Sudokuregel in Gruppen

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==Aussage==

Alle Elemente einer Gruppe <math> (G, \ast) </math> sind links- und rechtskürzbar.

==Erklärungen==

Ein Element <math> a \in G </math> heißt linkskürzbar, wenn für alle <math> b,c \in G </math>  gilt:

<math> a \ast b = a \ast c \Rightarrow b = c </math>

Entsprechend ist rechtskürzbar definiert.

==Beweis==


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==Aspekte==

*Betrachten wir die Verknüpfungstabelle einer Gruppe. In diesem Fall eine endliche Gruppe mit 4 Elementen. Dann sehen wir, dass in jeder Spalte und jeder Zeile jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt, wie bei einem Sudoku.
:Sei <math> a \text{ und } c \in G </math> fest gewählt. Wir überlegen, gibt es ein <math> b \in G </math> mit <math> \ast(a,b) = c </math> oder mit der '''Infixschreibweise''': <math> a \ast b = c </math>. Das Element <math> a^{-1} \ast c </math> ist ein Element in G. Und es gilt: <math> \ast(a,a^{-1} \ast c) = c <\math>, oder in der Infixschreibweise: <math> a \ast a^{-1} \ast c  = e \ast c = c </math>. Betrachten wir die Verknüpfungstafel, dann gilt: In der Reihe von a finde ich jedes beliebig andere Gruppenelement.
Gleichzeitig gilt wegen der Rechtskürzbarkeit, dass jedes Gruppenelement in jeder Reihe nur einmal vorkommt.

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[[Kategorie:Beweis Gruppe]]