Quadratische Funktionen und die Scheitelform: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | [[ | + | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">[[../Einstieg|1. Fußball-WM 2006 - Wasserverbrauch]] | [[../Quadratische Funktionen|2. Quadratische Funktionen und Klippenspringen]] | [[../Übungen zu a|3. Übungen]] | [[../Quadratische Funktionen und der Parameter c|4. Quadratische Funktionen und Volleyball]] | [[../Quadratische Funktionen und der Parameter b|5. Quadratische Funktionen und Fußball]] | [[../Quadratische Funktionen und die Scheitelform|6. Quadratische Funktionen und Basketball]] | [[../Endspurt|7. Endspurt]] |
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==Quadratische Funktionen und Basketball== | ==Quadratische Funktionen und Basketball== | ||
| − | Neben der | + | Neben der '''Normalform''' gibt es auch die '''<big>Scheitelpunktform</big>'''. <br\> |
Mit dieser kannst du in der nächsten Aufgabe experimentieren. | Mit dieser kannst du in der nächsten Aufgabe experimentieren. | ||
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===Aufgabe 14=== | ===Aufgabe 14=== | ||
| − | + | <ggb_applet width="900" height="500" version="3.2" 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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" | {|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" | ||
|align = "left" width="450"| | |align = "left" width="450"| | ||
| − | Hast du deine ermittelten Wurfbahnen notiert? <br\> | + | [[Bild:Laufzettel.png|50px]] Hast du deine ermittelten Wurfbahnen notiert? <br\> |
| − | Dann ist dir sicher aufgefallen, dass sich die Form unserer Gleichung stark verändert hat. Wie bereits erwähnt ist die '''Scheitelpunktform''' eine alternative Darstellung für die Normalform. | + | Dann ist dir sicher aufgefallen, dass sich die Form unserer Gleichung stark verändert hat. Wie bereits erwähnt, ist die '''Scheitelpunktform''' eine alternative Darstellung für die Normalform. |
<br\> | <br\> | ||
Quadratische Funktionen lassen sich auch so darstellen: | Quadratische Funktionen lassen sich auch so darstellen: | ||
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</div> | </div> | ||
<br\> | <br\> | ||
| − | <big>Vorsicht</big>: Vor x<sub>s</sub> steht ein Minus. Ist x<sub>s</sub> also positiv, bleibt das Minus davor bestehen. Ist x<sub>s</sub> negativ, wird es zum Plus.<br\> | + | '''<big>Vorsicht</big>:''' Vor x<sub>s</sub> steht ein '''Minus'''. Ist x<sub>s</sub> also positiv, bleibt das Minus davor bestehen. Ist x<sub>s</sub> negativ, wird es zum Plus.<br\> |
Der Parameter a bleibt also erhalten, b und c fallen weg. Dafür bekommen wir zwei Parameter hinzu. | Der Parameter a bleibt also erhalten, b und c fallen weg. Dafür bekommen wir zwei Parameter hinzu. | ||
| − | Jetzt kannst du noch einmal testen, | + | Jetzt kannst du noch einmal testen, wofür '''x<sub>s</sub>''' und '''y<sub>s</sub>''' stehen. |
===Aufgabe 15=== | ===Aufgabe 15=== | ||
| − | Verschiebe x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub> | + | Verschiebe x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub> im nebenstehenden Bild. Was kannst du feststellen? |
Ordne jedem Fall eine Beispielgleichung zu.<br\> | Ordne jedem Fall eine Beispielgleichung zu.<br\> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
Mache ich x<sub>s</sub> größer, so verschiebt sich der Scheitel nach <strong> rechts </strong>.<br/> | Mache ich x<sub>s</sub> größer, so verschiebt sich der Scheitel nach <strong> rechts </strong>.<br/> | ||
| − | Eine Beispielfunktion dafür ist <strong> | + | Eine Beispielfunktion dafür ist <strong> y=[x - 2]² </strong>.<br/> |
Mache ich x<sub>s</sub> kleiner, so verschiebt sich der Scheitel nach <strong> links </strong>.<br/> | Mache ich x<sub>s</sub> kleiner, so verschiebt sich der Scheitel nach <strong> links </strong>.<br/> | ||
| − | Eine Beispielfunktion dafür ist <strong> | + | Eine Beispielfunktion dafür ist <strong> y=[x+2]² </strong>.<br/> |
Mache ich y<sub>s</sub> kleiner, so verschiebt sich der Scheitel nach <strong> unten </strong>.<br/> | Mache ich y<sub>s</sub> kleiner, so verschiebt sich der Scheitel nach <strong> unten </strong>.<br/> | ||
| − | Eine Beispielfunktion dafür ist <strong> | + | Eine Beispielfunktion dafür ist <strong> y=x²-2 </strong>.<br/> |
Mache ich y<sub>s</sub> größer, so verschiebt sich der Scheitel nach <strong> oben </strong>.<br/> | Mache ich y<sub>s</sub> größer, so verschiebt sich der Scheitel nach <strong> oben </strong>.<br/> | ||
| − | Eine Beispielfunktion dafür ist <strong> | + | Eine Beispielfunktion dafür ist <strong> y=x²+2 </strong>. |
</div> | </div> | ||
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| − | { | + | {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border: 1px solid {{{Rand|#ca1321}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}; border-left: 5px solid {{{RandLinks|#ca1321}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}" |
| − | + | |- | |
| + | | <div style="float:right; margin:0px; margin-top:5px">[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]</div> | ||
| + | <div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Merke:</div> | ||
| + | '''x<sub>s</sub>''' hat immer den gleichen Wert wie die '''x-Koordinate des Scheitels''' und '''y<sub>s</sub>''' hat immer den gleichen Wert wie die '''y-Koordinate des Scheitels'''. | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | <br\> | ||
===Aufgabe 16=== | ===Aufgabe 16=== | ||
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In dieser Funktion hat x<sub>s</sub> den Wert '''2(Wert einfügen)''' und y<sub>s</sub> den Wert'''-4(Wert einfügen)'''.<br/> | In dieser Funktion hat x<sub>s</sub> den Wert '''2(Wert einfügen)''' und y<sub>s</sub> den Wert'''-4(Wert einfügen)'''.<br/> | ||
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===Aufgabe 17=== | ===Aufgabe 17=== | ||
| − | In dem Memory sind Funktionsgleichungen und die Graphen der Funktionen versteckt. Finde die passenden Paare von Funktionsgeleichung und Graph! Dabei gilt immer a=1. Viel Vergnügen! | + | In dem Memory sind Funktionsgleichungen und die Graphen der Funktionen versteckt. Finde die passenden Paare von Funktionsgeleichung und Graph! Dabei gilt immer a=1.<br\> |
| + | Viel Vergnügen! | ||
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===Bestimmen der Scheitelpunktform mit variablem a=== | ===Bestimmen der Scheitelpunktform mit variablem a=== | ||
In dem Bild unten ist eine quadratische Funktion mit a ungleich 1 angezeigt. Auf dem Graphen der Funktion liegen zwei Punkte: S, der Scheitel, und P. Neben dem Graphen steht eine kurze Anleitung für die Berechnung von a und das Aufstellen der Funktionsgleichung. Vollziehe jeden Schritt der Anleitung nach. Danach sollst du eigenständig a bestimmen und Funktionsgleichungen aufstellen. | In dem Bild unten ist eine quadratische Funktion mit a ungleich 1 angezeigt. Auf dem Graphen der Funktion liegen zwei Punkte: S, der Scheitel, und P. Neben dem Graphen steht eine kurze Anleitung für die Berechnung von a und das Aufstellen der Funktionsgleichung. Vollziehe jeden Schritt der Anleitung nach. Danach sollst du eigenständig a bestimmen und Funktionsgleichungen aufstellen. | ||
| − | [[Bild: Geogebra18.png| | + | [[Bild: Geogebra18.png|600px]] |
Konntest du die Anleitung nachvollziehen? Mit diesem Verfahren kannst du nun jede quadratische Funktion bestimmen, wenn du ihren Scheitel kennst und die Koordinaten eines Punktes, der auf der Parabel der Funktion liegt. | Konntest du die Anleitung nachvollziehen? Mit diesem Verfahren kannst du nun jede quadratische Funktion bestimmen, wenn du ihren Scheitel kennst und die Koordinaten eines Punktes, der auf der Parabel der Funktion liegt. | ||
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Dann kannst du jetzt loslegen! | Dann kannst du jetzt loslegen! | ||
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===Aufgabe 18=== | ===Aufgabe 18=== | ||
| − | [[Bild:Geogebra18.2.png| | + | [[Bild:Geogebra18.2.png|600px]] |
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| − | Hast du die Funktionsterme gefunden und auf deinem Laufzettel notiert? <br\> | + | <br\> |
| + | [[Bild:Laufzettel.png|50px]] Hast du die Funktionsterme gefunden und auf deinem Laufzettel notiert? <br\> | ||
Gut! Dann kannst du dich an die nächste Übung machen. | Gut! Dann kannst du dich an die nächste Übung machen. | ||
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===Aufgabe 19=== | ===Aufgabe 19=== | ||
| − | In dieser Aufgabe sind jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes und die Koordinaten von einem weiteren Punkt auf der Parabel gegeben. Berechne jeweils den Funktionsterm auf dem Laufzettel und | + | In dieser Aufgabe sind jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes und die Koordinaten von einem weiteren Punkt auf der Parabel gegeben. Berechne jeweils den Funktionsterm auf dem Laufzettel und trage in die Lücke die Werte für a, xs und ys ein. |
Die Anleitung hilft dir wieder bei der Berechnung. | Die Anleitung hilft dir wieder bei der Berechnung. | ||
Viel Erfolg! | Viel Erfolg! | ||
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| + | {|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" | ||
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| + | Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (-2/3) und einen Punkt P(2/14,2), der auf der Parabel liegt. | ||
| + | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
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| + | x<sub>s</sub> hat den Wert '''-2(Wert einfügen)'''.<br/> | ||
| + | y<sub>s</sub> hat den Wert '''3(Wert einfügen)'''.<br/> | ||
| + | a hat den Wert '''0,7(Wert einfügen)'''. | ||
| + | </div> | ||
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| + | ;c) | ||
| + | Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (3/-5) und einen Punkt P(6/4), der auf der Parabel liegt. | ||
| + | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
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| + | |||
| + | x<sub>s</sub> hat den Wert '''3(Wert einfügen)'''.<br/> | ||
| + | y<sub>s</sub> hat den Wert '''-5(Wert einfügen)'''.<br/> | ||
| + | a hat den Wert '''1(Wert einfügen)'''. | ||
| + | </div> | ||
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| + | |valign="top"| | ||
| + | ;b) | ||
| + | Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (-1/4) und einen Punkt P(2/-0,5), der auf der Parabel liegt. | ||
| + | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | x<sub>s</sub> hat den Wert '''-1(Wert einfügen)'''.<br/> | ||
| + | y<sub>s</sub> hat den Wert '''4(Wert einfügen)'''.<br/> | ||
| + | a hat den Wert '''-0,5(Wert einfügen)'''. | ||
| + | </div> | ||
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| + | |||
| + | ;d) | ||
| + | Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (-4/6) und einen Punkt P(-6/-2), der auf der Parabel liegt. | ||
| + | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | x<sub>s</sub> hat den Wert '''-4(Wert einfügen)'''.<br/> | ||
| + | y<sub>s</sub> hat den Wert '''6(Wert einfügen)'''.<br/> | ||
| + | a hat den Wert '''-2(Wert einfügen)'''. | ||
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| + | Warst du erfolgreich? <br\> | ||
| + | [[Bild:Laufzettel.png|50px]] Dann bewerte die Aufgaben auf dem Laufzettel, <br\> | ||
| + | danach gehts jetzt zum | ||
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Aktuelle Version vom 15. März 2010, 18:23 Uhr
1. Fußball-WM 2006 - Wasserverbrauch | 2. Quadratische Funktionen und Klippenspringen | 3. Übungen | 4. Quadratische Funktionen und Volleyball | 5. Quadratische Funktionen und Fußball | 6. Quadratische Funktionen und Basketball | 7. Endspurt
Quadratische Funktionen und Basketball
Neben der Normalform gibt es auch die Scheitelpunktform.
Mit dieser kannst du in der nächsten Aufgabe experimentieren.
Aufgabe 14
|
Der Parameter a bleibt also erhalten, b und c fallen weg. Dafür bekommen wir zwei Parameter hinzu. Jetzt kannst du noch einmal testen, wofür xs und ys stehen. Aufgabe 15Verschiebe xs und ys im nebenstehenden Bild. Was kannst du feststellen?
Ordne jedem Fall eine Beispielgleichung zu. Mache ich xs größer, so verschiebt sich der Scheitel nach rechts . |
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 Merke:
xs hat immer den gleichen Wert wie die x-Koordinate des Scheitels und ys hat immer den gleichen Wert wie die y-Koordinate des Scheitels. |
Aufgabe 16
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In dieser Funktion hat xs den Wert 2(Wert einfügen) und ys den Wert-4(Wert einfügen).
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Aufgabe 17
In dem Memory sind Funktionsgleichungen und die Graphen der Funktionen versteckt. Finde die passenden Paare von Funktionsgeleichung und Graph! Dabei gilt immer a=1.
Viel Vergnügen!
f(x)=(x+2)²+2 
f(x)=(x+2)²-1 
f(x)=(x-3)² 
f(x)=(x-2)²+3 
f(x)=(x-1)²-1 
f(x)=x²-3
Hast du die Paare gefunden? Dann kennst du dich mit der Scheitelpunktform schon recht gut aus. Allerdings haben wir bisher immer nur mit a=1 gearbeitet. Das ändern wir jetzt.
Bewerte die Aufgaben auf dem Laufzettel, ehe wir mit veränderlichem a fortfahren!
Bestimmen der Scheitelpunktform mit variablem a
In dem Bild unten ist eine quadratische Funktion mit a ungleich 1 angezeigt. Auf dem Graphen der Funktion liegen zwei Punkte: S, der Scheitel, und P. Neben dem Graphen steht eine kurze Anleitung für die Berechnung von a und das Aufstellen der Funktionsgleichung. Vollziehe jeden Schritt der Anleitung nach. Danach sollst du eigenständig a bestimmen und Funktionsgleichungen aufstellen.
Konntest du die Anleitung nachvollziehen? Mit diesem Verfahren kannst du nun jede quadratische Funktion bestimmen, wenn du ihren Scheitel kennst und die Koordinaten eines Punktes, der auf der Parabel der Funktion liegt.
Dann kannst du jetzt loslegen!
Aufgabe 18
Hast du die Funktionsterme gefunden und auf deinem Laufzettel notiert?
Gut! Dann kannst du dich an die nächste Übung machen.
Aufgabe 19
In dieser Aufgabe sind jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes und die Koordinaten von einem weiteren Punkt auf der Parabel gegeben. Berechne jeweils den Funktionsterm auf dem Laufzettel und trage in die Lücke die Werte für a, xs und ys ein. Die Anleitung hilft dir wieder bei der Berechnung. Viel Erfolg!
- a)
Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (-2/3) und einen Punkt P(2/14,2), der auf der Parabel liegt.
xs hat den Wert -2(Wert einfügen).
ys hat den Wert 3(Wert einfügen).
a hat den Wert 0,7(Wert einfügen).
- c)
Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (3/-5) und einen Punkt P(6/4), der auf der Parabel liegt.
xs hat den Wert 3(Wert einfügen).
ys hat den Wert -5(Wert einfügen).
a hat den Wert 1(Wert einfügen).- b)
Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (-1/4) und einen Punkt P(2/-0,5), der auf der Parabel liegt.
xs hat den Wert -1(Wert einfügen).
ys hat den Wert 4(Wert einfügen).
a hat den Wert -0,5(Wert einfügen).
- d)
Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (-4/6) und einen Punkt P(-6/-2), der auf der Parabel liegt.
xs hat den Wert -4(Wert einfügen).
ys hat den Wert 6(Wert einfügen).
a hat den Wert -2(Wert einfügen).Warst du erfolgreich?
Dann bewerte die Aufgaben auf dem Laufzettel,
danach gehts jetzt zum
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