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| | ==Flächeninhalt Dreieck== | | ==Flächeninhalt Dreieck== |
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| | ===Einstieg=== | | ===Einstieg=== |
| | + | [[Bild:Ebert_MotivatorDreieck.jpg|center]] |
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| | ===Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur=== | | ===Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur=== |
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| | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | {| <br> | | {| <br> |
| − | | <ggb_applet height="400" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutung.ggb"/>||'''Aufgabenstellung:''' <br>
| + | '''''Aufgabenstellung:''''' <br> |
| − | Ziehe am Eckpunkt C des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert. <br> | + | * '''Ziehe beliebig ''am Eckpunkt C'' des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.''' |
| | + | * '''Zeige für die Fragen die vier Geraden an und variiere wieder den Eckpunkt C.''' <br> |
| | + | | <ggb_applet height="500" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutungneu.ggb"/>|| |
| | <quiz display="simple"> | | <quiz display="simple"> |
| | | | |
| − | {Wann wird der Flächeninhalt größer?} | + | {'''Wann wird der Flächeninhalt größer'''?} |
| − | - je näher man C zur Seite [AB] bewegt. Das Dreieck ist dabei NICHT stumpfwinklig.
| + | + je weiter weg man C von der '''Geraden AB''' bewegt. |
| − | + je weiter weg man C von der Seite [AB] bewegt. Das Dreieck ist dabei NICHT stumpfwinklig. | + | - je näher man C zur '''Geraden AB''' bewegt. |
| − | + je weiter weg man C senkrecht von der '''Geraden <math> \overline {AB} </math>''' bewegt.
| + | |
| − | - je weiter weg man C senkrecht zur '''Geraden <math> \overline {AB} </math>''' bewegt. | + | |
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| − | {Wann wird der Flächeninhalt kleiner?}
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| − | + je näher man C zur Seite [AB] bewegt. Das Dreieck ist dabei NICHT stumpfwinklig.
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| − | - je weiter weg man C von der Seite [AB] bewegt. Das Dreieck ist dabei NICHT stumpfwinklig.
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| − | - je weiter weg man C senkrecht von der '''Geraden <math> \overline {AB} </math>''' bewegt.
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| − | + je weiter weg man C senkrecht zur '''Geraden <math> \overline {AB} </math>''' bewegt.
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| − |
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| − | {Wann ändert sich der Flächeninhalt kaum, bzw. gar nicht?}
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| − | + C wird nicht verändert
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| − | - Der Eckpunkt C nähert sich senkrecht der Seite [AB]
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| − | + C bewegt sich auf einer Strecke, parallel zur Seite [AB]
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| − | {Auf welcher Linie musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?} | + | {'''Auf welcher Geraden musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?'''} |
| − | - C wird auf der Senkrechten zur Grundseite [AB ] bewegt | + | - C wird auf der '''<span style="color: blue">Senkrechten</span> zur Geraden AB''' bewegt |
| − | + C wird auf einer Parallelen zur Grundseite [AB] bewegt | + | + C wird auf der '''<span style="color: red">Parallelen</span> zur Geraden AB''' bewegt |
| | + | - C wird auf der <span style="color: green">'''grünen Geraden'''</span> bewegt |
| | | | |
| | </quiz> | | </quiz> |
| | + | ''kein Punkt:'' Schaue Dir die Animation genauer an <br> |
| | + | ''1 Punkt:'' Das hast Du schon gut gelöst! <br> |
| | + | ''2 Punkte:''Das hast Du sehr gut gemacht! Du kannst jetzt mit dem nächsten Abschnitt fortfahren! |
| | <br> | | <br> |
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| | </div> | | </div> |
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| − | ====2. Teil: TITEL ====
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| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | ====2. Teil: Wir vermuten weiter ==== |
| − | {| <br>
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| − | | <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutung2.ggb"/>||'''Aufgabenstellung:'''
| + | |
| − | # Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
| + | |
| − | # Welche Eigenschaft besitzt die Linie, auf der sich C bewegt?
| + | |
| − | {{Lösung versteckt| C bewegt sich auf der Parallelen zur Grundseite [AB]. Ihr Abstand entspricht der Höhe im Dreieck!}}
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| − | |}
| + | |
| − | </div>
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| − | ===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks===
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| − | <br>
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| − | '''Mathematik''' scheint manchmal '''wie Zauberei'''...Warum?? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.
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| − | <br>
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| − | ====Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?====
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| − |
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| − | <br> Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.
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| − | <br> Doch, wie könnte man das nur machen? <br>
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| − | In diesem Applet siehst Du das Dreieck ABC. Bearbeite die nebenstehende Aufgabenstellung.
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| − | <br>
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| | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | {| <br> | | {| <br> |
| − | | <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckErgänzung.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:''' | + | # '''''Ziehe am Eckpunkt <span style="color: blue">B</span>. Beobachte, wie sich die <span style="color: blue">Grundseite</span> verändert.''''' |
| − | # Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3.
| + | # '''''Beobachte während Du die <span style="color: blue">Länge der Grundseite</span> veränderst, wie sich der <span style="color: red">Flächeninhalt</span> verhält''''' |
| − | # Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?
| + | | <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_Vermutung2besser.ggb"/>|| |
| − | |} | + | '''''Aufgabenstellung:''''' Hinweis {{versteckt|Die Längen sind im Applet in Zentimetern angegeben}} |
| − | </div> | + | <quiz display="simple"> |
| | | | |
| | + | {'''<span style="color: blue">Vergrößere die Grundseite</span>, was passiert mit dem <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''} |
| | + | +Der Flächeninhalt wird größer. |
| | + | -Der Flächeninhalt wird kleiner. |
| | + | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. |
| | | | |
| − | '''Leite daraus die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!''' <br>
| |
| − | Bedenke, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast
| |
| − | <br>
| |
| − | '''Aufgabenstellung:''' Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.
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| − | <br>
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| − | Gesucht: F<sub>Dreieck</sub> <br>
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| | | | |
| − | F<sub>Dreieck</sub> = ??<br>
| + | {'''<span style="color: green">Verkleinere die Höhe,</span> was passiert mit dem <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''} |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | -Der Flächeninhalt wird größer. |
| − | '''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = g <math>\cdot</math> h <br> | + | +Der Flächeninhalt wird kleiner. |
| − | F<sub>Parallelogramm</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub> + F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
| + | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. |
| − | F<sub>Parallelogramm</sub> = '''2 '''<math>\cdot</math> F<sub>Dreieck</sub><br>
| + | |
| − | '''g <math>\cdot</math> h''' = 2 <math>\cdot</math> F<sub>Dreieck</sub><br>
| + | |
| − | '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g <math>\cdot</math> h ''' = F<sub>Dreieck</sub> <br>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| | | | |
| − | Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.
| + | {'''Stelle die <span style="color: green">Höhe auf 4cm</span> ein und die Länge der <span style="color: blue">Grundseite auf 1cm</span>. Wie groß ist der <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''} |
| − | <br> | + | -Der Flächeninhalt beträgt 3 cm² |
| − | <br> | + | -Der Flächeninhalt beträgt 4 cm² |
| | + | +Der Flächeninhalt beträgt 2 cm² |
| | | | |
| − | | + | { '''Wie lang muss die <span style="color: green">Höhe</span> sein, wenn der <span style="color: red">Flächeninhalt 9cm²</span> und die <span style="color: blue">Grundseite 6cm</span> ist?'''} |
| − | | + | +Die Länge der Höhe ist 3cm |
| − | '''Begründe,''' warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann.<br> | + | -Die Länge der Höhe ist 4cm |
| − | | + | -Die Länge der Höhe ist 2cm |
| − | <div class="lueckentext-quiz"> | + | </quiz> |
| − | In dem Modell, das für die Herleitung der Flächeninhaltsformel hilfreich war, wurde die '''Ergänzungsgleichheit''' genutzt.
| + | ''0-1 Punkt: Bitte bearbeite die Aufgabe nochmals.'' <br> |
| − | Man '''ergänzt''' das Dreieck mit einem, zu diesem Dreieck, '''kongruenten zweiten Dreieck''' zu einem '''Parallelogramm'''. Dieses besitzt dieselbe '''Länge''' der Grundseite und dieselbe '''Länge der Höhe''', wie das Ausgangsdreieck. Somit lässt sich Der '''Flächeninhalt''' des Parallelogramms berechnen. Da sich die '''Gesamtfläche des Parallelogramms''' aus den '''zwei Teilflächen''' der zueinander kongruenten '''Dreiecke''' zusammensetzt ist ein Dreieck damit '''halb so groß''' wie das Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe.
| + | ''2-3 Punkte: Das hast Du schon recht gut gemeistert!''<br> |
| − | </div>
| + | ''4 Punkte: Prima! Du bist richtig gut! |
| − | <br>
| + | '' |
| − | <br>
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''Aber nicht nur durch das Prinzip der Ergänzung kann man die Flächeninhaltsformel herleiten Ein ähnliches Prinzip hast Du auch schon kennen gelernt.''' '''Fülle den folgenden Lückentext aus. '''
| + | |
| − | <br> | + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | '''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort! | + | |
| − | Ausgehend vom '''Parallelogramm''' lässt sich die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten, indem man ein Parallelogramm geeignet halbiert. Man halbiert hier dies entlang einer '''Diagonalen'''.
| + | |
| − | Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''', also dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb(4 geteilt durch 2)''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben '''Grundseite''' und '''Höhe (vier Buchstaben)'''.
| + | |
| − | </div>
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| − | <br>
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| − | | + | |
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| − | Wie Du siehst gibt es '''mehrere Ansatzmöglichkeiten''', um ein Problem, wie die Suche nach der Flächeninhaltsformel zu lösen.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | Mit dem '''Prinzip der Ergänzungsgleichheit''' geht man von dem '''unbekannten Flächeninhalt (Dreieck) '''aus und versucht die Figur geeignet zu ergänzen , um sich die '''bekannte Flächeninhaltsformel (des Parallelogramms)'''zu nutze zu machen.
| + | |
| − | <br> | + | |
| − | Beim '''Prinzip der Zerlegungsgleichheit''' geht man von einer bereits bekannten Flächeninhaltsformel (Parallelogramm) aus und versucht durch geeignete Zerlegung, die '''unbekannte Formel zu ermitteln.'''
| + | |
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| − | </div> | + | </div> |
| − | <br>
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| − | ====Zusammenfassung====
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| − | <br>
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| − | <br>
| + | |
| − | '''Übertrage den roten Merkkasten in dein Heft, damit Du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke auch Zuhause nachschauen kannst:'''
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| − | <br>
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| − | <div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | '''Merke:'''<br>
| + | |
| − | |Den <span style="color:#EE0000 ">Flächeninhalt des Dreiecks</span> berechnet man durch:<br>
| + | |
| − | F<sub>Dreieck</sub> = <math>{1 \over 2} \cdot g \cdot h</math> <br>
| + | |
| − | mit <span style="color:#EE0000 ">'''g als Grundseite'''</span> und <span style="color:#EE0000 ">'''h als der dazugehörigen Höhe'''.
| + | |
| − | |</span> <br>
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_MerkbildDreieck.jpg|center]]<br>
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| − | </div>
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| − | ===Vertiefen und Erweitern===
| + | [[Bild:Ebert_Loballgemein.jpg|250px]] |
| − | <br>
| + | |
| − | Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann.
| + | |
| − | Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz. <br>
| + | |
| − | '''Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen. '''
| + | |
| − | Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | ====Herleitungsidee 2====
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | |<ggb_applet height="500" width="560" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe1ggb.ggb"/>||
| + | |
| − | '''Aufgabenstellung:''' <br>
| + | |
| − | 1.'''Wie''' wurde das Dreieck '''zerlegt'''? {{Lösung versteckt |Man zeichnet die Mittelparallele des Dreiecks zur Grundseite ein und schneidet diese mit der Höhe zu dieser Grundseite. }} <br>
| + | |
| − | 2.'''Welche Figur''' ensteht? {{Lösung versteckt |Es entsteht ein Rechteck}}<br>
| + | |
| − | 3.Wie erhält man die Figur? {{Lösung versteckt |Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung}}<br>
| + | |
| − | 5.Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?{{Lösung versteckt |Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung. }}<br>
| + | |
| − | 6.'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?{{Lösung versteckt |Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks}}<br>
| + | |
| − | 7.Welche Länge besitzt ihre Grundseite?{{Lösung versteckt |Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.}}
| + | |
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| + | →'''''Hier geht es weiter zu den...''''' |
| − | </div>
| + | [[Höhen im Dreieck]] |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | : '''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
| + | |
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| − | : F<sub>Rechteck</sub> = g <math>\cdot</math> h<sub>2</sub> <br>
| + | |
| − | : Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Rechteck</sub> = F<sub>Dreieck</sub> <br>
| + | |
| − | : Für die Höhen gilt:
| + | |
| − | :h<sub>2</sub> = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> h<sub>1</sub><br>
| + | |
| − | : Einsetzen in Formel für Rechteck: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Dreieck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> g <math>\cdot</math> h<sub>1</sub>
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| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | |<ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe2.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
| + | |
| − | 1. Wie wurde das Dreieck zerlegt? {{Lösung versteckt | Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten eingezeichnet. }}
| + | |
| − | 2.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung? {{Lösung versteckt | Es enstekt ein Paralellogramm}}
| + | |
| − | 3.'''Wie''' entsteht diese Figur? {{Lösung versteckt | Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm}}
| + | |
| − | 4. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht? {{Lösung versteckt | Das kleine Teildreieck wird um 180 ° um einen Seitenmittelpunkt gedreht.Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt.}}
| + | |
| − | 5. Welche '''Höhe''' besitzt die '''neue Figur''' im Vergleich zum Dreieck {{Lösung versteckt | Die Höhe des Parallelogramms ist halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks. Das Paralellogramm besitzt aber die gleiche Länge der Grundseite}}
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | : '''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
| + | |
| − | | + | |
| − | : F<sub>Parallelogramm</sub> = g <math>\cdot</math> h<sub>2</sub> <br>
| + | |
| − | : Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Parallelogrammk</sub> = F<sub>Dreieck</sub> <br>
| + | |
| − | : Für die Höhen gilt:
| + | |
| − | :h<sub>2</sub> = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> h <br>
| + | |
| − | : Einsetzen in Formel für Parallelogramm: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Dreieck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> g <math>\cdot</math> h
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :Wie Du siehst sind ähneln sich diese beiden Herleitungsideen. In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit '''gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe'''.
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | ----
| + | |
| − | : Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird. <br>
| + | |
| − | : Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:
| + | |
| − | | + | |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | |<ggb_applet height="450" width="580" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe3.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
| + | |
| − | | + | |
| − | 1.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung? {{Lösung versteckt | Es entsteht ein Rechteck }}
| + | |
| − | 2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? {{Lösung versteckt |Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung}}
| + | |
| − | 3.'''Welche Höhe''' besitzt die erhaltene Figur? {{Lösung versteckt | Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks}}
| + | |
| − | 4.'''Zeige''', dass die '''Grundseite g der neuen Figur halb so lang '''ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
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| − | : '''Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?'''
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | F<sub>Rechteck</sub> = g<sub>Rechteck</sub> <math>\cdot</math> h <br>
| + | |
| − | : Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Rechteck</sub> = F<sub>Dreieck</sub> <br>
| + | |
| − | : Für die Grundseiten gilt:
| + | |
| − | :g<sub>Rechteck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g<sub>Dreieck</sub><br>
| + | |
| − | : Einsetzen in Formel für Rechteck: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Dreieck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> g<sub>Dreieck</sub> <math>\cdot</math> h
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
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| − | ====Übung====
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| − | :In dieser Tabelle sind einige Maße von verschiedenen Dreiecken angegeben, andere Maße fehlen. <br>
| + | |
| − | :'''Arbeitsauftrag:'''
| + | |
| − | :<br> Berechne die fehlenden Werte und fülle die Lücken aus. Ordne auch das passende Dreieck zu.
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| − | <br>
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| − | ====Weitere Übungsaufgaben findest Du unterm dem folgenden Link:====
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