Geraden am Kreis: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 4. April 2015, 20:24 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Geraden am Kreis


In diesem Lernpfad lernst du die verschiedenen Geraden am Kreis kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

  • Abstand zwischen Gerade und Kreis
  • Tangente
  • Schnittpunkte zwischen Gerade und Kreis


Los geht´s:

Bereits in der 5. Jahrgangsstufe - beziehungsweise schon in der Grundschule - hast du sowohl Geraden als auch den Kreis kennengelernt.

Jedoch kommen Geraden und Kreise nicht nur einzeln vor, sondern können auch in Beziehung zueinander stehen!

Heute lernst du die Lagebeziehung zwischen Gerade und Kreis kennen!

Wir wollen im Folgenden die verschiedenen Geraden am Kreis einführen.



STATION 1: Abstand zwischen Gerade und Kreis



Zuerst wollen wir die Begriffe und einige Eigenschaften der Geraden am Kreis kennenlernen.

Aufgabe 1.1:
Benutze im linken Bild mit gehaltener linker Maustaste den Schieberegler und bearbeite danach die Aufgabe rechts daneben:

Benutze den Schieberegler und löse damit das Quiz!
Achtung!! Es können auch mehrere Lösungen richtig sein!
Beim Prüfen der Antworten wird dir "rot" angezeigt was du falsch angekreuzt hast. Mit der Farbe "grün" bekommst du die richtigen Ergebnisse angezeigt, auch wenn du sie nicht angekreuzt hast. Überprüfe im Anschluss deine Ergebnisse!

Quiz:

- Welche Aussage ist richtig? (Die Tangente steht im 90°-Winkel zum Radius r) (!Die Tangente steht im 45°-Winkel zum Radius r) (!Die Tangente steht im 60°-Winkel zum Radius r)

- Wie muss der Abstand d vom Mittelpunkt M zur Geraden g sein, damit man eine Zentrale erhält? (!d > 0) (d = 0) (!d < 0)

- Welche Aussage ist bei Sekanten richtig? (!Der Abstand d vom Mittelpunkt M zur Geraden g ist größer als der Radius r) (!Der Abstand d vom Mittelpunkt M zur Geraden g ist genauso groß wie der Radius r) (Der Abstand d vom Mittelpunkt M zur Geraden g ist kleiner als der Radius r)

- Gibt es eine Passante, die einen Punkt mit dem Kreis k gemeinsam hat? (!ja) (nein)



Aufgabe 1.2:
Ordne die Begriffe und Abbildungen richtig zu. Ziehe dafür die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die Felder. Anschließend kannst du dein Ergebnis überprüfen. Hast du etwas falsch zugeordnet, kannst du anschließend diese Felder neu besetzen.

Fringes Aufgabe1.1.png Fringes Aufgabe1.2.png Fringes Aufgabe1.3.png Fringes Aufgabe1.4.png
Passante Tangente Sekante Zentrale













Aufgabe 1.3:
Mit dieser Aufgabe sollen nun die Eigenschaften der Geraden am Kreis festgehalten werden. Ziehe dafür die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die Felder. Anschließend kannst du dein Ergebnis überprüfen. Hast du etwas falsch zugeordnet, kannst du anschließend diese Felder neu besetzen.

- Ist der Abstand d der Gerade g zum Kreismittelpunkt M größer als der Radius r des Kreises, so nennt man die Gerade "Passante" (Schreibweise: d(M/g) > r).
- Sind Abstand der Geraden g zum Kreismittelpunkt M und Radius r gleich groß, so nennt man die Gerade "Tangente" (Schreibweise: d(M/g) = r).
- Ist der Abstand der Gerade g zum Kreismittelpunkt M kleiner als der Radius r des Kreises, so nennt man die Gerade "Sekante" (Schreibweise: d(M/g) < r). Spezialfall: Geht die Sekante durch den Mittelpunkt M des Kreises, so nennt man sie "Zentrale".















STATION 2: Tangente



Du hast nun die vier verschiedenen Geraden am Kreis kennengelernt!

In diesem Abschnitt wollen wir uns einer bestimmten Geraden widmen, aber siehe selbst!

Aufgabe 2.1:
Benutze im linken Bild mit gehaltener linker Maustaste den Schieberegler und bearbeite danach die Aufgabe rechts daneben:

Benutze den Schieberegler und löse damit das Quiz!
Achtung!! Es können auch mehrere Lösungen richtig sein!
Beim Prüfen der Antworten wird dir "rot" angezeigt was du falsch angekreuzt hast. Mit der Farbe "grün" bekommst du die richtigen Ergebnisse angezeigt, auch wenn du sie nicht angekreuzt hast. Überprüfe im Anschluss deine Ergebnisse!

Quiz:

- Wieviele Tangenten kann man von einem Punkt aus zeichnen, der außerhalb eines Kreises liegt? (zwei) (!eine) (!keine) (!mehr als zwei)

- Wieviele Zentralen kann man von einem Punkt aus zeichnen, der außerhalb eines Kreises liegt? (!zwei) (eine) (!keine) (!mehr als zwei)

- Wieviele gemeinsame Punkte hat eine Tangente mit dem Kreis? (!keinen) (einen) (!zwei) (!mehr als zwei)

- Wieviele gemeinsame Punkte hat eine Zentrale mit dem Kreis? (!keinen) (!einen) (zwei) (!mehr als zwei)



Aufgabe 2.2: Zeichnen einer Tangente mit dem Geodreieck

  Aufgabe   Stift.gif

Arbeitsauftrag:
Zeichne auf deinem Laufzettel zuerst einen Kreis und einen Punkt außerhalb des Kreises und danach mit dem Geodreieck eine Tangente!


Schritt 1
Fringes Tangentenkonstruktion.jpg Hier siehst du einen Kreis und einen Punkt P außerhalb des Kreises.


Schritt 2
Fringes Tangentenkonstruktion2.jpg Jetzt musst du das Geodreieck so anlegen, dass dessen Zeichenkante den Punkt P und den Rand des Kreises berührt.


Schritt 3
Fringes Tangentenkonstruktion3.jpg Als nächstes ziehst du eine Linie durch den Punkt P, die den Rand des Kreises in nur einem Punkt berührt.


Schritt 4
Fringes Tangentenkonstruktion4.jpg Jetzt hast du eine Tangente mit Hilfe des Geodreiecks gezeichnet.


Hier kannst du dir das Zeichnen noch einmal in einem Video ansehen. Klicke dazu auf das Symbol in der Mitte!
Du kannst das Video mehrmals anschauen! Klicke dazu auf Replay.




Aufgabe 2.3: Kontruktion einer Tangente mit dem Zirkel
Für die Fleißigen: Probier auf deinem Laufzettel doch auch einmal eine Tangente mit Hilfe des Zirkels zu konstruieren.

Schritt 1
Fringes Tangentenkonstruktion5.jpg Hier siehst du einen Kreis und einen Punkt P außerhalb des Kreises.


Schritt 2
Fringes Tangentenkonstruktion6.jpg Jetzt musst du das Geodreieck so anlegen, dass dessen Zeichenkante den Punkt P und den Kreismittelpunkt M berührt.


Schritt 3
Fringes Tangentenkonstruktion7.jpg Als nächstes ziehst du eine Linie durch den Punkt P und Kreismittelpunkt M und misst mit dem Geodreieck den Mittelpunkt Q auf der Verbindungsstrecke zwischen dem Punkt P und dem Kreismittelpunkt M aus.


Schritt 4
Fringes Tangentenkonstruktion8.jpg Jetzt stichst du mit dem Zirkel in den Punkt Q, stellst als Radius die Entfernung zum Punkt P ein und zeichnest einen Kreis.


Schritt 5
Fringes Tangentenkonstruktion9.jpg Dein neu gezeichneter Kreis hat zwei Schnittpunkte mit dem vorher gegebenen Kreis. Verbinde nun den Punkt P mit einem der zwei Schnittpunkte.


Schritt 6
Fringes Tangentenkonstruktion10.jpg Jetzt hast du eine Tangente mit Hilfe des Zirkels konstruiert.


Hier kannst du dir die Konstruktion noch einmal in einem Video ansehen. Klicke dazu auf das Symbol in der Mitte!
Du kannst das Video mehrmals anschauen! Klicke dazu auf Replay.




Schreibe folgendes Merke (mit Zeichnung!) in dein Heft!

Nuvola apps kig.png   Merke

Jeder Punkt P außerhalb eines Kreises hat genau

  • eine Zentrale.
  • zwei Tangenten.
  • mehr als zwei Passanten.
  • mehr als zwei Sekanten.

Fringes Merke1.png






STATION 3: Schnittpunkte zwischen Gerade und Kreis



Du weißt jetzt, wie man eine Tangente konstruiert und wieviel gemeinsame Schnittpunkte sie mit dem Kreis hat!

Doch was ist mit den anderen Geraden? Das erfährst du hier!


Aufgabe 3.1: Memo-Quiz
Es gehören immer drei Kärtchen zueinander:
- Zeichnung
- Name
- Schnittpunkte
Finde sie alle!

Fringes Aufgabe1.4.png Spezialfall:
Zentrale 		Spezialfall:
2 Schnittpunkte;
Gerade durch den Kreismittelpunkt
Fringes Aufgabe1.2.png Tangente 1 Schnittpunkt
Fringes Aufgabe1.3.png Sekante 2 Schnittpunkte
Fringes Aufgabe1.1.png Passante kein Schnittpunkt



Aufgabe 3.2: Namensgebung
Im Alltag kommen auch Tangenten, Sekanten und Zentralen vor.
Lass uns neue Namen erfinden!

Fringes Gitarre.jpg = Sekanten-Gitarre Fringes Fahrrad.jpg = Tangenten-Fahrradkette Fringes Pendeluhr.jpg = Zentralen-Pendeluhr





Schreibe folgendes Merke (ohne die Zeichnungen) in dein Heft!

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Gerade kann mit einem Kreis

  • keinen Punkt gemeinsam haben. Dann nennt man sie Passante.
  • einen Punkt gemeinsam haben. Dann nennt man sie Tangente. 
(Vergleiche: Fringes Fahrrad.jpg Tangenten-Fahrradkette)
  • zwei Punkte gemeinsam haben. Dann nennt man sie Sekante. 
(Vergleiche: Fringes Gitarre.jpg Sekanten-Gitarre)
  • zwei Punkte gemeinsam haben und durch den Kreismittelpunkt gehen. Dann nennt man sie Zentrale. 
(Vergleiche: Fringes Pendeluhr.jpg Zentralen-Pendeluhr)



Aufgabe 3.3: Gartenteich
Benutze im linken Bild mit gehaltener linker Maustaste den Schieberegler und bearbeite danach die Aufgabe rechts daneben:

Benutze den Schieberegler und löse damit das Quiz!
Achtung!! Es können auch mehrere Lösungen richtig sein!
Beim Prüfen der Antworten wird dir "rot" angezeigt was du falsch angekreuzt hast. Mit der Farbe "grün" bekommst du die richtigen Ergebnisse angezeigt, auch wenn du sie nicht angekreuzt hast. Überprüfe im Anschluss deine Ergebnisse!

Quiz:

Klaus hat ein quadratisches Grundstück, dessen Seitenlängen 4m lang sind. Er möchte auf seinem Grundstück einen kreisrunden Gartenteich anlegen. Dieser soll so groß wie möglich sein. Welche Aussage stimmt? (Der Radius r des Gartenteichs muss halb so groß wie die Seitenlänge des Grundstücks sein) (!Der Radius r des Gartenteichs muss gleich groß wie die Seitenlänge des Grundstücks sein) (!Der Radius r des Gartenteichs muss doppelt so groß wie die Seitenlänge des Grundstücks sein)







Glückwunsch!!
Du hast den ersten Lernpfad erfolgreich abgeschlossen! Im nächsten Lernpfad lernst du, wie sich Geraden zueinander verhalten können, aber siehe selbst!




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