Volumen der Pyramide

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== 4. Volumen der Pyramide ==


Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können,
widmen wir uns zunächst dem ''Prinzip von Cavalieri''.






== 4.1 Prinzip von Cavalieri ==

<span style="color: blue">Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist:</span><br />

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E<sub>1</sub>.<br />
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E<sub>2</sub>, die parallel zu E<sub>1</sub> ist.<br />
3. Jede Parallelebene E<sub>n</sub> zu E<sub>1</sub> schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen.<br />
<br /><br />

<span style="color: blue">Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn...</span><br />
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E<sub>1</sub> liegen.<br />
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind.<br />
3. ...jede Parallelebene E<sub>n</sub> zu E<sub>1</sub> aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet.<br />
<br /><br /><br /><br />

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an:<br />
<br />


{| class="wikitable" 
|- 
| [[Bild:Geld1.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld2.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld3.JPG|250px|center]] || [[Bild:Geld4.JPG|250px|center]]
|- 
| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen || Doch was ist, wenn eines der Körper ''"schief"'' steht? || Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene E<sub>n</sub> enstehen || Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten
|}


<br /><br /><br />

==== Prinzip von Cavalieri an Pyramiden ====
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor.<br />
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern.<br />
Hierbei soll auch verdeutlicht werden:<br />

* Schnittflächen in der Ebene E<sub>n</sub> (hier: braune Ebene) müssen '''inhaltsgleich''' sein, nicht identisch
* Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur '''die Fläche, also der Inhalt'''


<ggb_applet height="500" width="720" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Cavalieri.ggb" /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==


'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.'''<br />

'''In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.'''<br />
<br /><br />

Video #1: <span style="color: white">_____________________________________________________________________________</span> Video #2:<br />
{{#ev:youtube|sgg6M3PJeBE}}<span style="color: white">_________________________</span>{{#ev:youtube|PB3pHKsWOzA}}<br />
<br />

<br />

'''<span style="color: red">=> Eine Prisma hat das <u>dreifache</u> Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!</span>'''




'''Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei [http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/cavalieri/pyramidenvolumen.html www.realmath.de]):'''

''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''

<br /><br />
<ggb_applet height="500" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="pyramidenvolumenrealmath.ggb" /><br />
<br />
<br />
<br />
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel '''"Grundfläche mal Höhe" (G * h)'''<br /><br />

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel '''<u>"Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe"</u>''' (1/3 * G * h)

<br /><br />

[[Bild:Pyramidemerke.jpg]]<br />

[[Bild:White.jpg|200px]]<br />

== 4.3 Übungen ==

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen,
ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.


[[Bild:Hinweispfeil.jpg]] Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!


==== Übung 1: ====

''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen. Eine Skizze kann jedoch hilfreich sein.''

'''Eine gerade Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.'''<br />
'''Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.''' <br />
'''Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?'''<br />

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung:<br />
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]

==== Übung 2: ====

'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben (Maße in cm):'''
<br />
<ggb_applet height="555" width="580" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Pyramideubung.ggb" /><br />

<br />
Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben:<br />
''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
<br />

# Berechne die Grundfläche G!
# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
<br />

(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)

<div class="lueckentext-quiz">

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit <u>zwei Stellen nach dem Komma</u> angeben, also in der Form x,xx):<br />
Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''.<br />
Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.'''<br />
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.

Klappe mit Hilfe des Schiebereglers die Pyramide auf, und ordne die Farben richtig zu:<br />
Die Grundfläche ist '''blau''' gefärbt. Die Pyramidenseite vorne ist '''rosa''', die rechte<br />
Seite ist '''braun''' und die hinten liegende Seite ist dementsprechend '''grün'''.<br />

</div>

[[Bild:White.jpg|100px]]