Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²"

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Lernpfad

Der Graph der quadratischen Funktion "f(x)=ax2"

In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

  • Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a
  • Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a
  • Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick
  • Aufstellen der Funktionsgleichung
  • Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)=ax2"


In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert. Dieser Parameter sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.

Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht:

                         f(x)= a\cdotx2


Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, wollen wir die Begriffe "Streckung" und "Stauchung" kurz erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.

Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe.

Aufgabe:

Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!


Bild für Lernpfad1.jpg Bild für Lernpfad2.jpg Bild für Lernpfad3.jpg
                                                           

normalgestauchtgestreckt


















Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.



STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a


Bearbeite das folgende Arbeitsblatt:

Quadratische Funktion "f(x)=ax2" Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise:

  • In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau
  • Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a
  • Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder


Aufgabe:
Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a im Hinblick auf die Normalparabel?


Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Vorfaktor a führt zu einer                     der Normalparabel in                     .
Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a                     ist, denn dann ist "f(x) = 1x2 = x2"                     der Normalparabel.
Ist a                     1, so ist der Graph gestreckt.
Ist a < 1, so nennt man den Graph                     .
Außerdem ist die quadratische Funktion "f(x) = ax2" für den positiven Vorfaktor a nach                     geöffnet und der                     S ist                     Punkt mit den Koordinaten (0\!\,|\!\,0).

identischScheitelpunkt>y-RichtunggestauchtEinstiefsterStreckung oder Stauchungoben


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Für die quadratische Funktion "f(x)= a\cdotx2" mit dem positiven Vorfaktor a gilt:

  • Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine Streckung oder Stauchung in y-Richtung
  • Für a = 1 gilt: Identisch zur Normalparabel, denn "f(x)= 1\cdotx2= x2"
  • Für a > 0 gilt:
    • Der Graph ist nach oben geöffnet
    • Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung S(0\!\,|\!\,0)
    • Für a > 1 gilt: Der Graph ist gestreckt
    • Für a < 1 gilt: Der Graph ist gestaucht


Da wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.



STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a


Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen für den negativen Parameter a kennen.

Quadratische Funktion "f(x) = ax²", für positiven und negativen Parameter a: Aufgabe und Quiz:

Aufgabe:

Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a wenn er negativ wird?

Quiz:

Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet?

Welche Aussage ist für den negativen Vorfaktor a richtig?

Was bewirkt der negative Vorfaktor a?

Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist?

Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestreckt?

Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestaucht?

prüfen!


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Für die quadratische Funktion "f(x)= a\cdotx2" mit dem negativen Vorfaktor a gilt:

  • Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der Spiegelung an der x-Achse sowie einer Streckung oder Stauchung in y-Richtung
  • Für a = -1 gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; "f(x)=-1\cdotx2= -x2"
  • Für a < 0 gilt:
    • Der Graph ist nach unten geöffnet
    • Scheitelpunkt S ist höchster Punkt und liegt im Ursprung S(0\!\,|\!\,0)
    • Für a < -1 gilt: Der Graph ist gestreckt
    • Für a > -1 gilt: Der Graph ist gestaucht




STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick


Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a sind, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen, welche du zunächst nur in einzelnen Puzzleteilen vorfindest. Löse das Puzzle, du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!


                                                           
                                                           
                                                           

PParametera4.jpgPParametera1.jpgPParametera9.jpgPParametera2.jpgPParametera3.jpgPParametera5.jpgPParametera6.jpgPParametera7.jpgPParametera8.jpg
































Aufgabe:

Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen, die richtigen Kombinationen zu finden!
Lies dafür zunächst alle Vorgaben und alle möglichen Lösungen genau durch.


Vorgabe Passender Textbaustein
1. Vorfaktor a ist negativ                    
2. a < -1                    
3. Scheitelpunkt S für negativen Parameter a                    
4. 0 > a > -1                    
5. Vorfaktor a ist positiv                    
6. 0 < a < 1                    
7. Scheitelpunkt S für positiven Parameter a                    
8. a > 1                    
9. Der Vorfaktor a bewirkt eine…                    

Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung S [0|0]Graph ist gestrecktScheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung S [0|0]Nach oben geöffnete ParabelNach unten geöffnete ParabelGraph ist gestrecktStreckung oder Stauchung der NormalparabelGraph ist gestauchtGraph ist gestaucht






















STATION 4: Aufstellen der Funktionsgleichung


Bisher konntest du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler des "GeoGebra-Applets" ablesen. Nun wollen wir lernen, wie man anhand des Graphen, den Parameter a bestimmt. Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall für "f(x)= a\cdotx2". Im nächsten Lernpfad erfährst du dann, wie man den Parameter a auch für verschobene Parabeln bestimmt.

Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei die Vorgehensweise, zum Bestimmen des Parameters a, zu erkennen.

Quadratische Funktion "f(x) = ax2", für positiven und negativen Parameter a: Hinweis und Aufgaben:

1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x2". Gehe vom Scheitelpunkt aus auf der x-Achse eine Einheit nach rechts.

Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen, um die Parabelkurve zu erreichen?

prüfen!


2. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1. Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse.

Um wie viele Einheiten muss du nun in y-Richtung gehen?

prüfen!


3. Erkennst du schon ein Muster? Versuche das folgende Quiz zu lösen:

Wenn man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach oben geht, dann hat der Parameter a den Wert:

prüfen!


4. Stelle nun den Schieberegler auf den Wert a = -2.

Funktioniert das Ablesen bei einem negativen Vorfaktor a genauso wie bei positiven Werten von a?

prüfen!



5. Man geht vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach unten!

Wie lautet der Wert vom Vorfaktor a??

prüfen!



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Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:

  • Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt
  • Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts
  • Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve
  • Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Vorfaktor a
  • Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv
  • Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ

Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Vorfaktors a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.


Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!

Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!

Parabel1.png Parabel2.png Parabel3.png Parabel4.png Parabel5.png
                                                                                                   

y = 0x2y = 0,5x2y = -4x2y = 2x2y = -0,5x2



















STATION 5: Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)=ax2"


1. Aufgabe:

Um dir einmal zu zeigen, in welchen Bereichen des Alltags die Parabelform beispielsweise auftaucht, siehst du hier den Ausschnitt einer parabelförmigen Brückenaufhängung. Beantworte zuerst die folgende Frage und stelle dann den Graph durch Bedienen des Schiebereglers richtig ein!

Frage:

Was muss für den Vorfaktor a gelten? (Mehrere Antworten möglich!)

prüfen!



2. Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x2".

Im folgenden "GeoGebra-Applet" erkennst du die Punkte A, B, C und D. Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist fest vorgegeben. Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle. Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen. Liegen alle Punkte auf dem Graph, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!



3. Aufgabe:

Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax2".

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [2|12] verläuft?

prüfen!

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [3|9] verläuft?

prüfen!

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [4|32] verläuft?

prüfen!





Glückwunsch!

Damit hast du den Lernpfad "Der Graph der quadratischen Funktion f(x)=ax2" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden schließlich alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktion gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!