Shoes and Socks

==Aussage==

Sei <math>(G,\cdot)</math> eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle <math> x, a, b \in G </math>:
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==Beweis==

1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements
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2. Shoes and Socks
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==Aspekte==

*Wir können die Aussage (2) auch nachrechnen:
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:Somit ist <math> (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e </math>, d.h.  <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> ist ein rechtsinverses Element von <math> (a \cdot b) </math>.
:Wir wissen (siehe [[Abschwächung der Gruppendefinition|Abschwächung der Gruppendefinition]]), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h. <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> muss auch linksinverses Element von   <math> (a \cdot b) </math> sein.
:Genauso wissen wir mit der Aussage über die [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe]], dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> das einzige zu <math> (a \cdot b) </math> inverse Element.

*Genauso gilt:
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:Wir können die Aussage so lesen: <math> x </math> ist linksinvers zu <math> x^{-1} </math>. Genauso können wir die Aussage auch so lesen: <math> x^{-1} </math> ist rechtsinvers zu <math> x </math>.
:Also ist <math> x </math> das inverse Element von <math> x^{-1} </math>, denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben  [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|(Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe)]].

*Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man <math> a </math> für "Socken anziehen" und <math> b </math> für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen" <math> b^{-1} </math> und dann kann man die "Socken ausziehen" <math> a^{-1} </math>.



[[Kategorie:Beweis Gruppe|Beweis]]