Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | + | Gehe dabei folgendermaßen vor: | |
| − | + | * spiegle den Punkt P an der 1.Mediane y = x (Spiegle Objekt an Geraden). Der dadurch erzeugte Punkt heißt P'. Zeige mit einem Rechtsklick seine Beschriftung an. | |
| − | * | + | * Zeichne eine Strecke von P nach P' ein. |
| − | * | + | * Zeichne den Graph der Umkehrfunktion als Ortslinie von P' (Befehl Ortslinie[P',P] ) |
| − | * | + | Verändere die Basis a und bewege den Punkt P auf dem Graphen der Exponentialfunktion. |
| − | + | Beobachte das Verhalten der beiden Funktionsgraphen und beschreibe in eigenen Worten, was dir auffällt (Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie).}} | |
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| − | ( | + | (Mache einen Doppelklick auf dem Applet, dann erscheint eine neues Fenster, in welchem du arbeiten kannst. |
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Aktuelle Version vom 28. Januar 2010, 15:19 Uhr
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Aufgabe
Konstruiere die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion f(x) = ax im nachfolgenden Applet.Gehe dabei folgendermaßen vor:
Verändere die Basis a und bewege den Punkt P auf dem Graphen der Exponentialfunktion. Beobachte das Verhalten der beiden Funktionsgraphen und beschreibe in eigenen Worten, was dir auffällt (Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie). |
(Mache einen Doppelklick auf dem Applet, dann erscheint eine neues Fenster, in welchem du arbeiten kannst. Wenn du deine Arbeit beendet hast, kannst du das geöffnete Fenster schließen und deine Arbeit speichert sich im Applet.)
Aufgabe
In der obigen Lösung wird bei der Exponentialfunktion f(x) = ax für die Basis a = 1 auch die gespiegelte Gerade gezeichnet. Begründe, warum es sich bei dieser Kurve aber um keinen Graph einer Funktion handeln kann. |
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion hat eine große Bedeutung in der Mathematik und in den Naturwissenschaften und trägt die Bezeichnung Logarithmusfunktion.
 Merke:
Eine Funktion f: R+ → R, f(x) = logax heißt Logarithmusfunktion zur Basis a (a∈R+\{1}) |
Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen
Da das Logarithmieren die Umkehroperation zum Exponenzieren ist, ist dementsprechend die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion. Der Graph einer Logarithmusfunktion geht durch Spiegeln an der 1.Mediane aus dem Graphen der entsprechenden Exponentialfunktion hervor.
