Volumen der Pyramide

4. Volumen der Pyramide

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können, widmen wir uns zunächst dem Prinzip von Cavalieri.

4.1 Prinzip von Cavalieri

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist:

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E₁.
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E₂, die parallel zu E₁ ist.
3. Jede Parallelebene E_n zu E₁ schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen.

Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn...
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E₁ liegen.
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind.
3. ...jede Parallelebene E_n zu E₁ aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet.

Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an:

Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen	Doch was ist, wenn eines der Körper "schief" steht?	Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen	Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten

Prinzip von Cavalieri an Pyramiden

Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor.
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern.
Hierbei soll auch verdeutlicht werden:

• Schnittflächen in der Ebene E_n (hier: braune Ebene) müssen inhaltsgleich sein, nicht identisch
• Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur die Fläche, also der Inhalt

4.2 Die Volumenformel der Pyramide

Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.

In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.

Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2:

_________________________

=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!

Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei www.realmath.de):

Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.

=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel "Grundfläche mal Höhe" (G * h)

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel "Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe" (1/3 * G * h)

4.3 Übungen

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen, ob du das Thema Pyramide (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.

Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!

Übung 1:

Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen. Eine Skizze kann jedoch hilfreich sein.

Eine gerade Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.
Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.
Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?

Überprüfe deine Lösung:
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von 4 (in m).

Übung 2:

Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben (Maße in cm):

Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben:
(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)

1. Berechne die Grundfläche G!
2. Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
3. Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?

(Teilergebnisse: = 10,20cm ; = 12,37cm)

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit zwei Stellen nach dem Komma angeben, also in der Form x,xx):
Die Grundfläche G beträgt 8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!), die Mantelfläche M dagegen 80,29 (in cm²).
Die Oberfläche O ist somit 88,29 (in cm²) groß.
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt 34,46 (in °).

Klappe mit Hilfe des Schiebereglers die Pyramide auf, und ordne die Farben richtig zu:
Die Grundfläche ist blau gefärbt. Die Pyramidenseite vorne ist rosa, die rechte
Seite ist braun und die hinten liegende Seite ist dementsprechend grün.