Umkehrfunktion

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Übersicht - Einleitung - Zinseszins - Untersuchung der Exponentialfunktion - Eigenschaften der Exponentialfunktion - Umkehrfunktion - Rechnerische Beziehung - Übungen und Lösung des Arbeitsblattes


Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

  Aufgabe   Stift.gif

Konstruiere die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion f(x) = ax im nachfolgenden Applet.

Gehe dabei folgendermaßen vor:

  • spiegle den Punkt P an der 1.Mediane y = x (Spiegle Objekt an Geraden). Der dadurch erzeugte Punkt heißt P'. Zeige mit einem Rechtsklick seine Beschriftung an.
  • Zeichne eine Strecke von P nach P' ein.
  • Zeichne den Graph der Umkehrfunktion als Ortslinie von P' (Befehl Ortslinie[P',P] )

Verändere die Basis a und bewege den Punkt P auf dem Graphen der Exponentialfunktion. Beobachte das Verhalten der beiden Funktionsgraphen und beschreibe in eigenen Worten, was dir auffällt (Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie).

(Mache einen Doppelklick auf dem Applet, dann erscheint eine neues Fenster, in welchem du arbeiten kannst. Wenn du deine Arbeit beendet hast, kannst du das geöffnete Fenster schließen und deine Arbeit speichert sich im Applet.)


  Aufgabe   Stift.gif

In der obigen Lösung wird bei der Exponentialfunktion f(x) = ax für die Basis a = 1 auch die gespiegelte Gerade gezeichnet. Begründe, warum es sich bei dieser Kurve aber um keinen Graph einer Funktion handeln kann.


Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion hat eine große Bedeutung in der Mathematik und in den Naturwissenschaften und trägt die Bezeichnung Logarithmusfunktion.


Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Funktion f: R+ → R, f(x) = logax heißt Logarithmusfunktion zur Basis a (a∈R+\{1})


Umkehrfunktion Bild.png


Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen

Da das Logarithmieren die Umkehroperation zum Exponenzieren ist, ist dementsprechend die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion. Der Graph einer Logarithmusfunktion geht durch Spiegeln an der 1.Mediane aus dem Graphen der entsprechenden Exponentialfunktion hervor.






Finden wir nun die rechnerische Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion heraus