Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion== | ==Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion== | ||
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Gehe dabei folgendermaßen vor: | Gehe dabei folgendermaßen vor: | ||
* spiegle den Punkt P an der 1.Mediane y = x (Spiegle Objekt an Geraden). Der dadurch erzeugte Punkt heißt P'. Zeige mit einem Rechtsklick seine Beschriftung an. | * spiegle den Punkt P an der 1.Mediane y = x (Spiegle Objekt an Geraden). Der dadurch erzeugte Punkt heißt P'. Zeige mit einem Rechtsklick seine Beschriftung an. | ||
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Verändere die Basis a und bewege den Punkt P auf dem Graphen der Exponentialfunktion. | Verändere die Basis a und bewege den Punkt P auf dem Graphen der Exponentialfunktion. | ||
Beobachte das Verhalten der beiden Funktionsgraphen und beschreibe in eigenen Worten, was dir auffällt (Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie).}} | Beobachte das Verhalten der beiden Funktionsgraphen und beschreibe in eigenen Worten, was dir auffällt (Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie).}} | ||
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| + | Wenn du deine Arbeit beendet hast, kannst du das geöffnete Fenster schließen und deine Arbeit speichert sich im Applet.) | ||
| + | <ggb_applet height="400" width="530" showMenuBar="true" showResetIcon="true" filename="Baumgart_Umkehrfunktion.ggb" /> | ||
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| + | {{Arbeit|ARBEIT= In der obigen Lösung wird bei der Exponentialfunktion f(x) = a<sup>x</sup> für die Basis a = 1 auch die gespiegelte Gerade gezeichnet. | ||
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| + | {{Merksatz|MERK=Eine Funktion f: R<sup>+</sup> → R, f(x) = log<sub>a</sub>x heißt Logarithmusfunktion zur Basis a (a∈R<sup>+</sup>\{1})}} | ||
| − | + | [[Bild:Umkehrfunktion_Bild.png|right]] | |
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| + | ===Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen=== | ||
| + | Da das '''Logarithmieren''' die '''Umkehroperation''' zum '''Exponenzieren''' ist, ist dementsprechend die '''Logarithmusfunktion''' die '''Umkehrfunktion''' zur '''Exponentialfunktion'''. | ||
| + | Der '''Graph''' einer Logarithmusfunktion geht durch '''Spiegeln''' an der '''1.Mediane''' aus dem Graphen der entsprechenden Exponentialfunktion hervor. | ||
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| + | * Die Definitionsmenge von f(x) ist gleich der Wertemenge von g(x), also R. | ||
| + | * Die Wertemenge von f(x) ist gleich der Definitionsmenge von g(x), also R<sup>+</sup>. | ||
| + | * Das Monotonieverhalten von g(x) ist gleich dem Monotonieverhalten von f(x), wobei g(x) bei 1 nicht definiert ist. | ||
| + | <ggb_applet height="400" width="530" showMenuBar="true" showResetIcon="true" filename="Baumgart_Umkehrfunktion_Lösung.ggb" /> | ||
| + | </popup> | ||
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| + | <popup name="Lösung 2. Aufgabe"> | ||
| + | Der Graph der Exponentialfunktion y = 1<sup>x</sup> = 1 geht durch Spiegelung in eine senkrechte Gerade über, die kein Graph einer Funktion ist. Bei einer Funktion muss jedem x-Wert stets eindeutig ein y-Wert zugeordnet werden und dies ist hier nicht der Fall. | ||
| + | </popup> | ||
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| + | → [[Lernpfade/Exponential- und Logarithmusfunktion/Rechnerische Beziehung|Finden wir nun die rechnerische Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion heraus]] | ||
Aktuelle Version vom 28. Januar 2010, 15:19 Uhr
Übersicht - Einleitung - Zinseszins - Untersuchung der Exponentialfunktion - Eigenschaften der Exponentialfunktion - Umkehrfunktion - Rechnerische Beziehung - Übungen und Lösung des Arbeitsblattes
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Aufgabe
Konstruiere die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion f(x) = ax im nachfolgenden Applet.Gehe dabei folgendermaßen vor:
Verändere die Basis a und bewege den Punkt P auf dem Graphen der Exponentialfunktion. Beobachte das Verhalten der beiden Funktionsgraphen und beschreibe in eigenen Worten, was dir auffällt (Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie). |
(Mache einen Doppelklick auf dem Applet, dann erscheint eine neues Fenster, in welchem du arbeiten kannst. Wenn du deine Arbeit beendet hast, kannst du das geöffnete Fenster schließen und deine Arbeit speichert sich im Applet.)
Aufgabe
In der obigen Lösung wird bei der Exponentialfunktion f(x) = ax für die Basis a = 1 auch die gespiegelte Gerade gezeichnet. Begründe, warum es sich bei dieser Kurve aber um keinen Graph einer Funktion handeln kann. |
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion hat eine große Bedeutung in der Mathematik und in den Naturwissenschaften und trägt die Bezeichnung Logarithmusfunktion.
 Merke:
Eine Funktion f: R+ → R, f(x) = logax heißt Logarithmusfunktion zur Basis a (a∈R+\{1}) |
Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen
Da das Logarithmieren die Umkehroperation zum Exponenzieren ist, ist dementsprechend die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion. Der Graph einer Logarithmusfunktion geht durch Spiegeln an der 1.Mediane aus dem Graphen der entsprechenden Exponentialfunktion hervor.
