Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²": Unterschied zwischen den Versionen
K (Satzbau Satzzeichen Rechtschreibung) |
K (Kilian Schoeller verschob Seite Lernpfade/Quadratische Funktionen/Der Graph der quadratischen Funktion g(x) nach Lernpfade/Quadratische Funktionen/Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²", ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen) |
||
(33 dazwischenliegende Versionen von 6 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
{{Lernpfad-M|<big>'''Der Graph der quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"'''</big> | {{Lernpfad-M|<big>'''Der Graph der quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"'''</big> | ||
− | + | __NOCACHE__ | |
− | + | ||
'''In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!''' | '''In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!''' | ||
Zeile 13: | Zeile 12: | ||
In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert. | In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert. | ||
− | + | Dieser Parameter sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen. | |
Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht: | Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht: | ||
Zeile 20: | Zeile 19: | ||
− | Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, | + | Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, wollen wir die Begriffe "Streckung" und "Stauchung" kurz erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist. |
Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe. | Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe. | ||
Zeile 53: | Zeile 52: | ||
{| {{Prettytable}} | {| {{Prettytable}} | ||
|- style="background-color:#8DB6CD" | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
− | ! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext: | + | ! Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
|- | |- | ||
| <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionpositivea.ggb" /> || | | <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionpositivea.ggb" /> || | ||
− | '''Hinweise:''' | + | '''Hinweise:''' |
− | + | ||
+ | * In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau | ||
+ | * Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a | ||
− | '''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der | + | * Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder |
+ | <br> | ||
+ | '''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a im Hinblick auf die Normalparabel? | ||
<br> | <br> | ||
Zeile 68: | Zeile 71: | ||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
Der Vorfaktor a führt zu einer '''Streckung oder Stauchung''' der Normalparabel in '''y-Richtung'''. <br> | Der Vorfaktor a führt zu einer '''Streckung oder Stauchung''' der Normalparabel in '''y-Richtung'''. <br> | ||
− | Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a '''Eins''' ist, denn dann ist | + | Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a '''Eins''' ist, denn dann ist "f(x) = 1x<sup>2</sup> = x<sup>2</sup>" '''identisch''' der Normalparabel. <br> |
− | f(x) = 1x<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> '''identisch''' der Normalparabel. <br> | + | |
Ist a '''>''' 1, so ist der Graph gestreckt. <br> | Ist a '''>''' 1, so ist der Graph gestreckt. <br> | ||
Ist a < 1, so nennt man den Graph '''gestaucht'''. <br> | Ist a < 1, so nennt man den Graph '''gestaucht'''. <br> | ||
− | Außerdem ist die quadratische Funktion f(x) = ax<sup>2</sup> für den positiven Vorfaktor a nach '''oben''' geöffnet und der '''Scheitelpunkt''' S ist '''tiefster''' Punkt mit den Koordinaten <math>(0\!\,|\!\,0)</math>. | + | Außerdem ist die quadratische Funktion "f(x) = ax<sup>2</sup>" für den positiven Vorfaktor a nach '''oben''' geöffnet und der '''Scheitelpunkt''' S ist '''tiefster''' Punkt mit den Koordinaten <math>(0\!\,|\!\,0)</math>. |
</div> | </div> | ||
|} | |} | ||
Zeile 79: | Zeile 81: | ||
{{Merke| | {{Merke| | ||
− | Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>''' mit dem '''positiven''' | + | Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>"''' mit dem '''positiven''' Vorfaktor a gilt: |
* Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung | * Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung | ||
− | * Für '''a <math>=</math> 1''' gilt: Identisch zur Normalparabel, denn '''f(x)<math>=</math> 1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> x<sup>2</sup>''' | + | * Für '''a <math>=</math> 1''' gilt: Identisch zur Normalparabel, denn '''"f(x)<math>=</math> 1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> x<sup>2</sup>"''' |
* Für '''a > 0''' gilt: | * Für '''a > 0''' gilt: | ||
** Der Graph ist nach '''oben''' geöffnet | ** Der Graph ist nach '''oben''' geöffnet | ||
Zeile 91: | Zeile 93: | ||
− | + | Da wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird. | |
Zeile 100: | Zeile 102: | ||
− | + | Bearbeite das folgende '''Quiz''' und lerne die Auswirkungen für den negativen Parameter a kennen. | |
− | Bearbeite das folgende '''Quiz''' und lerne die Auswirkungen | + | |
− | + | ||
{| {{Prettytable}} | {| {{Prettytable}} | ||
|- style="background-color:#8DB6CD" | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
− | ! Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:!! Aufgabe und Quiz: | + | ! Quadratische Funktion "f(x) = ax²", für positiven und negativen Parameter a:!! Aufgabe und Quiz: |
|- | |- | ||
| <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionnegativea.ggb" /> || <div class="multiplechoice-quiz"> | | <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionnegativea.ggb" /> || <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
Zeile 112: | Zeile 112: | ||
'''Aufgabe:''' | '''Aufgabe:''' | ||
− | Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der | + | Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a wenn er negativ wird? |
'''Quiz:''' | '''Quiz:''' | ||
Zeile 118: | Zeile 118: | ||
Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!gar nicht) (!nach oben) (nach unten) | Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!gar nicht) (!nach oben) (nach unten) | ||
− | Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt) | + | Welche Aussage ist für den negativen Vorfaktor a richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt) |
− | Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er | + | Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er bewirkt nur eine Stauchung) (Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung) |
Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht) | Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht) | ||
− | Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel gestreckt? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1) | + | Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestreckt? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1) |
− | Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel gestaucht? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0) | + | Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestaucht? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0) |
</div> | </div> | ||
Zeile 133: | Zeile 133: | ||
{{Merke| | {{Merke| | ||
− | Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>''' mit dem '''negativen''' | + | Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>"''' mit dem '''negativen''' Vorfaktor a gilt: |
* Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der '''Spiegelung''' an der '''x-Achse''' sowie einer '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung | * Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der '''Spiegelung''' an der '''x-Achse''' sowie einer '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung | ||
− | * Für '''a <math>=</math> -1''' gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; '''f(x)<math>=</math>-1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> -x<sup>2</sup>''' | + | * Für '''a <math>=</math> -1''' gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; '''"f(x)<math>=</math>-1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> -x<sup>2</sup>"''' |
* Für '''a < 0''' gilt: | * Für '''a < 0''' gilt: | ||
** Der Graph ist nach '''unten''' geöffnet | ** Der Graph ist nach '''unten''' geöffnet | ||
Zeile 151: | Zeile 151: | ||
− | Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a | + | Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a sind, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen, welche du zunächst nur in einzelnen Puzzleteilen vorfindest. Löse das Puzzle, du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!! |
Zeile 170: | Zeile 170: | ||
</div> | </div> | ||
+ | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | ||
+ | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | ||
+ | <br><br><br> | ||
'''Aufgabe:''' | '''Aufgabe:''' | ||
− | Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen die richtigen Kombinationen zu finden! | + | Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen, die richtigen Kombinationen zu finden!<br> |
− | Lies | + | Lies dafür zunächst alle Vorgaben und alle möglichen Lösungen genau durch. |
Zeile 181: | Zeile 184: | ||
{| | {| | ||
|- | |- | ||
− | | || <u> Vorgabe </u> || <u> | + | | || <u> Vorgabe </u> || <u> Passender Textbaustein </u> |
|- | |- | ||
| 1. || Vorfaktor a ist negativ || <strong>Nach unten geöffnete Parabel</strong> <br> | | 1. || Vorfaktor a ist negativ || <strong>Nach unten geöffnete Parabel</strong> <br> | ||
Zeile 187: | Zeile 190: | ||
| 2. || a < -1 || <strong>Graph ist gestreckt</strong> | | 2. || a < -1 || <strong>Graph ist gestreckt</strong> | ||
|- | |- | ||
− | | 3. || Scheitelpunkt S für negativen Parameter a || <strong>Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung [0 | + | | 3. || Scheitelpunkt S für negativen Parameter a || <strong>Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung S <math>[0|0]</math> </strong> |
|- | |- | ||
| 4. || 0 > a > -1 || <strong>Graph ist gestaucht</strong> | | 4. || 0 > a > -1 || <strong>Graph ist gestaucht</strong> | ||
Zeile 195: | Zeile 198: | ||
| 6. || 0 < a < 1 || <strong>Graph ist gestaucht</strong> | | 6. || 0 < a < 1 || <strong>Graph ist gestaucht</strong> | ||
|- | |- | ||
− | | 7. || Scheitelpunkt S für positiven Parameter a || <strong>Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung [0 | + | | 7. || Scheitelpunkt S für positiven Parameter a || <strong>Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung S <math>[0|0]</math> </strong> |
|- | |- | ||
| 8. || a > 1 || <strong>Graph ist gestreckt</strong> | | 8. || a > 1 || <strong>Graph ist gestreckt</strong> | ||
Zeile 230: | Zeile 233: | ||
− | Bisher | + | Bisher konntest du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler des "GeoGebra-Applets" ablesen. Nun wollen wir lernen, wie man anhand des Graphen, den Parameter a bestimmt. |
− | Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall | + | Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall für "f(x)= a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>". Im nächsten Lernpfad erfährst du dann, wie man den Parameter a auch für verschobene Parabeln bestimmt. |
− | Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei | + | Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei die Vorgehensweise, zum Bestimmen des Parameters a, zu erkennen. |
{| {{Prettytable}} | {| {{Prettytable}} | ||
|- style="background-color:#8DB6CD" | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
− | ! Quadratische Funktion f(x) = ax<sup>2</sup>, für positiven und negativen Parameter a:!! Hinweis und Aufgaben: | + | ! Quadratische Funktion "f(x) = ax<sup>2</sup>", für positiven und negativen Parameter a:!! Hinweis und Aufgaben: |
|- | |- | ||
| <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="BestimmungParametera.ggb" /> || | | <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="BestimmungParametera.ggb" /> || | ||
− | 1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x<sup>2</sup>". Gehe vom Scheitelpunkt aus | + | 1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x<sup>2</sup>". Gehe vom Scheitelpunkt aus auf der x-Achse eine Einheit nach rechts. |
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen um die Parabelkurve zu erreichen?''' (!2) (1) (!3) | + | '''Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen, um die Parabelkurve zu erreichen?''' (!2) (1) (!3) |
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
Zeile 257: | Zeile 260: | ||
− | 3. Erkennst du schon ein Muster? Versuche | + | 3. Erkennst du schon ein Muster? Versuche das folgende Quiz zu lösen: |
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
Zeile 269: | Zeile 272: | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''Funktioniert das Ablesen | + | '''Funktioniert das Ablesen bei einem negativen Vorfaktor a genauso wie bei positiven Werten von a?''' (!Nein) (JA) |
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
Zeile 278: | Zeile 281: | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''Wie lautet der Wert vom | + | '''Wie lautet der Wert vom Vorfaktor a??''' (!1) (-3) (!3) |
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
Zeile 286: | Zeile 289: | ||
{{Merke| | {{Merke| | ||
− | '''Anleitung zur Bestimmung des | + | '''Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:''' <br> |
− | * Der Startpunkt zum Bestimmen des | + | * Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt<br> |
* Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br> | * Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br> | ||
* Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve <br> | * Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve <br> | ||
− | * Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom | + | * Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Vorfaktor a <br> |
* Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv <br> | * Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv <br> | ||
* Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ <br> | * Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ <br> | ||
}} | }} | ||
− | Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des | + | Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Vorfaktors a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen. |
Zeile 338: | Zeile 341: | ||
<big>'''1. Aufgabe:'''</big> | <big>'''1. Aufgabe:'''</big> | ||
− | Um | + | Um dir einmal zu zeigen, in welchen Bereichen des Alltags die Parabelform beispielsweise auftaucht, siehst du hier den Ausschnitt einer parabelförmigen Brückenaufhängung. Beantworte zuerst die folgende Frage und stelle dann den Graph durch Bedienen des Schiebereglers richtig ein! |
Frage: | Frage: | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''Was muss für den | + | '''Was muss für den Vorfaktor a gelten? (Mehrere Antworten möglich!)''' (!er ist positiv) (er ist negativ) (!a < -1) (-1 < a < 0) |
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
Zeile 353: | Zeile 356: | ||
Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x<sup>2</sup>". | Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x<sup>2</sup>". | ||
− | + | Im folgenden "GeoGebra-Applet" erkennst du die Punkte A, B, C und D. | |
− | Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist vorgegeben. | + | Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist fest vorgegeben. |
Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle. | Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle. | ||
− | Überprüfe | + | Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen. Liegen alle Punkte auf dem Graph, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst! |
Zeile 368: | Zeile 371: | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [2 | + | '''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt <math>[2|12]</math> verläuft?''' (!1) (!2) (3) (!4) |
</div> | </div> | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [3 | + | '''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt <math>[3|9]</math> verläuft?''' (1) (!2) (!3) (!4) |
</div> | </div> | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [4 | + | '''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt <math>[4|32]</math> verläuft?''' (!1) (2) (!3) (!4) |
</div> | </div> | ||
Zeile 383: | Zeile 386: | ||
'''Glückwunsch!''' | '''Glückwunsch!''' | ||
− | Damit hast du den Lernpfad " | + | Damit hast du den Lernpfad "Der Graph der quadratischen Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden schließlich alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktion gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß! |
Aktuelle Version vom 5. Dezember 2018, 23:44 Uhr
Lernpfad
|
In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert.
Dieser Parameter sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.
Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht:
f(x)= ax2
Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, wollen wir die Begriffe "Streckung" und "Stauchung" kurz erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.
Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe.
Aufgabe:
Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!
Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt:
Quadratische Funktion "f(x)ax2" | Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
---|---|
Hinweise:
Der Vorfaktor a führt zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel in y-Richtung. |
Für die quadratische Funktion "f(x) ax2" mit dem positiven Vorfaktor a gilt:
|
Da wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.
Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen für den negativen Parameter a kennen.
Quadratische Funktion "f(x) = ax²", für positiven und negativen Parameter a: | Aufgabe und Quiz: |
---|---|
Aufgabe: Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a wenn er negativ wird? Quiz: Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!gar nicht) (!nach oben) (nach unten) Welche Aussage ist für den negativen Vorfaktor a richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt) Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er bewirkt nur eine Stauchung) (Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung) Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht) Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestreckt? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1) Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestaucht? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0) |
Für die quadratische Funktion "f(x) ax2" mit dem negativen Vorfaktor a gilt:
|
Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a sind, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen, welche du zunächst nur in einzelnen Puzzleteilen vorfindest. Löse das Puzzle, du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!
Aufgabe:
Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen, die richtigen Kombinationen zu finden!
Lies dafür zunächst alle Vorgaben und alle möglichen Lösungen genau durch.
Vorgabe | Passender Textbaustein | |
1. | Vorfaktor a ist negativ | Nach unten geöffnete Parabel |
2. | a < -1 | Graph ist gestreckt |
3. | Scheitelpunkt S für negativen Parameter a | Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung S |
4. | 0 > a > -1 | Graph ist gestaucht |
5. | Vorfaktor a ist positiv | Nach oben geöffnete Parabel |
6. | 0 < a < 1 | Graph ist gestaucht |
7. | Scheitelpunkt S für positiven Parameter a | Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung S |
8. | a > 1 | Graph ist gestreckt |
9. | Der Vorfaktor a bewirkt eine… | Streckung oder Stauchung der Normalparabel |
Bisher konntest du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler des "GeoGebra-Applets" ablesen. Nun wollen wir lernen, wie man anhand des Graphen, den Parameter a bestimmt. Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall für "f(x)= ax2". Im nächsten Lernpfad erfährst du dann, wie man den Parameter a auch für verschobene Parabeln bestimmt.
Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei die Vorgehensweise, zum Bestimmen des Parameters a, zu erkennen.
Quadratische Funktion "f(x) = ax2", für positiven und negativen Parameter a: | Hinweis und Aufgaben: |
---|---|
1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x2". Gehe vom Scheitelpunkt aus auf der x-Achse eine Einheit nach rechts. Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen, um die Parabelkurve zu erreichen? (!2) (1) (!3)
2. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1. Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse. Um wie viele Einheiten muss du nun in y-Richtung gehen? (!3) (2) (!4)
Wenn man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach oben geht, dann hat der Parameter a den Wert: (!1) (!2) (!3) (4)
4. Stelle nun den Schieberegler auf den Wert a = -2. Funktioniert das Ablesen bei einem negativen Vorfaktor a genauso wie bei positiven Werten von a? (!Nein) (JA)
Wie lautet der Wert vom Vorfaktor a?? (!1) (-3) (!3)
|
Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:
|
Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Vorfaktors a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.
Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!
Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!
1. Aufgabe:
Um dir einmal zu zeigen, in welchen Bereichen des Alltags die Parabelform beispielsweise auftaucht, siehst du hier den Ausschnitt einer parabelförmigen Brückenaufhängung. Beantworte zuerst die folgende Frage und stelle dann den Graph durch Bedienen des Schiebereglers richtig ein!
Frage:
Was muss für den Vorfaktor a gelten? (Mehrere Antworten möglich!) (!er ist positiv) (er ist negativ) (!a < -1) (-1 < a < 0)
2. Aufgabe:
Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x2".
Im folgenden "GeoGebra-Applet" erkennst du die Punkte A, B, C und D. Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist fest vorgegeben. Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle. Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen. Liegen alle Punkte auf dem Graph, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!
3. Aufgabe:
Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax2".
Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt verläuft? (!1) (!2) (3) (!4)
Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt verläuft? (1) (!2) (!3) (!4)
Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt verläuft? (!1) (2) (!3) (!4)
Glückwunsch!
Damit hast du den Lernpfad "Der Graph der quadratischen Funktion f(x)ax2" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden schließlich alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktion gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!