''' = '''49'''

Nun brauchen wir noch eine Gleichung für die Differenz!

( II ) x '''- y''' = '''20'''

</div>

Diese beiden Gleichungen bilden ein Lineares Gleichungssystem, dass wir nun mit dem Additionsverfahren lösen wollen.

Nun addierst du die beiden Gleichungen!

<center>

<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
|('''2x + y''') + (x - y)|| =|| 49 + '''20'''
|-
| || || 
|-
| 2x + '''y''' + x - y ||=|| '''69'''
|-
| || || 
|-
| 2x + '''x'''|| = ||69
|-
| || || 
|-
|'''3x'''|| =|| 69 ||/ : 3
|-
| || || 
|-
|x ||= ||'''23'''
|}

Also ist die erste Zahl '''23'''

</div>
</center>
<div class="lueckentext-quiz">

Setze nun wieder x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein, um y (2. Zahl) zu berechnen.

Trage hier dein Ergebnis ein y = '''3 (Zahl eingeben)'''

</div>

'''Natürlich musst du noch die Probe machen, indem du dein Zahlenpaar in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt!'''

<div class="lueckentext-quiz">

Wenn du die Probe gemacht hast, kannst du einen Antwortsatz formulieren.

Antwort: Die 1. Zahl lautet '''23''' und die 2. Zahl ist '''3'''.

</div>

<div class="multiplechoice-quiz">

Was meinst du, wieso ist es von Vorteil hier das Additionsverfahren anzuwenden?

(!Weil die beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst sind.)
(Weil in beiden Gleichungen die Zahlen von einer Variablen bis auf das Vorzeichen übereinstimmen.)
(!Weil eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist.)

</div>

 

</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|Hier gehts zurück!]]

Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2

2010-01-26T11:17:53Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=2. Übungsaufgabe 1=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''Du möchtest dir einen neuen Handyvertrag zum SMS schreiben zulegen.''' <br>
'''Schau dir die beiden Werbeplakate für den Tarif Spider und den Tarif Schlauberger an und finde heraus, welcher Vertrag für dich geeignet wäre und bei welcher Anzahl an SMS du bei beiden gleich viel bezahlst!'''

<center>
{|
|-
| [[Bild:Hatos_Handy_2.PNG|350px]]       ||[[Bild:Hatos_Handy_1.PNG|350px]]
|-
| Bild 1 || Bild 2
|}
</center>

'''Du kannst diese Aufgabe als Lineares Gleichungssystem lösen. Stelle zuerst zwei Gleichungen auf.'''

''Wir legen als Variablen fest:''

x: Anzahl an SMS<br>
y: Gesamtkosten des Vertrags.

<div class="lueckentext-quiz">

Tarif Spider: y = '''0,15x''' + '''4'''

Tarif Schlauberger: y = '''0,05x''' + '''8'''

</div>

'''Stelle nun die beiden Tarife grafisch dar. Es ist egal, welche Gerade du für welchen Tarif nimmst!'''

<ggb_applet height="500" width="800" showResetIcon="true" filename="Lernpfad_3_Hatos_2.ggb" />

{|
|-
|<div class="lueckentext-quiz">

Bei welcher Anzahl an SMS bezahlst du bei den beiden Tarife gleich viel?

'''40 (Zahl eingeben)'''

Wieviel kostet dann diese Anzahl an SMS?

'''10 (Zahl eingeben)''' €

Also lautet das Zahlenpaar, das dieses Lineare Gleichungssystem löst

( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''')

</div>
|| [[Bild:Motivation_Hatos_22.PNG|300px]]
|}

'''<span style="color:#EE6363 ">Sehr gut. Überlege dir nun, wieviele SMS du durchschnitlich im Monat schreibst und welcher Vertrag somit für dich der Günstigere wäre!</span>'''

'''Natürlich können wir diese Aufgabe auch rechnerisch lösen.'''

'''Du hast ja die beiden Gleichungen.'''

'''( I ) y = 0,15x + 4 und ( II ) y = 0,05x + 8'''

'''Löse nun dieses Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren!'''

<center>

<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
| '''0,15x + 4''' || = || '''0,05x + 8''' || / - 0,05x
|-
| || || 
|-
| '''0,10x''' + 4 || = || 8 || / '''- 4'''
|-
| || || 
|-
| 0,10x || = || '''4'''|| / : 0,10
|-
| || || 
|-
| x ||=|| '''40'''
|}

</div>

</center>

<div class="lueckentext-quiz">

Setze nun x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein, um den Wert von y zu bekommen.

Wir nehmen hier die Gleichung ( II ) y = 0,05x + 8

<center>
{|
|-
| y ||=|| 0,05x + 8
|-
| || || 
|-
|y||=||0,05 * '''40''' + 8
|-
| || || 
|-
|y ||=|| '''2''' + 8
|-
| || || 
|-
| y ||=|| '''10 (Zahl eingeben)'''
|}

</center>
</div>

'''Nun musst du noch die Probe machen, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''

<div class="lueckentext-quiz">

Wenn die Probe stimmt lautet die Lösungsmenge deines Linearen Gleichungssystems also:

L = ( '''40 (x-Koordinate)''' | '''10 (y-Koordinate)''')

Also kosten '''40''' SMS bei beiden Verträgen gleich viel, nämlich '''10 €'''.

</div>

<div class="multiplechoice-quiz">

'''Was meinst du, wieso ist es von Vorteil hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden?'''

(Weil in beiden Gleichungen auf einer Seite dieselbe Variable steht.)
(!Einfach so.)
(!Weil die Vorzeichen unterschiedlich sind.)

</div>

 
</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|Hier gehts weiter]]</big>'''

[[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|Hier gehts zurück]]

Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen

2010-01-26T11:16:48Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]  -  [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
</div>

=1. Kreuzworträtsel=

<div style="border: 2px solid #EEEE00 ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

[[Bild:Motivation_Hatos_23.PNG]]

Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen.
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
|Additionsverfahren || Bei welchem rechnerisches Verfahren, werden die beiden Gleichungen addiert?
|-
|Einsetzungsverfahren|| Welches rechnerische Verfahren wurde hier angewandt? y = 3x und y + 1 = x ergibt 3x + 1 = x
|-
|Schnittpunkt|| Wie lautet der Punkt, in dem sich zwei Geraden schneiden?
|-
|Gleichsetzungsverfahren || Welches rechnerische Verfahren wurde hier angewandt? 2x = y + 3 und 2x = 2y - 1 ergibt y + 3 = 2y - 1
|}
</div>

<br>
</div>

'''<big>→ [[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|Hier gehts weiter!]]</big>'''

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8

2010-01-26T11:14:16Z

Sarah Hatos:

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7

2010-01-26T11:12:42Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=7. Übungen zum Additionsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.'''

'''( I )  3x + 7y = - 30    und    ( II )  - 5x - 7y = 22'''                  [[Bild:Motivation_Hatos_19.PNG|250px]]

<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Dieses Lineare Gleichungssystem kannst du sofort mit dem Additionsverfahren lösen.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Addiere nun die Gleichung ( I ) und ( II )</div>

( I ) + ( II ) :

( '''3x + 7y''' ) + (''' -5x - 7y''' ) = '''-30''' + '''22'''

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">Nun kannst du die Gleichung wieder nach x auflösen.</div>

<center>
{|
|-
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) || = || -30 + 22
|-
|  ||  || 
|-
| '''3x - 5x''' || = || '''-8'''
|-
|  ||  || 
|-
| '''-2x''' || = || -8 || / : ( -2 )
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''4'''
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Nun musst du den x - Wert wieder in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen, um y rauszufinden.</div>

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4''' + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12''' + 7y || = || - 30 || / - 12
|-
|  ||  || 
|-
| 7y || = || '''- 42''' || / : 7
|-
|  ||  || 
|-
|y || = ||'''-6'''
|}
</center>

</div>

<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Mache nun die Probe, indem du den x - und y - Wert in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( I ) :

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4 (x - Wert)''' + 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12 (ausmultipliziert) - 42 || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| - 30 || = || - 30
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( II ):

<center>
{|
|-
| -5x - 7y || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -5 * '''4 (x - Wert)''' - 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -20 + '''42 (ausmultipliziert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| 22 || = || 22
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = { ( '''4 (x - Wert)'''| -6 ) }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_20.PNG|center]]

<br>

<div style="border: 2px solid #FFA54F ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.

Beispiel: '''( I )  2x + 3y = 134  und  ( II )  3x + 5y = 221'''

Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2

( I )  2x + 3y = 134 | * 3
( II )  3x + 5y = 221 | * (-2)

dies ergibt ( I )  6x + 9y = 402
( II ) -6x - 10y = -442

Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!
</div>

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
{|
|-
| ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) 2x + 6y = 6 || ( II ) * (-2) || ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) -4x - 12y = -12
|-
| ( I ) 11x - 5y = -3    und    ( II ) -9x + 4y = 2 || ( I ) * 4 und ( II ) * 5 || ( I ) 44x - 20y = -12    und    ( II ) -45 x + 20y = 10
|-
| ( I ) -5x + 6y = 41    und    ( II ) 3x - 8y = -73 || ( I ) * 4 und ( II ) * 3 || ( I ) -20x + 24y = 164    und    ( II ) 9x - 24y = -219
|}
</div>

 

</div>

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Additionsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Addiere die beiden Gleichungen und berechne den Wert der einen Variablen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:                                    

(I) y + 3x = 2 <br>
und<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) * (-2) : - 2y - 6x = -4<br>

(III)    2y = 4x – 2

(I) + (II):<br>

-2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x <br>
::- 6x = 4x - 6 | - 4x<br>
::- 10x = - 6 | : (-10)<br>
::: x = 0,6

x in (II): <br>
:: 2y = 4 * 0,6 – 2<br>
:: 2y = 2,4 – 2<br>
:: 2y = 0,4 | : 2<br>
:: y = 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = {( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|Auf zur letzten Aufgabe!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7

2010-01-26T11:12:01Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=7. Übungen zum Additionsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.'''

'''( I )  3x + 7y = - 30    und    ( II )  - 5x - 7y = 22'''                  [[Bild:Motivation_Hatos_19.PNG|250px]]

<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Dieses Lineare Gleichungssystem kannst du sofort mit dem Additionsverfahren lösen.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Addiere nun die Gleichung ( I ) und ( II )</div>

( I ) + ( II ) :

( '''3x + 7y''' ) + (''' -5x - 7y''' ) = '''-30''' + '''22'''

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">Nun kannst du die Gleichung wieder nach x auflösen.</div>

<center>
{|
|-
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) || = || -30 + 22
|-
|  ||  || 
|-
| '''3x - 5x''' || = || '''-8'''
|-
|  ||  || 
|-
| '''-2x''' || = || -8 || / : ( -2 )
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''4'''
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Nun musst du den x - Wert wieder in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen, um y rauszufinden.</div>

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4''' + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12''' + 7y || = || - 30 || / - 12
|-
|  ||  || 
|-
| 7y || = || '''- 42''' || / : 7
|-
|  ||  || 
|-
|y || = ||'''-6'''
|}
</center>

</div>

<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Mache nun die Probe, indem du den x - und y - Wert in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( I ) :

<center>
{|
|-
| 3x + 7y || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * '''4 (x - Wert)''' + 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| '''12 (ausmultipliziert) - 42 || = || - 30
|-
|  ||  || 
|-
| - 30 || = || - 30
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Gleichung ( II ):

<center>
{|
|-
| -5x - 7y || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -5 * '''4 (x - Wert)''' - 7 * '''- 6 (y - Wert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| -20 + '''42 (ausmultipliziert)''' || = || 22
|-
|  ||  || 
|-
| 22 || = || 22
|}
</center>

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = { ( '''4 (x - Wert)'''| -6 ) }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_20.PNG|center]]

<br>

<div style="border: 2px solid #FFA54F ; background-color:#ffffff; padding:7px;">

Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.

Beispiel: '''( I )  2x + 3y = 134  und  ( II )  3x + 5y = 221'''

Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2

( I )  2x + 3y = 134 | * 3
( II )  3x + 5y = 221 | * (-2)

dies ergibt ( I )  6x + 9y = 402
( II ) -6x - 10y = -442

Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!
</div>

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
{|
|-
| ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) 2x + 6y = 6 || ( II ) * (-2) || ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) -4x - 12y = -12
|-
| ( I ) 11x - 5y = -3    und    ( II ) -9x + 4y = 2 || ( I ) * 4 und ( II ) * 5 || ( I ) 44x - 20y = -12    und    ( II ) -45 x + 20y = 10
|-
| ( I ) -5x + 6y = 41    und    ( II ) 3x - 8y = -73 || ( I ) * 4 und ( II ) * 3 || ( I ) -20x + 24y = 164    und    ( II ) 9x - 24y = -219
|}
</div>

 

</div>

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Additionsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Addiere die beiden Gleichungen und berechne den Wert der einen Variablen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:                                    

(I) y + 3x = 2 <br>
und<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) * (-2) : - 2y - 6x = -4<br>

(III)    2y = 4x – 2

(I) + (II):<br>

-2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x <br>
::- 6x = 4x - 6 | - 4x<br>
::- 10x = - 6 | : (-10)<br>
::: x = 0,6

x in (II): <br>
:: 2y = 4 * 0,6 – 2<br>
:: 2y = 2,4 – 2<br>
:: 2y = 0,4 | : 2<br>
:: y = 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = {( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|auf zur letzten Station]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6

2010-01-26T11:11:16Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=6. Additionsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

'''Postbote Meier hat es nicht leicht. Aufgrund einer Postreform gibt es zwei neue Päckchen. Vielleicht findest du ja heraus, wie schwer sie sind.'''

<center>
{|
|-
| [[Bild:Sarah_Hatos_W7.JPG|400px]]       ||[[Bild:Sarah_Hatos_W8.JPG|400px]]
|-
| Bild 1 || Bild 2
|}
</center>
<br>

<center>
{|
| [[Bild:Sarah_Hatos_W9.JPG|400px]]
|-
|Bild 3
|}

</center>
'''Stelle nun für Bild 1 und Bild 2 eine Gleichung auf!'''

<div class="lueckentext-quiz">

Bild 1:   3 * '''[[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]]''' + 3 kg = '''2''' * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 3 kg

Bild 2:   2 * '''[[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]]''' + 1 kg = 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + '''2 kg'''

</div>

'''Wie lautet die Gleichung für die Waage in Bild 3?'''

<div class="lueckentext-quiz">

Bild 3:   '''3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]]''' + 3 kg + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + '''1 kg''' = '''2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]]''' + '''3 kg''' + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 kg

</div>

'''Wie ist die Gleichung oder die Waage in Bild 3 aus Bild 1 und Bild 2 entstanden?'''

<div class="multiplechoice-quiz">

(!Durch Multiplikation von Gleichung 1 und 2)
(Durch Addition von Gleichung 1 und 2)
(!Durch Division von Gleichung 1 und 2)

</div>

'''Löse nun die Gleichung von Bild 3 nach [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] auf!'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| 3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 3 kg + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = ||
2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 3 kg + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 kg
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + '''4 kg''' || = || 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + '''5 kg'''|| / - 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]]
|-
|  ||  || 
|-
|3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 4 kg || = || 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 5 kg|| / - 4 kg
|-
|  ||  || 
|-
| 3 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] || = || 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + '''1 kg''' || / - 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|35px]]
|-
| ||  || 
|-
| [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] || = || '''1 kg'''
|}
</center>

</div>

'''Was ist hier mit der Variablen [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] passiert?'''

<div class="multiplechoice-quiz">

(die Variable [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] ist bei der Addition der beiden Gleichungen herausgefallen, weil ihre Koeffizienten gleich waren)

(!Die Variable [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] wurde einfach weggelassen)

(!Die Variable [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] wurde übersehen)

(!die Variable [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] ist bei der Addition der beiden Gleichungen herausgefallen, weil ihre Koeffizienten verschieden waren)

</div>

'''Natürlich wollen wir auch noch wissen, wie schwer das andere Päckchen ist. Setze hierfür das Gewicht von [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] in eine deiner beiden Anfangsgleichungen von Bild 1 oder 2 ein. Wir nehmen hier die Gleichung von Bild 2.'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = || 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] + 2 kg
|-
|  ||  || 
|-
| 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = || 2 * '''1 (Zahl eingeben)''' kg + 2 kg
|-
|  ||  || 
|-
|2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = || '''2 (Zahl eingeben)''' kg + 2 kg
|-
|  ||  || 
|-
| 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] + 1 kg || = || '''4 (Zahl eingeben)''' kg
|-
| ||  || 
|-
| 2 * [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] || = || '''3 (Zahl eingeben)''' kg || / : 2
|-
| ||  || 
|-
| [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] || = || '''1,5''' kg
|}
</center>

</div>

Um sicher zu gehen, dass deine beiden Werte stimmen, setze [[Bild:Sarah_Hatos_s.PNG|40px]] = 1 kg und [[Bild:Sarah_Hatos_m.PNG|35px]] = 1,5 kg in deine beiden Anfangsgleichungen von Bild 1 und 2 ein. Damit die Waage im Gleichgewicht bleibt muss natürlich auf beiden Seiten dass gleiche Gewicht stehen.

</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7| Hier gehts weiter!]]</big>'''

[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5| Hier gehts zurück]]

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5

2010-01-26T11:10:02Z

Sarah Hatos:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''Inhaltsverzeichnis:'''    [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]]  -  <br>
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]] -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]  -  [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]
</div>

=5. Übungen zum Einsetzungsverfahren=

<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 1=

'''Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!'''

'''( I )  x - 3y = 6     und    ( II )  y + 7 = 2x'''                   [[Bild:Motivation_Hatos_16.PNG|250px]]

'''<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf!   Wir nehmen hier die Gleichung ( II )</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

( II )   y + 7 = 2x

:: y = '''2x''' '''-''' '''7'''

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ) einsetzen.</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3 * ( '''2x - 7''' )|| = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| x - 6x + '''21 (Zahl eingeben)''' || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''-5x''' + 21 || = || 6 ||/ - 21
|-
|  ||  || 
|-
| -5x || = || '''- 15''' ||/ : (- 5)
|-
|  ||  || 
|-
| x || = || '''3 (Zahl eingeben)'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.  Nimm hier Gleichung ( I ).</div>'''

<div class="lueckentext-quiz">

<center>
{|
|-
| x - 3y || = || 6
|-
|  ||  || 
|-
| '''3''' - 3y || = || 6 ||/ - 3
|-
|  ||  || 
|-
| -3y || = || '''3''' ||/ : ( - 3 )
|-
|  ||  || 
|-
| y || = || '''- 1'''
|}
</center>

</div>

'''<div style="color:#CD661D ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines Linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''

'''Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines Linearen Gleichungssystems an.'''

<div class="lueckentext-quiz">

L = { ( '''3 ( x - Koordinate )''' / -1 }

</div>
 
</div>
<br>
[[Bild:Motivation_Hatos_17.PNG|center]]

<br>
<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">

=Aufgabe 2=

'''Bei den folgenden Linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen Linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.'''

<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| ( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 || 5x + 3 * (2x + 10) = -3
|-
| ( I ) 19x + 4y = 18 und ( II ) y = -3x + 11 || 19x + 4 * (-3x + 11) = 18
|-
| ( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 || 15 * (5y + 7) + 13y = 17
|}
</div>
 
</div>

<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">

{|
|-
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Einsetzungsverfahren!</div>'''
<br>
'''Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
<br>
<br>
'''1. Schritt:''' Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.
<br>
<br>
<br>
<br>
'''2. Schritt:''' Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
<br>
<br>
<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:

(I) y + 3x = 2 <br>
und <br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) y = -3x + 2<br>
(II) 2y = 4x – 2

(I) in (II)

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2<br>
- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x<br>
- 10x + 4 = - 2 | - 4<br>
: - 10x = - 6 | : (-10)<br>
:: x = 0,6

x in ( I ) y = - 3 * 0,6 + 2<br>
:: y = - 1,8 + 2<br>
:: y= 0,2

(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>

(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)

L = { ( 0,6 | 0,2 )}
</span>
|}
</div>

'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts weiter!]]</big>'''

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