Flächeninhalt ebener Figuren- Teil 2: Unterschied zwischen den Versionen

Aus DMUW-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Vertiefen und Erweitern: Fragen eingefügt)
 
(34 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
_Notoc_
+
__NOTOC__
 
==Flächeninhalt Dreieck==
 
==Flächeninhalt Dreieck==
  
−
----
+
 
 
===Einstieg===
 
===Einstieg===
 +
[[Bild:Ebert_MotivatorDreieck.jpg|center]]
 +
  
  
−
----
 
  
 
===Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur===  
 
===Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur===  
Zeile 14: Zeile 15:
 
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
{| <br>
 
{| <br>
−
| <ggb_applet height="400" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutung.ggb"/>||'''Aufgabenstellung:''' <br>  
+
'''''Aufgabenstellung:''''' <br>  
−
Ziehe am Eckpunkt C des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.  
+
* '''Ziehe beliebig ''am Eckpunkt C'' des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.'''
−
# Wann wird der Flächeninhalt größer?
+
* '''Zeige für die Fragen die vier Geraden an und variiere wieder den Eckpunkt C.'''  <br>  
−
# Wann wird der Flächeninhalt kleiner?
+
| <ggb_applet height="500" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutungneu.ggb"/>||
−
# Wann ändert sich der Flächeninhalt kaum, bzw. gar nicht?
+
<quiz display="simple">
−
# Auf welcher Linie musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?
+
−
<br>
+
−
Lösung
+
  
−
|}
+
{'''Wann wird der Flächeninhalt größer'''?}
−
  </div>
+
+ je weiter weg man C  von der '''Geraden AB''' bewegt.
 +
- je näher man C  zur '''Geraden AB''' bewegt.
 +
   
  
−
====2. Teil: TITEL ====
+
{'''Auf welcher Geraden musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?'''}
 +
- C wird auf der '''<span style="color: blue">Senkrechten</span> zur Geraden AB'''  bewegt
 +
+ C wird auf der '''<span style="color: red">Parallelen</span> zur Geraden AB''' bewegt
 +
- C wird auf der <span style="color: green">'''grünen Geraden'''</span> bewegt
 +
 
 +
</quiz>
 +
''kein Punkt:'' Schaue Dir die Animation genauer an <br>
 +
''1 Punkt:'' Das hast Du schon gut gelöst!  <br>
 +
''2 Punkte:''Das hast Du sehr gut gemacht! Du  kannst jetzt mit dem nächsten Abschnitt fortfahren!
 +
<br>
  
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{| <br>
 
−
| <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutung2.ggb"/>||'''Aufgabenstellung:'''
 
−
# Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
 
−
# Welche Eigenschaft besitzt die Linie, auf der sich C bewegt?
 
−
Lösung:
 
 
|}
 
|}
 
  </div>
 
  </div>
  
  
−
----
+
====2. Teil: Wir vermuten weiter ====
  
−
===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks===
 
−
<br>
 
−
'''Mathematik''' scheint manchmal '''wie Zauberei'''...Warum?? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.
 
−
<br>
 
−
====Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?====
 
−
 
−
<br> Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.
 
−
<br> Doch, wie könnte man das nur machen? <br>
 
−
In diesem Applet siehst Du das Dreieck ABC.
 
 
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
{| <br>
 
{| <br>
−
  | <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckErgänzung.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''  
+
# '''''Ziehe am Eckpunkt <span style="color: blue">B</span>. Beobachte, wie sich die <span style="color: blue">Grundseite</span> verändert.'''''
−
# Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3
+
# '''''Beobachte während Du die <span style="color: blue">Länge der Grundseite</span> veränderst, wie sich der <span style="color: red">Flächeninhalt</span> verhält'''''
−
# Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?
+
| <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_Vermutung2besser.ggb"/>||
−
|}
+
'''''Aufgabenstellung:''''' Hinweis {{versteckt|Die Längen sind im Applet in Zentimetern angegeben}}
−
</div>
+
<quiz display="simple">
  
 +
{'''<span style="color: blue">Vergrößere die Grundseite</span>, was passiert mit dem <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''}
 +
+Der Flächeninhalt wird größer.
 +
-Der Flächeninhalt wird kleiner.
 +
-Der Flächeninhalt ändert sich nicht.
  
−
'''Leite daraus die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!''' <br>
 
−
Bedenke, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast
 
−
<br>
 
−
'''Aufgabenstellung:''' Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.
 
  
 +
{'''<span style="color: green">Verkleinere die Höhe,</span> was passiert mit dem <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''}
 +
-Der Flächeninhalt wird größer.
 +
+Der Flächeninhalt wird kleiner.
 +
-Der Flächeninhalt ändert sich nicht.
  
 +
{'''Stelle die <span style="color: green">Höhe auf 4cm</span> ein und die Länge der <span style="color: blue">Grundseite auf 1cm</span>. Wie groß ist der <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''}
 +
-Der Flächeninhalt beträgt 3 cm²
 +
-Der Flächeninhalt beträgt 4 cm²
 +
+Der Flächeninhalt beträgt 2 cm²
  
−
 
+
{ '''Wie lang muss die <span style="color: green">Höhe</span> sein, wenn der <span style="color: red">Flächeninhalt  9cm²</span> und die <span style="color: blue">Grundseite  6cm</span> ist?'''}
−
 
+
+Die Länge der Höhe ist 3cm
−
Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.
+
-Die Länge der Höhe ist 4cm
−
 
+
-Die Länge der Höhe ist 2cm
−
'''Begründe,''' warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann.<br>
+
</quiz>
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
''0-1 Punkt: Bitte bearbeite die Aufgabe nochmals.'' <br>
−
'''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort!
+
''2-3 Punkte: Das hast Du schon recht gut gemeistert!''<br>
−
Ausgehend vom '''Parallelogramm''' lässt sich die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten, indem man ein Parallelogramm geeignet halbiert. Man halbiert hier dies entlang einer '''Diagonalen'''.
+
''4  Punkte: Prima! Du bist richtig gut!
−
Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''', also dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb(4 geteilt durch 2)''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben '''Grundseite''' und '''Höhe (vier Buchstaben)'''.
+
''
−
</div>
+
−
 
+
−
====Sicherung====
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
'''Übertrage den roten Merkkasten in dein Heft, damit Du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke auch Zuhause nachschauen kannst:'''
+
−
<br>
+
−
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
{|
+
−
'''Merke:'''<br>
+
−
|Den <span style="color:#EE0000 ">Flächeninhalt des Dreiecks</span> berechnet man durch:<br>
+
−
F<sub>Dreieck</sub> = <math>{1 \over 2} \cdot g \cdot h</math> <br>
+
−
mit <span style="color:#EE0000 ">'''g als Grundseite'''</span> und <span style="color:#EE0000 ">'''h als der dazugehörigen Höhe'''.
+
−
|</span>
+
 
|}
 
|}
−
</div>
+
</div>
−
 
+
−
 
+
  
 
----
 
----
  
−
===Vertiefen und Erweitern===
+
[[Bild:Ebert_Loballgemein.jpg|250px]]
−
<br>
+
−
Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann.
+
−
Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz. <br>
+
−
'''Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen. '''
+
−
Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.
+
−
<br>
+
−
====Herleitungsidee 2====
+
−
<br>
+
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
{| <br>
+
−
|<ggb_applet height="400" width="560" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe1ggb.ggb"/>||
+
−
'''Aufgabenstellung:'''
+
−
#'''Wie''' wurde das Dreieck '''zerleg'''t?
+
−
#'''Welche Figur''' ensteht?
+
−
#Wie erhält man die Figur?
+
−
#Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
+
−
#'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?
+
−
#Welche Länge besitzt ihre Grundseite?
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
----
+
−
</div>
+
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
{| <br>
+
−
|<ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe2.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
+
−
#Wie wurde das Dreieck zerlegt?
+
−
#'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung?
+
−
#'''Wie''' entsteht diese Figur?
+
−
#Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht?
+
−
#Welche '''Höhe''' besitzt die '''neue Figur''' im Vergleich zum Dreieck
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
----
+
  
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
→'''''Hier geht es weiter zu den...'''''
−
{| <br>
+
[[Höhen im Dreieck]]
−
|<ggb_applet height="450" width="560" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe3.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
+
−
#'''Wie''' wurde das Dreieck '''zerlegt'''?
+
−
#'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung?
+
−
#Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
+
−
#'''Welche Höhe''' besitzt die erhaltene Figur?
+
−
#'''Zeige''', dass die '''Grundseite der neuen Figur halb so lang '''ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
 
+
−
----
+

Aktuelle Version vom 19. Dezember 2009, 18:24 Uhr

Flächeninhalt Dreieck

Einstieg

Ebert MotivatorDreieck.jpg



Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur

1. Teil: Wie ändert sich der Flächeninhalt?


Aufgabenstellung:
  • Ziehe beliebig am Eckpunkt C des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
  • Zeige für die Fragen die vier Geraden an und variiere wieder den Eckpunkt C.

1. Wann wird der Flächeninhalt größer?

je weiter weg man C von der Geraden AB bewegt.
je näher man C zur Geraden AB bewegt.

2. Auf welcher Geraden musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?

C wird auf der Senkrechten zur Geraden AB bewegt
C wird auf der Parallelen zur Geraden AB bewegt
C wird auf der grünen Geraden bewegt

Punkte: 0 / 0

kein Punkt: Schaue Dir die Animation genauer an
1 Punkt: Das hast Du schon gut gelöst!
2 Punkte:Das hast Du sehr gut gemacht! Du kannst jetzt mit dem nächsten Abschnitt fortfahren!


2. Teil: Wir vermuten weiter

  1. Ziehe am Eckpunkt B. Beobachte, wie sich die Grundseite verändert.
  2. Beobachte während Du die Länge der Grundseite veränderst, wie sich der Flächeninhalt verhält

Aufgabenstellung: Hinweis

Die Längen sind im Applet in Zentimetern angegeben

1. Vergrößere die Grundseite, was passiert mit dem Flächeninhalt?

Der Flächeninhalt wird größer.
Der Flächeninhalt wird kleiner.
Der Flächeninhalt ändert sich nicht.

2. Verkleinere die Höhe, was passiert mit dem Flächeninhalt?

Der Flächeninhalt wird größer.
Der Flächeninhalt wird kleiner.
Der Flächeninhalt ändert sich nicht.

3. Stelle die Höhe auf 4cm ein und die Länge der Grundseite auf 1cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?

Der Flächeninhalt beträgt 3 cm²
Der Flächeninhalt beträgt 4 cm²
Der Flächeninhalt beträgt 2 cm²

4. Wie lang muss die Höhe sein, wenn der Flächeninhalt 9cm² und die Grundseite 6cm ist?

Die Länge der Höhe ist 3cm
Die Länge der Höhe ist 4cm
Die Länge der Höhe ist 2cm

Punkte: 0 / 0

0-1 Punkt: Bitte bearbeite die Aufgabe nochmals.
2-3 Punkte: Das hast Du schon recht gut gemeistert!
4 Punkte: Prima! Du bist richtig gut!

Ebert Loballgemein.jpg

→Hier geht es weiter zu den... Höhen im Dreieck

Von „http://dmuw.zum.de/index.php?title=Lernpfade/Flächeninhalt_ebener_Figuren/Flächeninhalt_ebener_Figuren-_Teil_2&oldid=10412“