Die Normalparabel stellt sich vor: Unterschied zwischen den Versionen

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Wie du dir sicher denken kannst, kann man die Normalparabel auch als Funktion darstellen.
 
Wie du dir sicher denken kannst, kann man die Normalparabel auch als Funktion darstellen.
  
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Um nähreres über die Funktionsvorschrift zu erfahren, bearbeite die Station 2.
  
  
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In der aufgeführten Normalparabel kannst du die Punkte zum erstellen einer Wertetabelle erkennen.  
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In der aufgeführten Normalparabel kannst du die Punkte zum Erstellen einer Wertetabelle erkennen.  
  
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a) Nehme ein Blatt Papier und suche für die folgenden x-Werte die zugehörigen y-Werte und stelle eine Wertetabelle auf für:
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a) Nehme ein Blatt Papier und suche für die folgenden x-Werte die zugehörigen y-Werte und stelle eine Wertetabelle auf:
  
 
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b) Was fällt dir beim y-Wert im Bezug zum x-Wert auf?  
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b) Kannst du einen Zusammenhang zwischen dem x-Wert und dem y-Wert feststellen? Wenn ja, welchen? <br>
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Eine Aussage stimmt!
 
Eine Aussage stimmt!
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* Der y-Wert entsteht aus dem Quadrat des x-Wertes: f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup> }}
 
* Der y-Wert entsteht aus dem Quadrat des x-Wertes: f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup> }}
  
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Der y-Wert ist immer das Quadrat des x-Wertes: f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>}}
 
Der y-Wert ist immer das Quadrat des x-Wertes: f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>}}
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Da sich jeder y-Wert aus dem Quadrat des x-Wertes ergibt, nennt man die Normalparabel auch '''quadratische Funktion'''.
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Als nächstes wollen wir die Eigenschaften der Normalparabel erarbeiten.
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Bearbeite dafür das folgende Arbeitsblatt:   
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! Normalparabel f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup> !! Aufgabenstellung und Lückentext:
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| <ggb_applet height="500" width="400" showResetIcon="true" filename="Normalparabel.ggb" /> ||
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'''Aufgabenstellung:''' <br>
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Betrachte die folgende Grafik und versuche den Lückentext mit den vorgegebenen Hilfen zu lösen. Ziehe dafür die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die Felder.
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'''Los geht’s!! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>
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Anders als bei den linearen Funktionen ist die Steigung der Normalparabel  '''nicht konstant'''. <br>
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Es lässt sich feststellen, dass die Normalparabel symmetrisch zur '''y-Achse''' und nach oben '''geöffnet''' ist. <br>
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Daraus kann man folgern, dass alle Funktionswerte größer oder gleich '''0''' sind. <br>
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Die Normalparabel besitzt zudem einen tiefsten Punkt im '''Koordinatenursprung''' bei Punkt '''S''' <math>(0\!\,|\!\,0)</math>. <br>
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Dieser Punkt wird als '''Scheitelpunkt S''' oder kurz '''Scheitel''' bezeichnet. 
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Damit kennst du nun die wichtigsten Eigenschaften der Normalparabel.
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Wir wollen Sie nochmal zusammenfassen!!
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{{Merke|'''Die Normalparabel:'''
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* Ist eine Parabel mit der Funktionsgleichung '''f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>'''
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* Sie hat eine '''nicht konstante Steigung'''
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* Ihr Graph ist '''symmetrisch''' zur y-Achse und nach '''oben''' geöffnet
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* Der tiefste Punkt ist der '''Scheitelpunkt S''' welcher im Koordinatenursprung bei Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> liegt.
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Du kennst zwar schon die Eigenschaften der Normalparabel, aber eine Eigenschaft soll genauer herausgehoben werden. Dazu musst du eine kleine Kniffelaufgabe lösen. Keine Angst, sie ist nicht allzu schwer.
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Nehme einen Stift und ein Blatt zur Hand und überprüfe welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und gebe ein Beispiel für x = 2 an. Was stellst du fest?
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Betrachtet werden soll natürlich die quadratische Funktion f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup> <br>
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'''Tipp!!'''
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Es geht um die Symmetrieeigenschaft der Normalparabel.
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[[Bild: Kniffelaufgabe1.jpg]]
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'''Hilfe:''' Falls du Probleme hast ein Beispiel aufzustellen, findest du hier eine Hilfestellung: <br>
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* '''-f(x)<math>=</math>-f(2)<math>=</math>-(x)<sup>2</sup><math>=</math>-(2)<sup>2</sup><math>=</math>-4'''          ist ungleich zu            '''f(x)<math>=</math>f(2)<math>=</math>(x)<sup>2</sup><math>=</math>2<sup>2</sup><math>=</math>4'''
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[[Bild: Kniffelaufgabe2.jpg]]
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Wie du hoffentlich herausgefunden hast, ist das einzig richtige Ergebnis: '''f(-x)<math>=</math>f(x)''' <br>
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Warum ist das so? <br>
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Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Normalparabel wird jedem x-Wert egal ob positiv oder negativ, der gleiche y-Wert zugeordnet. 
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{{Merke|Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Normalparabel gilt:
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Hier ist nun die Einführung der Normalparabel als die einfachste Form der quadratischen Funktion abgeschlossen.
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In den folgenden Lerneinheiten wird dann mit dieser Parabel gearbeitet. Neue Parameter werden die Normalparabel verändern, aber siehe selbst!!

Aktuelle Version vom 23. Dezember 2009, 04:20 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Die Normalparabel stellt sich vor


In diesem Lernpfad lernst du die einfachste Form der quadratischen Funktion kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

  • Entdecken der Normalparabel
  • Die Normalparabel als Funktionsvorschrift
  • Eigenschaften der Normalparabel erkunden
  • Besondere Eigenschaft der Normalparabel


Auf gehts:

Eine neue Klasse von Funktionen stellt sich vor!

Hast du schon mal was von der Parabel gehört?


Vielleicht kennst du ja schon die Parabel, falls nicht, versuche durch Zuordnung die Normalparabel zu entdecken.


Tipps:

- Zwei der drei dargestellten Grafiken müssten dir bekannt sein!

- Ziehe durch festhalten mit der linken Maustaste die vorgegebenen Lösungen aus dem blauen Feld zur passenden Vorgabe aus den grauen Feldern.



STATION 1: Entdecken der Normalparabel


Normalparabel-Station1.jpg Normalparabel
Lineare-Funktion.jpg Lineare Funktion
F(x)=0,5x.jpg f(x)= 0,5x


Super! Nun weißt du wie die Normalparabel aussieht, wenn du es nicht schon längst gewusst hast.

Wie du dir sicher denken kannst, kann man die Normalparabel auch als Funktion darstellen.

Um nähreres über die Funktionsvorschrift zu erfahren, bearbeite die Station 2.



STATION 2: Die Normalparabel als Funktionsvorschrift


Normalparabel


Aufgabe:

In der aufgeführten Normalparabel kannst du die Punkte zum Erstellen einer Wertetabelle erkennen.

a) Nehme ein Blatt Papier und suche für die folgenden x-Werte die zugehörigen y-Werte und stelle eine Wertetabelle auf:

  • x1 = 1
  • x2 = -1
  • x3 = 2
  • x4 = -2
  • x5 = 3
  • x6 = -3


Lösung:

Normalparabel


b) Kannst du einen Zusammenhang zwischen dem x-Wert und dem y-Wert feststellen? Wenn ja, welchen?
Falls du garnicht drauf kommen solltest, benutze die Hilfe!


Hilfe:

Eine Aussage stimmt!

  • Der y-Wert ist immer das doppelte des x-Wertes: f(x)=2x
  • Der x-Wert und der y-Wert stehen in keinem Zusammenhang
  • Der y-Wert entsteht aus dem Quadrat des x-Wertes: f(x)=x2


Lösung:

Der y-Wert ist immer das Quadrat des x-Wertes: f(x)=x2







Nuvola apps kig.png   Merke

Die Normalparabel besitzt die Funktionsgleichung der Form: 

                 f(x)=x2

Da sich jeder y-Wert aus dem Quadrat des x-Wertes ergibt, nennt man die Normalparabel auch quadratische Funktion.




STATION 3: Eigenschaften der Normalparabel erkunden


Als nächstes wollen wir die Eigenschaften der Normalparabel erarbeiten.

Bearbeite dafür das folgende Arbeitsblatt:

Normalparabel f(x)=x2 Aufgabenstellung und Lückentext:

Aufgabenstellung:

Betrachte die folgende Grafik und versuche den Lückentext mit den vorgegebenen Hilfen zu lösen. Ziehe dafür die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die Felder.

Los geht’s!! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Anders als bei den linearen Funktionen ist die Steigung der Normalparabel nicht konstant.
Es lässt sich feststellen, dass die Normalparabel symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet ist.
Daraus kann man folgern, dass alle Funktionswerte größer oder gleich 0 sind.
Die Normalparabel besitzt zudem einen tiefsten Punkt im Koordinatenursprung bei Punkt S (0\!\,|\!\,0).
Dieser Punkt wird als Scheitelpunkt S oder kurz Scheitel bezeichnet.


Prima!

Damit kennst du nun die wichtigsten Eigenschaften der Normalparabel.

Wir wollen Sie nochmal zusammenfassen!!


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Normalparabel:

  • Ist eine Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)=x2
  • Sie hat eine nicht konstante Steigung
  • Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet
  • Der tiefste Punkt ist der Scheitelpunkt S welcher im Koordinatenursprung bei Punkt S(0\!\,|\!\,0) liegt.



STATION 4: Besondere Eigenschaft der Normalparabel


KNIFFELAUFGABE:

Du kennst zwar schon die Eigenschaften der Normalparabel, aber eine Eigenschaft soll genauer herausgehoben werden. Dazu musst du eine kleine Kniffelaufgabe lösen. Keine Angst, sie ist nicht allzu schwer.

Nehme einen Stift und ein Blatt zur Hand und überprüfe welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und gebe ein Beispiel für x = 2 an. Was stellst du fest?

Betrachtet werden soll natürlich die quadratische Funktion f(x)=x2

Tipp!!

Es geht um die Symmetrieeigenschaft der Normalparabel.

Kniffelaufgabe1.jpg

Hilfe: Falls du Probleme hast ein Beispiel aufzustellen, findest du hier eine Hilfestellung:

  • -f(x)=-f(2)=-(x)2=-(2)2=-4 ist ungleich zu f(x)=f(2)=(x)2=22=4


Lösung:

Kniffelaufgabe2.jpg

Wie du hoffentlich herausgefunden hast, ist das einzig richtige Ergebnis: f(-x)=f(x)
Warum ist das so?
Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Normalparabel wird jedem x-Wert egal ob positiv oder negativ, der gleiche y-Wert zugeordnet.



Nuvola apps kig.png   Merke

Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Normalparabel gilt: 

             f(-x)=f(x), da (-x)2=(x)2


Hier ist nun die Einführung der Normalparabel als die einfachste Form der quadratischen Funktion abgeschlossen.

In den folgenden Lerneinheiten wird dann mit dieser Parabel gearbeitet. Neue Parameter werden die Normalparabel verändern, aber siehe selbst!!

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