Rechnerische Beziehung: Unterschied zwischen den Versionen

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==Rechnerische Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion==
 
==Rechnerische Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion==
  
 
Willst du nun rechnerisch eine Aufgabe vom Typ '''b = a<sup>x</sup>''' nach x auflösen, musst du folgendermaßen vorgehen:
 
Willst du nun rechnerisch eine Aufgabe vom Typ '''b = a<sup>x</sup>''' nach x auflösen, musst du folgendermaßen vorgehen:
  
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'''b = a<sup>x</sup>  --> x = log<sub>a</sub>b'''
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'''b = a<sup>x</sup>  → x = log<sub>a</sub>b'''
  
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{{Merksatz|MERK=Der Ausdruck x = log<sub>a</sub>b heißt gesprochen: '''x''' ist gleich dem Logaritmus '''b''' zur Basis '''a''', wobei '''<span style="color: #00008B">x</span>''' der '''<span style="color: #00008B">Exponent</span>''' ist, '''<span style="color: #008B00">b</span>''' der '''<span style="color: #008B00">Logarithmand</span>''' ist und '''<span style="color: #8B3A3A">a</span>''' die '''<span style="color: #8B3A3A">Basis</span>''' ist.
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{{Merksatz|MERK=Der Ausdruck '''<span style="color: #00008B">x</span>''' = log<sub>'''<span style="color: #8B3A3A">a</span>'''</sub>'''<span style="color: #008B00">b</span>''' heißt gesprochen: '''x''' ist gleich dem Logarithmus '''b''' zur Basis '''a''', wobei '''<span style="color: #00008B">x</span>''' der '''<span style="color: #00008B">Exponent</span>''', '''<span style="color: #008B00">b</span>''' der '''<span style="color: #008B00">Logarithmand</span>''' und '''<span style="color: #8B3A3A">a</span>''' die '''<span style="color: #8B3A3A">Basis</span>''' ist.
 
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'''Beispiel:''' 8 = 2<sup>x</sup>  --> x = log<sub>2</sub>8
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'''Beispiel:''' 8 = 2<sup>x</sup>  → x = log<sub>2</sub>8
  
 
In diesem einfachen Beispiel sieht man, dass die Lösung für x = 3 ist, da man weiß, dass 2<sup>3</sup> = 8, also 3 = log<sub>2</sub>8.
 
In diesem einfachen Beispiel sieht man, dass die Lösung für x = 3 ist, da man weiß, dass 2<sup>3</sup> = 8, also 3 = log<sub>2</sub>8.
  
  
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{{Arbeit|ARBEIT=Löse die folgenden Aufgaben mit Hilfe des Logarithmusrechners unter dem folgenden Link: [http://rechneronline.de/logarithmus/] Löse die Aufgaben zuvor (wie oben) nach x auf und rechne x mit Hilfe des Logarithmusrechners aus.
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{{Arbeit|ARBEIT=Löse die Aufgabe 10<sup>x</sup> = 10000 zuerst zeichnerisch, in dem du
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# 10<sup>x</sup> = 10000
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# einen Punkt A bei (0/10000) machst (mache immer einen Rechtsklick und gehe auf Beschriftung anzeigen),
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# 8<sup>x</sup> = 262144
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# eine senkrechte Gerade a zur y-Achse durch A legst,
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# 15<sup>x</sup> = 759375}}
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# den Schnittpunkt B der Senktrechten a mit der Funktion f(x) bestimmst,
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# eine Senkrechte b zur x-Achse durch den Punkt B legst,
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# den Schnitt C der Senkrechten b mit der x-Achse bestimmst.
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: Die x-Koordinate des Punktes C ist die Lösung für x.
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Löse die Aufgabe nun rechnerisch, in dem du sie zuvor (wie oben) nach x auflöst und dann x mit Hilfe des [http://rechneronline.de/logarithmus/ Logarithmusrechners] ausrechnest.}}
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(Mache einen Doppelklick auf dem Applet, dann erscheint eine neues Fenster, in welchem du arbeiten kannst. Wenn du deine Arbeit beendet hast, kannst du das geöffnete Fenster schließen und deine Arbeit speichert sich im Fenster.) 
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<ggb_applet height="400" width="530" filename="Baumgart_LetzteSeite.ggb" />
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{{Arbeit|ARBEIT=Löse die folgenden Aufgaben zuvor (wie oben) nach x auf und rechne x mit Hilfe des [http://rechneronline.de/logarithmus/ Logarithmusrechners] aus.
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# 8<sup>x</sup> = 480000
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# 15<sup>x</sup> = 480000
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# 40<sup>x</sup> = 480000}}
  
  
 
{{Arbeit|ARBEIT=Zum Abschluss des Lernpfades nun eine kleine Knobelaufgabe: Wie oft müsste man theoretisch ein Blattpapier falten, damit der entstehende Turm von der Erde bis zum Mond reichen würde, unter der Annahme, dass das Papier eine Dicke von 0,2mm besitzt und der Abstand von der Erde zum Mond 384400km ist?
 
{{Arbeit|ARBEIT=Zum Abschluss des Lernpfades nun eine kleine Knobelaufgabe: Wie oft müsste man theoretisch ein Blattpapier falten, damit der entstehende Turm von der Erde bis zum Mond reichen würde, unter der Annahme, dass das Papier eine Dicke von 0,2mm besitzt und der Abstand von der Erde zum Mond 384400km ist?
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Schätze zuerst und löse anschließend die Aufgabe mit Hilfe des Logarithmustaschenrechners.[http://rechneronline.de/logarithmus/]}}
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Schätze zuerst und löse anschließend die Aufgabe mit Hilfe des [http://rechneronline.de/logarithmus/ Logarithmusrechners].
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(Erst überlegen, falls du einen kleinen Tipp brauchst, auf die Hilfestellung klicken)}}
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<popup name="Hilfestellung zur 3. Aufgabe">
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: 0,2mm * 2<sup>x</sup> = 384.400.000.000mm
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</popup>
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<popup name="Lösung 1. Aufgabe">
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<ggb_applet height="400" width="530" filename="Baumgart_LetzteSeiteLösung.ggb" />
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: Lösung der Aufgabe: x = 4
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</popup>
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<popup name="Lösung 2. Aufgabe">
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# x = 6,29
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# x = 4,83
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# x = 3,55
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</popup>
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<popup name="Lösung 3. Aufgabe">
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: 0,2mm * 2<sup>x</sup> = 384.400.000.000mm
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: 2<sup>x</sup> = 1.922.000.000.000mm
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: x = log<sub>2</sub>1.922.000.000.000 (Hinweis: hier fällt die Einheit weg)
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: x = 41
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: Man müsste ein Blattpapier also 41 mal falten, damit die Dicke von der Erde bis zum Mond reichen würde.
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</popup>
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Aktuelle Version vom 28. Januar 2010, 11:31 Uhr

Übersicht - Einleitung - Zinseszins - Untersuchung der Exponentialfunktion - Eigenschaften der Exponentialfunktion - Umkehrfunktion - Rechnerische Beziehung - Übungen und Lösung des Arbeitsblattes


Rechnerische Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion

Willst du nun rechnerisch eine Aufgabe vom Typ b = ax nach x auflösen, musst du folgendermaßen vorgehen:

b = ax → x = logab

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Ausdruck x = logab heißt gesprochen: x ist gleich dem Logarithmus b zur Basis a, wobei x der Exponent, b der Logarithmand und a die Basis ist.


Beispiel: 8 = 2x → x = log28

In diesem einfachen Beispiel sieht man, dass die Lösung für x = 3 ist, da man weiß, dass 23 = 8, also 3 = log28.


  Aufgabe   Stift.gif

Löse die Aufgabe 10x = 10000 zuerst zeichnerisch, in dem du

  1. einen Punkt A bei (0/10000) machst (mache immer einen Rechtsklick und gehe auf Beschriftung anzeigen),
  2. eine senkrechte Gerade a zur y-Achse durch A legst,
  3. den Schnittpunkt B der Senktrechten a mit der Funktion f(x) bestimmst,
  4. eine Senkrechte b zur x-Achse durch den Punkt B legst,
  5. den Schnitt C der Senkrechten b mit der x-Achse bestimmst.
Die x-Koordinate des Punktes C ist die Lösung für x.

Löse die Aufgabe nun rechnerisch, in dem du sie zuvor (wie oben) nach x auflöst und dann x mit Hilfe des Logarithmusrechners ausrechnest.

(Mache einen Doppelklick auf dem Applet, dann erscheint eine neues Fenster, in welchem du arbeiten kannst. Wenn du deine Arbeit beendet hast, kannst du das geöffnete Fenster schließen und deine Arbeit speichert sich im Fenster.)

  Aufgabe   Stift.gif

Löse die folgenden Aufgaben zuvor (wie oben) nach x auf und rechne x mit Hilfe des Logarithmusrechners aus.

  1. 8x = 480000
  2. 15x = 480000
  3. 40x = 480000


  Aufgabe   Stift.gif

Zum Abschluss des Lernpfades nun eine kleine Knobelaufgabe: Wie oft müsste man theoretisch ein Blattpapier falten, damit der entstehende Turm von der Erde bis zum Mond reichen würde, unter der Annahme, dass das Papier eine Dicke von 0,2mm besitzt und der Abstand von der Erde zum Mond 384400km ist? Schätze zuerst und löse anschließend die Aufgabe mit Hilfe des Logarithmusrechners. (Erst überlegen, falls du einen kleinen Tipp brauchst, auf die Hilfestellung klicken)


→ Hier geht´s noch zu weiteren Übungen und zur Lösung des Arbeitsblattes

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