Doppelte Invertierung eines Gruppenelements/Shoes and Socks

Aussage

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle $x, a, b \in G$:

Beweis

1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements

2. Shoes and Socks

Aspekte

• Wir können die Aussage (2) auch nachrechnen:

Somit ist $(a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e$, d.h. $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ ist ein rechtsinverses Element von $(a \cdot b)$.

Wir wissen (siehe Abschwächung der Gruppendefinition), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h. $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ muss auch linksinverses Element von $(a \cdot b)$ sein.

Genauso wissen wir mit der Aussage über die Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe, dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ das einzige zu $(a \cdot b)$ inverse Element.

• Genauso gilt:

Wir können die Aussage so lesen: $x$ ist linksinvers zu $x^{-1}$. Genauso können wir die Aussage auch so lesen: $x^{-1}$ ist rechtsinvers zu $x$.

Also ist $x$ das inverse Element von $x^{-1}$, denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben (Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe).

• Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man $a$ für "Socken anziehen" und $b$ für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen" $b^{-1}$ und dann kann man die "Socken ausziehen" $a^{-1}$.